In meinem letzten Beitrag über einen schwebenden Saturn habe ich angedeutet, dass ich über die Methoden schreiben könnte, mit denen wir die Dichte des Saturn bestimmen können. Oh, und noch einmal, die Dichte des Saturn ist geringer als die Dichte von Wasser auf der Erde – aber er würde nicht schwimmen.
Nur zur Erinnerung, wir definieren Dichte als:
Das bedeutet, dass wir zwei Dinge bestimmen müssen. Erstens brauchen wir die Masse des Saturns. Zweitens brauchen wir das Volumen. Wir können das Volumen ermitteln, wenn wir den Radius des Saturns kennen.
Volumen
Technisch gesehen ist der Saturn nicht vollkommen kugelförmig. Der Abstand vom Zentrum zum Äquator ist größer als der Abstand vom Zentrum zum Pol. Das liegt daran, dass der Saturn sich dreht und kein starres Objekt ist. Stellen Sie sich einen sich drehenden Pizzateig vor – das ist das Gleiche, nur dass es der Saturn ist. Man kann sowohl den polaren als auch den äquatorialen Radius mit der gleichen Idee messen – aber ich werde einfach so tun, als sei Saturn eine Kugel.
Wenn er eine Kugel ist, dann wäre das Volumen:
Aber wie erhält man den Radius (oder Durchmesser). Der erste Schritt ist die Betrachtung der Winkelgröße. Wenn man die Winkelgröße eines Objekts und den Abstand zu diesem Objekt kennt, kann man die Größe ermitteln. Hier ist ein Bild, das ich mehrmals verwendet habe und das diese Beziehung zeigt.
Wenn also das Objekt weit genug entfernt oder klein genug ist, entspricht die Höhe (oder Länge) ungefähr der Bogenlänge eines Kreises mit einem Radius, der der Entfernung entspricht. Die Größe des Objekts ist dann einfach die Winkelgröße multipliziert mit der Entfernung des Objekts.
Aber wie misst man überhaupt die Winkelgröße? Nun, wenn man ein Bild hat, muss man den Winkelbereich der Kamera kennen – ich habe das experimentell mit einem iPhone gemacht. Früher, als es noch keine Kameras gab, konnte man einfach ein Teleskop benutzen. Es ist nicht allzu schwierig, die Winkelgröße mit einem Objektiv zu messen. Man muss nur das Winkelgesichtsfeld des Objektivs bestimmen und dann ein paar Markierungen anbringen, damit man den Bruchteil des Feldes für die Winkelgröße des Objekts abschätzen kann.
Das ist toll, aber es hängt von etwas ziemlich Wichtigem ab. Wie weit ist der Saturn entfernt? An dieser Stelle kommt Johannes Kepler ins Spiel. Anhand der verfügbaren Daten entwickelte Kepler drei Modelle für die Bewegung von Objekten im Sonnensystem.
- Die Bahn eines Objekts im Sonnensystem ist eine Ellipse mit der Sonne als Brennpunkt.
- Wenn sich ein Objekt der Sonne nähert, bewegt es sich schneller. Kepler ging sogar noch weiter und sagte, dass das Objekt für ein bestimmtes Zeitintervall dieselbe Fläche überstreicht, unabhängig davon, wo es sich auf seiner Bahn befindet.
- Die Umlaufzeit hängt mit dem Bahnabstand (Halbwertsachse) zusammen. In der Tat ist das Quadrat der Periode proportional (aber nicht gleich) zum Kubus der Halbachse.
Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung sind keine neue Physik. Wenn man will, könnte man dieselben Gesetze auch mit dem Impulsprinzip und der Gravitationskraft, die proportional zu eins über dem Quadrat der Entfernung ist, aufstellen. Die Gesetze funktionieren jedoch, und es ist das letzte Gesetz, das hier nützlich ist. Wenn ich die Umlaufzeit von Saturn und Erde kenne, kann ich schreiben:
Das T ist das in der Physik übliche Symbol für die Zeitspanne, und die Zeiteinheiten sind nicht wirklich wichtig. Die Proportionalitätskonstante k hebt sich auf, wenn ich die eine Gleichung durch die andere teile. Am Ende habe ich einen Ausdruck für die halbe Hauptachse des Saturn. Befände sich der Saturn auf einer Kreisbahn, wären dies der Radius und der Abstand zur Sonne. Aha! Aber ich habe die Entfernung von der Erde zum Saturn noch nicht. Ich kann die Entfernung zum Saturn über die Entfernung von der Sonne zur Erde ermitteln. Der Einfachheit halber nennen wir diesen Abstand Erde-Sonne 1 Astronomische Einheit (AE). Das ist ja schön und gut, aber wenn ich diese Einheit (AU) für die Größe des Saturns verwende, erhalte ich die Dichte in seltsamen Einheiten – kg/AU3. Um die Dichte des Saturn mit der von Wasser zu vergleichen, brauchen wir die Entfernung in etwas Nützlichem – wie Meter oder vielleicht Meter.
