Zukunftswert-Rechner

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Rechner-Nutzung

Die Zukunftswert-Formel lautet FV=PV(1+i)n, wobei der Barwert PV für jede Periode in die Zukunft um den Faktor 1 + i steigt.

Der Zukunftswert-Rechner verwendet mehrere Variablen in der FV-Berechnung:

  • Die Barwertsumme
  • Anzahl der Zeitperioden, typischerweise Jahre
  • Zinssatz
  • Aufzinsungshäufigkeit
  • Cashflow-Zahlungen
  • Wachsende Annuitäten und ewige Renten

Der zukünftige Wert einer Geldsumme ist der Wert der aktuellen Summe zu einem zukünftigen Zeitpunkt.

Mit diesem Zukunftswert-Rechner können Sie ermitteln, wie viel Ihre Investition zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft aufgrund von aufgelaufenen Zinsen und potenziellen Cashflows wert sein wird.

Sie können 0 für jede Variable eingeben, die Sie bei der Verwendung dieses Rechners ausschließen möchten. Unsere anderen Zukunftswertrechner bieten Optionen für spezifischere Zukunftswertberechnungen.

Was beinhaltet die Zukunftswertberechnung

Der Zukunftswertrechner verwendet die folgenden Variablen, um den Zukunftswert FV einer gegenwärtigen Summe plus Zins- und Cashflow-Zahlungen zu finden:

Barwert PV Barwert einer Geldsumme Anzahl der Zeitperioden t – Zeitperioden ist typischerweise eine Anzahl von Jahren
– Achten Sie darauf, dass alle Ihre Eingaben die gleiche Zeitperiodeneinheit verwenden (Jahre, Monate, etc.)
– Geben Sie p oder Ewigkeit für eine ewige Rente ein Zinssatz R Der nominale Zinssatz oder der angegebene Zinssatz, Aufzinsung m – Die Anzahl der Aufzinsungen pro Periode
– Geben Sie 1 für die jährliche Aufzinsung ein, die einmal pro Jahr erfolgt
– Geben Sie 4 für die vierteljährliche Aufzinsung ein
– Geben Sie 12 für die monatliche Aufzinsung ein
– Geben Sie 365 für die tägliche Aufzinsung ein
– Geben Sie c oder continuous für die kontinuierliche Aufzinsung ein Cashflow-Rentenzahlungsbetrag PMT Der Zahlungsbetrag pro Periode Wachstumsrate G Die Wachstumsrate der Rentenzahlungen pro Periode, die als Prozentsatz eingegeben wird Anzahl der Zahlungen q pro Periode – Zahlungshäufigkeit
– Geben Sie 1 für jährliche Zahlungen
– Geben Sie 4 für vierteljährliche Zahlungen ein
– Geben Sie 12 für monatliche Zahlungen ein
– Geben Sie 365 für tägliche Zahlungen ein Wann erfolgen die Rentenzahlungen T – Wählen Sie „Ende“, wenn es sich um eine gewöhnliche Rente handelt, bei der die Zahlungen am Ende der Periode erfolgen
– Wählen Sie „Anfang wenn die Zahlungen zu Beginn der Periode fällig sind Zukunftswert FV Das Ergebnis der FV-Berechnung ist der Zukunftswert einer beliebigen Barwertsumme zuzüglich Zinsen und künftiger Cashflows oder Rentenzahlungen

Die nachstehenden Abschnitte zeigen, wie sich Zukunftswertformeln mathematisch ableiten lassen. Eine Liste der hier vorgestellten Formeln finden Sie auf unserer Seite Zukunftswertformeln.

Ableitung der Zukunftswertformeln

Der Zukunftswert (FV) einer Summe mit Gegenwartswert (PV), die über einen einzigen Zeitraum mit dem Zinssatz i verzinst wird, ist der Gegenwartswert zuzüglich der auf diese Summe anfallenden Zinsen. Die im Zukunftswertrechner verwendete mathematische Gleichung lautet

\( FV=PV+PVi \)

oder

\( FV=PV(1+i) \)

Für jede Periode in der Zukunft steigt der akkumulierte Wert um einen zusätzlichen Faktor (1 + i). Daher ist der über, sagen wir, 3 Perioden akkumulierte Zukunftswert gegeben durch

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \)

oder allgemein

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}\tag{1a} \)

und ebenso können wir für PV lösen, um zu erhalten

\( PV_{n}=\dfrac{FV_{n}}{(1+i)^{n}\tag{1b} \)

