Oppimistavoite
- Kirjoita integroituja nopeuslakeja nolla-, ensimmäiselle,.., ja toisen kertaluvun reaktioita saadaksesi tietoa nopeusvakiosta ja reaktanttien pitoisuuksista
Kärkikohdat
- Kunkin reaktion kertaluvun nopeusyhtälöä voidaan integroida niin, että se suhteuttaa ajan ja pitoisuuden.
- Kaavio 1/ vs. t antaa toisen kertaluvun reaktiolle suoran, jonka kaltevuus on k.
- Ln:n kuvaaja t:n suhteen antaa ensimmäisen kertaluvun reaktiolle suoran, jonka kaltevuus on -k.
- Ln:n kuvaaja t:n suhteen antaa nollatason reaktiolle suoran, jonka kaltevuus on -k.
Termi
- integroitu nopeusyhtälöSitoo reaktanttien tai tuotteiden konsentraatiot ajan kanssa; integroidaan nopeuslaista.
Nopeuslaki on differentiaaliyhtälö eli se kuvaa reagoivan aineen (reaktanttien) konsentraation muutosta ajan muutosta kohti. Laskennan avulla nopeuslaki voidaan integroida, jolloin saadaan integroitu nopeusyhtälö, joka yhdistää reaktanttien tai tuotteiden pitoisuudet suoraan aikaan.
Ensimmäisen kertaluvun reaktion integroitu nopeuslaki
Muistetaan, että ensimmäisen kertaluvun reaktion nopeuslaki saadaan seuraavasti:
rate = -\frac{d}{dt}=k
Voimme järjestää tämän yhtälön uudestaan yhdistämällä muuttujamme ja integroida molemmat puolet saadaksemme integroidun nopeuslakimme:
\int^{_t}_{_0} \frac{d}{}=-\int^t_0k\;dt
ln\left(\frac{_t}{_0}\right)=-kt
\frac{_t}{_0}=e^{-kt}
Sijoittamalla tämän yhtälön _t:n suhteen saamme lopuksi:
_t=_0e^{-kt}
Tämä on ensimmäisen kertaluvun reaktion integroidun nopeuslain lopullinen muoto. Tässä t edustaa kiinnostavan kemikaalin pitoisuutta tiettynä ajankohtana t ja 0 edustaa alkupitoisuutta A. Huomaa, että tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös seuraavassa muodossa:
ln=-kt+ln_0
Tämä muoto on käyttökelpoinen, koska se on muotoa y=mx+b. Kun integroitu nopeuslaki kirjoitetaan tällä tavalla, saadaan ln:n ja t:n välisestä kuvaajasta suora, jonka kaltevuus on -k. Integroitu ensimmäisen kertaluvun nopeuslaki kirjoitetaan kuitenkin yleensä eksponentiaalisen hajoamisyhtälön muodossa.
Integroitu nopeuslaki toisen kertaluvun reaktiolle
Muistetaan, että toisen kertaluvun reaktion nopeuslaki saadaan:
rate=-\frac{d}{dt}=k^2
Muuttujiemme järjestäminen taaksepäin ja integrointi, saamme seuraavan:
\int^{_t}_{_0}\frac{d}{^2}=-\int^t_0 k\;dt
\frac{1}{_t}-\frac{1}{_0}=kt
Tämän integroidun nopeuslain lopullisen version antaa:
\frac{1}{_t}=\frac{1}{_0}+kt
Huomaa, että tämä yhtälö on myös muodossa y=mx+b. Tällöin \frac{1}{}:n kuvaaja t:n suhteen antaa suoran, jonka kaltevuus on positiivinen k.
Integroitu nopeuslaki toisen kertaluvun reaktiolle, jossa on kaksi reaktanttia
Reaktiolle, joka on kokonaisuudessaan toisen kertaluvun reaktio ja ensimmäisen kertaluvun reaktio kahdelle reaktantille, A:lle ja B:lle, nopeuslaki saadaan seuraavasti:
rate=-\frac{d}{dt}=-\frac{d}{dt}=k
Tässä on kaksi mahdollista skenaariota. Ensimmäinen on, että A:n ja B:n alkupitoisuudet ovat yhtä suuret, mikä yksinkertaistaa asioita huomattavasti. Tällöin voidaan sanoa, että =, ja nopeuslaki yksinkertaistuu muotoon:
rate=k^2
Tämä on toisen kertaluvun nopeuslain vakiomuoto, ja integroitu nopeuslaki on sama kuin edellä. Tapauksessa, jossa _0\neq _0 , integroitu nopeuslaki saa kuitenkin muodon:
ln\frac{_0}{_0}=k(_0-_0)t
Tässä monimutkaisemmassa tapauksessa ln\frac{_0}{_0}{_0}:n ja t:n välinen kuvaaja antaa suoran viivan, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin k(_0-_0).
Nollajärjestysreaktion integroitu nopeuslaki
Nollajärjestysreaktion nopeuslaki saadaan:
rate=-\frac{d}{dt}=k
Takaisin järjestämällä ja integroimalla saadaan:
\int^{_t}_{_0}d=-\int^t_0 k\;dt
_t-_0=-kt
_t=-kt+_0
Huomaa tässä, että kuvaaja t:n suhteen antaa suoran, jonka kaltevuus on -k. Tämän kuvaajan y-suora on A:n alkukonsentraatio 0.
Yhteenveto
Tärkeää ei ole välttämättä pystyä johtamaan jokaista integroitua nopeuslakia laskennallisesti, vaan tuntea muodot ja se, mitkä kuvaajat tuottavat suorat kullekin reaktion järjestykselle. Yhteenvetoa eri integroiduista nopeuslaeista, mukaan lukien erilaiset piirrokset, joilla saadaan suoria viivoja, voi käyttää apuna.
