Tanulási cél
- Gráfolja az integrált sebességtörvényeket a nulla-, első-, és másodrendű reakciókat, hogy információt kapjunk a sebességállandóról és a reaktánsok koncentrációjáról
Kulcspontok
- Minden reakciórend sebességegyenlete integrálható az idő és a koncentráció összefüggése érdekében.
- Egy másodrendű reakció esetén az 1/ és a t függvényében ábrázolt egyenes k meredekségű egyenest kapunk.
- A ln és t diagramja első rendű reakció esetén -k meredekségű egyenest ad.
- A ln és t diagramja nulla rendű reakció esetén -k meredekségű egyenest ad.
Term
- integrált sebességegyenletA reaktánsok vagy termékek koncentrációit az idővel kapcsolja össze; a sebességtörvényből integrálva.
A sebességtörvény egy differenciálegyenlet, ami azt jelenti, hogy a reaktáns(ok) koncentrációjának változását írja le az idő változására. A számtan segítségével a sebességtörvény integrálható, hogy integrált sebességegyenletet kapjunk, amely a reaktánsok vagy a termékek koncentrációját közvetlenül összekapcsolja az idővel.
Egy elsőrendű reakció integrált sebességtörvénye
Emlékezzünk vissza, hogy az elsőrendű reakció sebességtörvénye a következő:
ráta = -\frac{d}{dt}=k
Átrendezhetjük ezt az egyenletet, hogy egyesítsük a változóinkat, és mindkét oldalt integrálva megkapjuk az integrált sebességtörvényünket:
\int^{_t}_{_0} \frac{d}{}=-\int^t_0k\;dt
ln\left(\frac{_t}{_0}\right)=-kt
\frac{_t}{_0}=e^{-kt}
Végül, ha ezt az egyenletet _t függvényébe állítjuk, megkapjuk:
_t=_0e^{-kt}
Ez az elsőrendű reakció integrált sebességtörvényének végleges formája. Itt t a vizsgált vegyszer koncentrációját jelenti egy adott t időpontban, 0 pedig az A kezdeti koncentrációját. Megjegyezzük, hogy ez az egyenlet a következő formában is felírható:
ln=-kt+ln_0
Ez a forma azért hasznos, mert y=mx+b alakú. Ha az integrált sebességtörvényt így írjuk fel, akkor az ln és t függvényében ábrázolva egy egyenest kapunk, amelynek meredeksége -k. Az integrált elsőrendű sebességtörvényt azonban általában az exponenciális bomlási egyenlet formájában írják fel.
Integrált sebességtörvény egy másodrendű reakcióhoz
Memlékezzünk vissza, hogy a másodrendű reakció sebességtörvénye a következő:
rate=-\frac{d}{dt}=k^2
Változóinkat visszarendezve és integrálva a következőt kapjuk:
\int^{_t}_{_0}\frac{d}{^2}=-\int^t_0 k\;dt
\frac{1}{_t}-\frac{1}{_0}=kt
Ez integrált sebességtörvény végső változata a következő:
\frac{1}{_t}=\frac{1}{_0}+kt
Megjegyezzük, hogy ez az egyenlet is y=mx+b alakú. Itt \frac{1}{} és t függvényében ábrázolva egy egyenes egyenest kapunk pozitív k meredekséggel.
Integrált sebességtörvény másodrendű reakcióhoz két reaktánssal
Egy olyan reakció esetében, amely összességében másodrendű, két reaktáns, A és B esetében pedig elsőrendű, a sebességtörvényünk a következő:
ráta=-\frac{d}{dt}=-\frac{d}{dt}=k
Itt két lehetséges forgatókönyv van. Az első, hogy A és B kezdeti koncentrációja egyenlő, ami nagyban leegyszerűsíti a dolgokat. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy =, és a sebességtörvény egyszerűsödik:
rate=k^2
Ez a másodrendű sebességtörvény standard formája, és az integrált sebességtörvény ugyanaz lesz, mint fentebb. Abban az esetben azonban, ha _0\neq _0 , az integrált sebességtörvény a következő formát veszi fel:
ln\frac{_0}{_0}=k(_0-_0)t
Ebben a bonyolultabb esetben az ln\frac{_0}{_0}{_0} és a t függvénye egyenest ad, amelynek meredeksége k(_0-_0).
Integrált sebességtörvény egy nulladik rendű reakcióra
A nulladik rendű reakció sebességtörvénye a következő:
rate=-\frac{d}{dt}=k
Visszarendezve és integrálva megkapjuk:
\int^{_t}_{_0}d=-\int^t_0 k\;dt
_t-_0=-kt
_t=-kt+_0
Megjegyezzük itt, hogy a t ellenében ábrázolva egy egyenest kapunk, amelynek meredeksége -k. Ennek a grafikonnak az y-interceptusa az A kezdeti koncentrációja lesz, 0.
Összefoglaló
A lényeg nem feltétlenül az, hogy minden egyes integrált sebességtörvényt le tudjunk vezetni a számtanból, hanem az, hogy ismerjük a formákat, és azt, hogy az egyes reakciórendeknél mely grafikonok adnak egyeneseket. A különböző integrált sebességtörvények összefoglalása, beleértve a különböző ábrákat, amelyek egyeneseket eredményeznek, forrásként használható.