Die Gleichungen, die wir haben, sind (1a) der Zukunftswert eines gegenwärtigen Betrages und (1b) der Gegenwartswert eines zukünftigen Betrages mit einem periodischen Zinssatz i, wobei n die Anzahl der Perioden in der Zukunft ist. Üblicherweise wird diese Gleichung mit Perioden als Jahren angewandt, aber es ist weniger einschränkend, in den breiteren Begriffen von Perioden zu denken. Wenn man die Indizes aus (1b) weglässt, erhält man:

Zukunftswert einer gegenwärtigen Summe

\( FV=PV(1+i)^{n}\tag{1} \)

Future Value Annuity Formula Derivation

Eine Annuität ist eine Geldsumme, die periodisch (in regelmäßigen Abständen) gezahlt wird. Nehmen wir an, wir haben eine Reihe von gleichen Barwerten, die wir als Zahlungen (PMT) bezeichnen und die einmal pro Periode für n Perioden zu einem konstanten Zinssatz i gezahlt werden. Der Zukunftswertrechner berechnet den FV der Reihe von Zahlungen 1 bis n mit Hilfe von Formel (1), um die einzelnen Zukunftswerte zu addieren.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a} \)

In Formel (2a) werden die Zahlungen am Ende der Perioden geleistet. Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung, PMT, ist die letzte Zahlung der Reihe, die am Ende der letzten Periode erfolgt, also zum gleichen Zeitpunkt wie der zukünftige Wert. Daher werden auf diese Zahlung keine Zinsen angewandt. Der letzte Term auf der rechten Seite der Gleichung, PMT(1+i)n-1, ist die erste Zahlung der Reihe, die am Ende der ersten Periode erfolgt, die nur n-1 Perioden vom Zeitpunkt unseres zukünftigen Wertes entfernt ist.

Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit (1 + i) und Sie erhalten

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}\tag{2b} \)

Subtrahiert man Gleichung (2a) von (2b), so heben sich die meisten Terme auf und es bleibt

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

die gleichen Terme auf beiden Seiten streichen

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

die 1 auf der linken Seite streichen und dann durch i dividieren, Der zukünftige Wert einer gewöhnlichen Annuität, die am Ende jeder Periode ausgezahlt wird, ist

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} (1+i ^n-1)\)

Für eine fällige Annuität werden die Zahlungen am Anfang jeder Periode statt am Ende geleistet, daher sind die Zahlungen jetzt 1 Periode weiter von der FV entfernt. Wir müssen die Formel um 1 Periode des Zinswachstums erhöhen. Dies könnte geschrieben werden als

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)} \)

Aber durch Ausklammern des Faktors (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Multipliziert man also jede Zahlung in Gleichung (2a) oder die rechte Seite von Gleichung (2c) mit dem Faktor (1 + i), so erhält man die Gleichung der FV für eine fällige Annuität. Diese kann allgemeiner geschrieben werden als

Zukunftswert einer Annuität

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{2} \)

wobei T für den Typ steht. (ähnlich wie Excel-Formeln) Wenn die Zahlungen am Ende der Periode erfolgen, handelt es sich um eine gewöhnliche Annuität und wir setzen T = 0. Wenn die Zahlungen am Anfang der Periode erfolgen, handelt es sich um eine fällige Annuität und wir setzen T = 1.

Zukunftswert einer gewöhnlichen Annuität

wenn T = 0 ist, sind die Zahlungen am Ende jeder Periode und wir haben die Formel für den Zukunftswert einer gewöhnlichen Annuität

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1} \)

Zukunftswert einer fälligen Annuität

wenn T = 1, die Zahlungen zu Beginn jeder Periode erfolgen und wir die Formel für den Zukunftswert einer fälligen Annuität haben

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2} \)

Future Value Growing Annuity Formula Derivation

Sie können auch eine wachsende Annuität mit diesem Zukunftswertrechner berechnen. Bei einer wachsenden Annuität steigt jeder sich ergebende Zukunftswert nach dem ersten um einen Faktor (1 + g), wobei g die konstante Wachstumsrate ist. Ändert man Gleichung (2a), um das Wachstum zu berücksichtigen, erhält man

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a} \)

In Formel (3a) werden die Zahlungen am Ende der Perioden geleistet. Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung, PMT(1+g)n-1, war die letzte Zahlung der Reihe, die am Ende der letzten Periode, also zum gleichen Zeitpunkt wie der zukünftige Wert, erfolgte. Wenn wir mit (1 + g) multiplizieren, wird in dieser Periode die Wachstumssteigerung (n – 1) mal angewendet. Der letzte Term auf der rechten Seite der Gleichung, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, ist die erste Zahlung der Reihe, die am Ende der ersten Periode erfolgt, und das Wachstum wird nicht auf die erste PMT oder (n-n) mal angewendet.

