Einführung in die Chemie

Begriff

• integrierte RatengleichungVerknüpft Konzentrationen von Reaktanten oder Produkten mit der Zeit; integriert aus dem Ratengesetz.

Das Ratengesetz ist eine Differentialgleichung, d.h. es beschreibt die Änderung der Konzentration von Reaktant(en) pro Zeitänderung. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung kann das Ratengesetz integriert werden, um eine integrierte Ratengleichung zu erhalten, die die Konzentrationen von Reaktanten oder Produkten direkt mit der Zeit verknüpft.

Integriertes Ratengesetz für eine Reaktion erster Ordnung

Erinnern Sie sich, dass das Ratengesetz für eine Reaktion erster Ordnung gegeben ist durch:

Rate = -\frac{d}{dt}=k

Wir können diese Gleichung umstellen, um unsere Variablen zu kombinieren, und beide Seiten integrieren, um unser integriertes Ratengesetz zu erhalten:

\int^{_t}_{_0} \frac{d}{}=-\int^t_0k\;dt

ln\left(\frac{_t}{_0}\right)=-kt

\frac{_t}{_0}=e^{-kt}

Schließlich, wenn wir diese Gleichung in Bezug auf _t setzen, erhalten wir:

_t=_0e^{-kt}

Dies ist die endgültige Form des integrierten Ratengesetzes für eine Reaktion erster Ordnung. Hier steht t für die Konzentration der interessierenden Chemikalie zu einem bestimmten Zeitpunkt t und 0 für die Anfangskonzentration von A. Man beachte, dass diese Gleichung auch in der folgenden Form geschrieben werden kann:

ln=-kt+ln_0

Diese Form ist nützlich, weil sie die Form y=mx+b hat. Wenn das integrierte Ratengesetz auf diese Weise geschrieben wird, ergibt eine Darstellung von ln gegen t eine gerade Linie mit der Steigung -k. Das integrierte Ratengesetz erster Ordnung wird jedoch gewöhnlich in Form der exponentiellen Zerfallsgleichung geschrieben.

Integriertes Ratengesetz für eine Reaktion zweiter Ordnung

Erinnern Sie sich, dass das Ratengesetz für eine Reaktion zweiter Ordnung gegeben ist durch:

Rate=-\frac{d}{dt}=k^2

Durch Umstellen unserer Variablen und Integrieren erhalten wir folgendes:

\int^{_t}_{_0}\frac{d}{^2}=-\int^t_0 k\;dt

\frac{1}{_t}-\frac{1}{_0}=kt

Die endgültige Version dieses integrierten Ratengesetzes ist gegeben durch:

\frac{1}{_t}=\frac{1}{_0}+kt

Beachte, dass diese Gleichung auch die Form y=mx+b hat. Hier ergibt eine Darstellung von \frac{1}{} gegen t eine Gerade mit positiver Steigung k.

Integriertes Ratengesetz für eine Reaktion zweiter Ordnung mit zwei Reaktanten

Für eine Reaktion, die insgesamt zweiter Ordnung ist und für zwei Reaktanten, A und B, erster Ordnung, ist unser Ratengesetz gegeben durch:

rate=-\frac{d}{dt}=-\frac{d}{dt}=k

Hier gibt es zwei mögliche Szenarien. Die erste ist, dass die Anfangskonzentrationen von A und B gleich sind, was die Dinge stark vereinfacht. In diesem Fall können wir sagen, dass =, und das Ratengesetz vereinfacht sich zu:

Rate=k^2

Dies ist die Standardform für das Ratengesetz zweiter Ordnung, und das integrierte Ratengesetz ist das gleiche wie oben. In dem Fall jedoch, in dem _0\neq _0 ist, nimmt das integrierte Ratengesetz die Form an:

ln\frac{_0}{_0}=k(_0-_0)t

In diesem komplizierteren Fall ergibt eine Darstellung von ln\frac{_0}{_0} gegen t eine Gerade mit einer Steigung von k(_0-_0).

Integriertes Ratengesetz für eine Reaktion nullter Ordnung

Das Ratengesetz für eine Reaktion nullter Ordnung ist gegeben durch:

Rate=-\frac{d}{dt}=k

Durch Umformung und Integration ergibt sich:

\int^{_t}_{_0}d=-\int^t_0 k\;dt

_t-_0=-kt

_t=-kt+_0

Hier ist zu beachten, dass eine Darstellung von gegen t eine Gerade mit der Steigung -k ergibt. Der y-Achsenabschnitt dieses Diagramms ist die Anfangskonzentration von A, 0.

Zusammenfassung

Wichtig ist, dass man nicht unbedingt jedes integrierte Geschwindigkeitsgesetz aus der Infinitesimalrechnung ableiten kann, sondern die Formen kennt und weiß, welche Diagramme für jede Reaktionsordnung gerade Linien ergeben. Eine Zusammenfassung der verschiedenen integrierten Geschwindigkeitsgesetze, einschließlich der verschiedenen Diagramme, die gerade Linien ergeben, kann als Ressource verwendet werden.