Wenn Studenten zum ersten Mal die Gleichung für den Parallelwiderstand sehen, ist die natürliche Frage: „Woher kommt das?“ Es ist wirklich ein seltsames Stück Arithmetik, und sein Ursprung verdient eine gute Erklärung.
Was ist der Unterschied zwischen Widerstand und Leitwert?
Widerstand ist per Definition das Maß für die Reibung, die ein Bauteil dem Stromfluss durch es entgegensetzt. Der Widerstand wird durch den Großbuchstaben „R“ symbolisiert und in der Einheit „Ohm“ gemessen. Man kann sich diese elektrische Eigenschaft aber auch umgekehrt vorstellen: wie leicht der Strom durch ein Bauteil fließt und nicht wie schwer.
Wenn der Widerstand das Maß dafür ist, wie schwer der Strom fließt, dann wäre der Leitwert ein gutes Wort, um auszudrücken, wie leicht der Strom fließt. Mathematisch gesehen ist der Leitwert der Kehrwert des Widerstands:
Je größer der Widerstand, desto geringer der Leitwert – und umgekehrt.
Dies sollte intuitiv einleuchten, denn Widerstand und Leitwert sind entgegengesetzte Bezeichnungen für dieselbe wesentliche elektrische Eigenschaft.
Vergleicht man die Widerstände zweier Bauteile und stellt fest, dass das Bauteil „A“ einen halb so großen Widerstand hat wie das Bauteil „B“, dann könnte man diese Beziehung auch so ausdrücken, dass das Bauteil „A“ doppelt so leitfähig ist wie das Bauteil „B“. Wenn das Bauteil „A“ nur ein Drittel des Widerstands von Bauteil „B“ hat, dann könnte man sagen, dass es dreimal so leitfähig ist wie Bauteil „B“ usw.
Die Einheit des Leitwerts
Weiterführend wurden ein Symbol und eine Einheit geschaffen, um den Leitwert darzustellen. Das Symbol ist der Großbuchstabe „G“ und die Einheit ist das mho, was „Ohm“ rückwärts buchstabiert ist (und Sie dachten, Elektronikingenieure hätten keinen Sinn für Humor!).
Trotz seiner Angemessenheit wurde die Einheit des mho in späteren Jahren durch die Einheit von Siemens (abgekürzt durch den Großbuchstaben „S“) ersetzt. Diese Entscheidung, die Namen der Einheiten zu ändern, erinnert an den Wechsel von der Temperatureinheit Grad Celsius zu Grad Celsius oder den Wechsel von der Frequenzeinheit c.p.s. (Zyklen pro Sekunde) zu Hertz. Falls Sie hier nach einem Muster suchen: Siemens, Celsius und Hertz sind allesamt Nachnamen berühmter Wissenschaftler, deren Namen uns leider weniger über die Natur der Einheiten verraten als die ursprünglichen Bezeichnungen der Einheiten.
Als Fußnote sei angemerkt, dass die Einheit Siemens niemals ohne den letzten Buchstaben „s“ ausgedrückt wird. Das heißt, es gibt keine Einheit „Siemen“ wie beim „Ohm“ oder „Mho“. Der Grund dafür ist die korrekte Schreibweise der Nachnamen der jeweiligen Wissenschaftler.
Die Einheit für den elektrischen Widerstand wurde nach jemandem namens „Ohm“ benannt, während die Einheit für den elektrischen Leitwert nach jemandem namens „Siemens“ benannt wurde, daher wäre es unangemessen, die letztere Einheit zu „singularisieren“, da ihr letztes „s“ keine Pluralität bezeichnet.
Zurück zu unserem Parallelschaltkreis-Beispiel, sollten wir in der Lage sein zu sehen, dass mehrere Pfade (Zweige) für den Strom den Gesamtwiderstand für den gesamten Schaltkreis reduzieren, da der Strom leichter durch das gesamte Netzwerk von mehreren Zweigen fließen kann als durch einen dieser Zweigwiderstände allein. In Bezug auf den Widerstand führen zusätzliche Zweige zu einem geringeren Gesamtwiderstand (der Strom trifft auf weniger Widerstand). Bezogen auf den Leitwert ergeben zusätzliche Zweige jedoch einen größeren Gesamtwert (Strom fließt mit größerem Leitwert).
Gesamt-Parallel-Widerstand
Der Gesamt-Parallel-Widerstand ist kleiner als die Widerstände der einzelnen Zweige, weil parallele Widerstände zusammen weniger Widerstand leisten als einzeln:
Gesamtleitwert der Parallelen
Der Gesamtleitwert der Parallelen ist größer als jeder der einzelnen Zweigleitwerte, weil parallele Widerstände zusammen besser leiten als einzeln:
Genauer gesagt ist der Gesamtleitwert in einer Parallelschaltung gleich der Summe der einzelnen Leitwerte:
Wenn wir wissen, dass der Leitwert nichts anderes ist als der mathematische Kehrwert (1/x) des Widerstands, können wir jeden Term der obigen Formel in Widerstand umwandeln, indem wir den Kehrwert des jeweiligen Leitwerts einsetzen:
Wenn wir die obige Gleichung für den Gesamtwiderstand (anstelle des Kehrwerts des Gesamtwiderstands) lösen, können wir beide Seiten der Gleichung umkehren (reziprok):
So kommen wir endlich zu unserer kryptischen Widerstandsformel! Der Leitwert (G) wird nur selten als praktisches Maß verwendet, und so ist die obige Formel bei der Analyse von Parallelschaltungen häufig zu sehen.
ZURÜCKBLICK:
- Der Leitwert ist das Gegenteil des Widerstands: das Maß dafür, wie leicht elektrischer Strom durch etwas fließen kann.
- Der Leitwert wird mit dem Buchstaben „G“ symbolisiert und in der Einheit mhos oder Siemens gemessen.
- Mathematisch ist der Leitwert gleich dem Kehrwert des Widerstands: G = 1/R