Multiplizieren Sie FV mit (1+i)/(1+g) und Sie erhalten

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b} \)

Subtrahiert man Gleichung (3a) von (3b), so heben sich die meisten Terme auf und es bleibt

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

mit etwas algebraischer Manipulation, durch Multiplikation beider Seiten mit (1 + g) erhalten wir

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \)

Ausziehen gleicher Terme auf beiden Seiten

\( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

Löscht man die 1 auf der linken Seite und teilt dann durch (i-g), erhält man schließlich

Zukunftswert einer wachsenden Annuität (g ≠ i)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

Ähnlich wie in Gleichung (2) multiplizieren wir mit dem Faktor (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3}), um zu berücksichtigen, ob wir eine wachsende fällige Rente oder eine wachsende gewöhnliche Rente haben \)

Zukunftswert einer wachsenden Annuität (g = i)

Wenn g = i ist, können wir g durch i ersetzen, und Sie werden feststellen, dass wir, wenn wir (1 + g) in Gleichung (3a) durch (1 + i) ersetzen, erhalten

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \)

Kombinieren wir die Terme, so erhalten wir

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

Da wir nun n Instanzen von PMT(1+i)n-1 haben, können wir die Gleichung reduzieren. Berücksichtigen wir auch eine fällige oder gewöhnliche Rente, multiplizieren wir mit (1 + iT) und wir erhalten

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4} \)

Zukunftswert einer ewigen oder wachsenden ewigen Rente (t → ∞)

Für g < i, für eine ewige Rente, eine ewige Rente oder eine wachsende ewige Rente geht die Anzahl der Perioden t gegen unendlich, daher geht n gegen unendlich und logischerweise geht der Zukunftswert in den Gleichungen (2), (3) und (4) gegen unendlich, so dass keine Gleichungen angegeben werden. Der Zukunftswert jeder ewigen Rente geht ins Unendliche.

Zukunftswertformel für kombinierte Zukunftswertsumme und Cashflow (Annuität):

Wir können die Gleichungen (1) und (2) kombinieren, um eine Zukunftswertformel zu erhalten, die sowohl eine Zukunftswertpauschale als auch eine Annuität enthält. Diese Gleichung ist vergleichbar mit den zugrunde liegenden Zeitwertgleichungen in Excel.

Zukunftswert

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{5} \)

Wie in Formel (2.1), wenn T = 0, Zahlungen am Ende jeder Periode, haben wir die Formel für den zukünftigen Wert mit einer gewöhnlichen Annuität

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Wie in Formel (2.2), wenn T = 1, Zahlungen zu Beginn jeder Periode, haben wir die Formel für den Zukunftswert mit einer fälligen Annuität

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Zukunftswert, wenn i = 0

Für den Fall, dass i = 0 ist, muss g ebenfalls 0 sein, und wir schauen auf die Gleichungen (1) und (2a) zurück, um zu sehen, dass die kombinierte Zukunftswertformel sich reduzieren lässt auf

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

Future Value with Growing Annuity (g < i)

umgeschrieben aus Formel (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \)

Future Value with Growing Annuity (g = i)

umgeschrieben aus Formel (4)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7} \)

Hinweis zur Aufzinsung m, Zeit t und Rate r

Formel (5) kann erweitert werden, um die Aufzinsung zu berücksichtigen.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8}

wobei n = mt und i = r/m. t ist die Anzahl der Perioden, m ist das Aufzinsungsintervall pro Periode und r ist der Zinssatz pro Periode t. (Dies ist leicht zu verstehen, wenn t in Jahren, r der nominale Zinssatz pro Jahr und m das Aufzinsungsintervall pro Jahr angegeben wird) Wenn man es in Form von i und n schreibt, ist i der Zinssatz pro Aufzinsungsintervall und n ist das gesamte Aufzinsungsintervall, obwohl dies immer noch als „i ist der Zinssatz pro Periode und n ist die Anzahl der Perioden“ angegeben werden kann, wobei Periode = Aufzinsungsintervall. „Periode“ ist ein weit gefasster Begriff.