Wie findet man den Wert von 1 AU in Metern? Es gibt mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit, diese Entfernung zu bestimmen, ist die griechische Methode. Ja, griechische Astronomen haben das irgendwann um 500 v. Chr. gemacht. Hier ist eine kurze Version der Methode:
- Bestimmen Sie den Radius der Erde anhand der Schatten an verschiedenen Stellen der Erde.
- Angenommen, der Mond bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde. Bestimme die Differenz zwischen der berechneten Position (ausgehend vom Erdmittelpunkt) und der tatsächlichen Position (gemessen von der Erdoberfläche), um die Entfernung (und Größe) des Mondes zu bestimmen.
- Messe den Winkel zwischen der Sonne und dem Mond, wenn die Mondphase ein Viertel ist. Dies ergibt ein rechtwinkliges Dreieck. Da der Abstand von der Erde zum Mond bereits bekannt ist, kann man die Entfernung (und Größe) des Mondes ermitteln.
Hier ist ein älterer Beitrag, der mehr Details zu diesen Messungen zeigt. Vielleicht sehen Sie schon das Problem mit dieser Methode. Wenn Ihre Messungen für die Größe der Erde falsch sind, dann ist auch alles andere falsch. Die Bestimmung der Entfernung zur Sonne durch die Griechen war nicht sehr genau.
Ein besserer Weg, die Entfernung zwischen Erde und Sonne zu ermitteln, ist ein Venustransit. Dabei zieht die Venus zwischen der Erde und der Sonne vorbei. Wenn man die Start- und Endzeit von verschiedenen Orten auf der Erde aus misst, erhält man einen Wert für die Entfernung zwischen Erde und Sonne. Hier ist ein Beispiel mit modernen Daten.
Ich mag die oben genannten Methoden, um die Entfernung zum Saturn zu bestimmen, weil man es theoretisch selbst tun könnte. Natürlich gibt es noch bessere (genauere) Methoden, aber der Punkt ist, dass man tatsächlich die Entfernung zum Saturn und damit die Größe ermitteln könnte. Mit dem Radius könnte man das Volumen bestimmen.
Masse
Wir können nicht einfach die Keplerschen Gesetze benutzen, um die Masse zu bestimmen. Nein, wir müssen etwas grundlegendere Physik anwenden. Kurz gesagt, wir können die Masse des Saturn bestimmen, indem wir uns einen der Saturnmonde ansehen. Wenn wir den Bahnabstand und die Bahnperiode eines der Monde kennen, können wir die Masse ermitteln. Beachten Sie, dass dies etwas anderes ist als das, was wir oben getan haben, um das Volumen zu bestimmen. In diesem Fall haben wir die Umlaufzeit des Saturns auf seiner Bahn um die Sonne verwendet, um den Abstand zu ermitteln. Hier benötigen wir sowohl die Entfernung als auch die Periode des Mondes.
Beginnen wir mit einigen physikalischen Grundlagen. Hier ist ein Diagramm des größten Saturnmondes, Titan, wie er die Sonne umkreist.
Die Gravitationskraft hängt sowohl von der Masse von Saturn und Titan als auch von der Entfernung zwischen ihnen ab. Die Größe kann wie folgt geschrieben werden:
Wobei G einfach die universelle Gravitationskonstante ist. Das Impulsprinzip besagt, dass diese Gravitationskraft den Impuls verändert. Da diese Kraft senkrecht zum Impuls (p) steht, ändert die Kraft nur die Richtung des Impulses und nicht den Betrag. Es stellt sich heraus, dass ich das Impulsprinzip in Form der Gravitationskraft und der Winkelgeschwindigkeit des Titans auf seiner Umlaufbahn schreiben kann.
Ich weiß, dass ich einige Schritte übersprungen habe, aber der Punkt ist, dass es eine Beziehung zwischen der Masse des Saturns, der Größe seiner Umlaufbahn und der Umlaufgeschwindigkeit gibt. Wenn ich anstelle der Winkelgeschwindigkeit die Periode einsetze (Periode = 2π/ω), kann ich die Masse des Saturn ermitteln.
Nun braucht man nur noch drei Dinge: G, die Größe der Umlaufbahn und die Periode der Umlaufbahn für Titan. Die Periode ist ziemlich einfach. Man muss den Planeten nur einige Zeit durch ein Teleskop beobachten und die Tage zählen, bis Titan eine vollständige Umrundung des Planeten Saturn macht (etwa 16 Tage). Auch die Größe der Umlaufbahn ist nicht allzu schwer zu ermitteln. Im Wesentlichen macht man dafür dasselbe wie für die Größe des Saturns – man verwendet die Entfernung und die Winkelgröße.
Die Gravitationskonstante kann mit dem Cavendish-Experiment ermittelt werden. Im Grunde werden einige kleine Massen auf einem rotierenden Stab von größeren stationären Massen angezogen. Indem man die Verdrehung des Stabes betrachtet, kann man die Gravitationskraft und damit G bestimmen.
Und das war’s. Wenn du die Masse und das Volumen hast, kannst du die Dichte berechnen. Siehst du, es ist ganz einfach.