Zylindrische SchnitteBearbeiten
Ein zylindrischer Schnitt ist der Schnittpunkt der Oberfläche eines Zylinders mit einer Ebene. Sie sind im Allgemeinen Kurven und stellen eine Sonderform der ebenen Schnitte dar. Der zylindrische Schnitt durch eine Ebene, die zwei Elemente eines Zylinders enthält, ist ein Parallelogramm. Ein solcher zylindrischer Schnitt eines rechten Zylinders ist ein Rechteck.
Ein zylindrischer Schnitt, bei dem die Schnittebene alle Elemente des Zylinders schneidet und senkrecht auf ihnen steht, wird als rechter Schnitt bezeichnet. Wenn ein rechter Schnitt eines Zylinders ein Kreis ist, dann ist der Zylinder ein Kreiszylinder. Allgemeiner ausgedrückt, wenn ein rechter Abschnitt eines Zylinders ein Kegelschnitt (Parabel, Ellipse, Hyperbel) ist, dann wird der Vollzylinder als parabolisch, elliptisch bzw. hyperbolisch bezeichnet.
Für einen rechtwinkligen Kreiszylinder gibt es mehrere Möglichkeiten, wie Ebenen einen Zylinder treffen können. Erstens: Ebenen, die eine Grundfläche in höchstens einem Punkt schneiden. Eine Ebene ist tangential zum Zylinder, wenn sie den Zylinder in einem einzigen Element trifft. Die richtigen Schnitte sind Kreise und alle anderen Ebenen schneiden die Zylinderoberfläche in einer Ellipse. Wenn eine Ebene eine Basis des Zylinders in genau zwei Punkten schneidet, dann ist das Liniensegment, das diese Punkte verbindet, Teil des zylindrischen Abschnitts. Enthält eine solche Ebene zwei Elemente, so hat sie ein Rechteck als zylindrischen Abschnitt, andernfalls sind die Seiten des zylindrischen Abschnitts Teile einer Ellipse. Enthält eine Ebene schließlich mehr als zwei Punkte einer Basis, so enthält sie die gesamte Basis und der zylindrische Schnitt ist ein Kreis.
Im Fall eines rechtwinkligen Zylinders mit einem zylindrischen Abschnitt, der eine Ellipse ist, hängen die Exzentrizität e des zylindrischen Abschnitts und die Halbachse a des zylindrischen Abschnitts vom Radius des Zylinders r und dem Winkel α zwischen der Sekantenebene und der Zylinderachse auf folgende Weise ab:
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}
VolumenBearbeiten
Wenn die Grundfläche eines Kreiszylinders den Radius r hat und der Zylinder die Höhe h, dann ist sein Volumen gegeben durch
V = πr2h.
Diese Formel gilt unabhängig davon, ob der Zylinder ein rechter Zylinder ist oder nicht.
Diese Formel kann mit Hilfe des Cavalieri-Prinzips aufgestellt werden.
Allgemeiner ausgedrückt, ist das Volumen eines Zylinders nach demselben Prinzip das Produkt aus der Fläche einer Basis und der Höhe. Zum Beispiel hat ein elliptischer Zylinder mit einer Grundfläche mit der Halbachse a, der Halbachse b und der Höhe h ein Volumen V = Ah, wobei A die Fläche der Grundellipse (= πab) ist. Dieses Ergebnis für rechtwinklige elliptische Zylinder kann auch durch Integration erhalten werden, wobei die Achse des Zylinders als positive x-Achse und A(x) = A die Fläche jedes elliptischen Querschnitts ist, also:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Bei Verwendung von Zylinderkoordinaten, kann das Volumen eines rechten Kreiszylinders durch Integration über
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz} berechnet werden.
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}
FlächeninhaltBearbeiten
Bei Radius r und Höhe h besteht der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Kreiszylinders, der so ausgerichtet ist, dass seine Achse senkrecht steht, aus drei Teilen:
- der Fläche der oberen Grundfläche: πr2
- der Fläche der unteren Grundfläche: πr2
- der Fläche der Seite: 2πrh
Die Fläche der oberen und der unteren Grundfläche ist gleich groß und wird Grundfläche B genannt. Die Fläche der Seite wird als Seitenfläche L bezeichnet.
Ein offener Zylinder enthält weder ein oberes noch ein unteres Element und hat daher eine Fläche (Seitenfläche)
L = 2πrh.
Der Flächeninhalt des massiven rechten Kreiszylinders setzt sich aus der Summe aller drei Komponenten zusammen: oben, unten und seitlich. Seine Oberfläche ist also,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
wobei d = 2r der Durchmesser des Kreises oben oder unten ist.
Bei gegebenem Volumen hat der rechte Kreiszylinder mit der kleinsten Oberfläche h = 2r. Entsprechend hat bei gegebener Oberfläche der rechte Kreiszylinder mit dem größten Volumen h = 2r, d.h. der Zylinder passt genau in einen Würfel der Seitenlänge = Höhe (= Durchmesser des Grundkreises).
Die Seitenfläche L eines Kreiszylinders, der kein rechter Zylinder sein muss, ist allgemeiner gegeben durch:
L = e × p,
wobei e die Länge eines Elements und p der Umfang eines rechten Abschnitts des Zylinders ist. Daraus ergibt sich die obige Formel für die Seitenfläche, wenn der Zylinder ein rechter Kreiszylinder ist.
Rechter kreisförmiger Hohlzylinder (Zylinderschale)Bearbeiten
Ein rechter kreisförmiger Hohlzylinder (oder Zylinderschale) ist ein dreidimensionaler Bereich, der von zwei rechten kreisförmigen Zylindern mit derselben Achse und zwei parallelen ringförmigen Basen senkrecht zur gemeinsamen Achse der Zylinder begrenzt wird, wie in der Abbildung.
Die Höhe sei h, der Innenradius r und der Außenradius R. Das Volumen ist gegeben durch
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}
.
Das Volumen einer zylindrischen Schale ist also gleich 2π(mittlerer Radius)(Höhe)(Dicke).
Die Oberfläche, einschließlich Ober- und Unterseite, ist gegeben durch
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Zylinderschalen werden in einem gängigen Integrationsverfahren zur Bestimmung der Volumina von Rotationskörpern verwendet.
Über die Kugel und den ZylinderBearbeiten
In der gleichnamigen Abhandlung, die um 225 v. Chr. geschrieben wurde, erzielte Archimedes das Ergebnis, auf das er am meisten stolz war, nämlich die Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel, indem er die Beziehung zwischen einer Kugel und dem sie umschreibenden rechten Kreiszylinder mit gleicher Höhe und gleichem Durchmesser ausnutzte. Die Kugel hat ein Volumen von zwei Dritteln des Volumens des umschriebenen Zylinders und eine Oberfläche von zwei Dritteln des Zylinders (einschließlich der Grundflächen). Da die Werte für den Zylinder bereits bekannt waren, ermittelte er zum ersten Mal die entsprechenden Werte für die Kugel. Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r ist 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Die Oberfläche dieser Kugel ist 4πr2 = 2/3 (6πr2). Auf dem Grab von Archimedes wurden auf seinen Wunsch hin eine Kugel und ein Zylinder als Skulpturen aufgestellt.