Bezogen auf die Rechnereingaben sind r = R/100 und g = G/100. Wenn Aufzinsung und Zahlungsfrequenz bei diesen Berechnungen nicht übereinstimmen, werden r und g in einen äquivalenten Satz umgewandelt, damit sie mit den Zahlungen übereinstimmen, und dann werden n und i in Bezug auf die Zahlungsfrequenz q neu berechnet. Der erste Teil der Gleichung ist der künftige Wert einer gegenwärtigen Summe und der zweite Teil ist der künftige Wert einer Rente.

Zukunftswert mit ewiger Rente oder wachsender ewiger Rente (t → ∞ und n = mt → ∞)

Für eine ewige Rente geht die Anzahl der Perioden t gegen unendlich, daher geht n gegen unendlich und logischerweise geht auch der Zukunftswert in Gleichung (5) gegen unendlich, so dass keine Gleichungen angegeben werden. Der Zukunftswert jeder ewigen Rente geht ins Unendliche.

Kontinuierliche Aufzinsung (m → ∞)

Berechnung des Zukunftswerts mit kontinuierlicher Aufzinsung, wiederum mit Blick auf Formel (8) für den Gegenwartswert, wobei m die Aufzinsung pro Periode t, t die Anzahl der Perioden und r der Aufzinsungssatz mit i = r/m und n = mt ist.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

Der effektive Zinssatz ist ieff = ( 1 + ( r / m )m – 1 für einen Zinssatz r, der m-mal pro Periode aufgezinst wird. Es kann mathematisch bewiesen werden, dass mit m → ∞ der Effektivzins von r bei kontinuierlicher Aufzinsung die obere Grenze gleich er – 1 erreicht. Entfernt man das m und ändert r in die effektive Rate von r, er – 1:

Formel (5) oder (8) wird

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T) \)

Streichen der 1, wo möglich, ergibt die endgültige Formel für den Zukunftswert mit kontinuierlicher Aufzinsung

Zukunftswert mit kontinuierlicher Aufzinsung (m → ∞)

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9} \)

für eine gewöhnliche Annuität

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1} \)

für eine fällige Annuität

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2} \)

Zukunftswert einer wachsenden Annuität (g ≠ i) und kontinuierliche Aufzinsung (m → ∞)

Wir können Gleichung (3a) für kontinuierliche Aufzinsung modifizieren, indem wir i durch er – 1 ersetzen, und wir erhalten:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Multiplizieren von (10a) mit er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+…+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

Subtrahiert man (10a) von (10b), so heben sich die meisten Terme auf und es bleibt

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

Multiplizieren durch (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n} \)

Faktorisiert man die gleichen Terme auf beiden Seiten und löst dann FV, indem man beide Seiten durch (er – (1 + g)) dividiert, so erhält man

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n}) \)

Wenn man den Term hinzufügt, der berücksichtigt, ob es sich um eine wachsende fällige Annuität oder eine wachsende gewöhnliche Annuität handelt, multipliziert man mit dem Faktor (1 + (er-1)T)

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10} \)

Future Value of a Growing Annuity (g = i) and Continuous Compounding (m → ∞)

Ausgehend von Gleichung (4) ersetzen wir i’s durch er – 1 und erhalten vereinfacht:

\( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11} \)

Beispiel für Zukunftswertberechnungen:

Ein Beispiel, das Sie im Zukunftswert-Rechner verwenden können. Sie haben 15.000 $ Ersparnisse und beginnen damit, monatlich 100 $ auf ein Konto einzuzahlen, das eine jährliche Verzinsung von 1,5 % mit monatlicher Zinseszinsung aufweist. Sie werden Ihre Einzahlungen am Ende eines jeden Monats vornehmen. Sie möchten den Wert Ihrer Investition in 10 Jahren oder den zukünftigen Wert Ihres Sparkontos wissen.

  • 1 Periode = 1 Jahr
  • Gegenwartswert der Investition PV = 15.000
  • Anzahl der Perioden t = 10 (Jahre)
  • Rate pro Periode R = 1.5% (r = 0,015)
  • Aufzinsung 12 mal pro Periode (monatlich) m = 12
  • Wachstumsrate pro Periode G = 0
  • Auszahlungsbetrag PMT = 100,00
  • Auszahlungen pro Periode q = 12 (monatlich)

Unter Verwendung von Gleichung (7) ergibt sich

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