Sonnenuhr

Die am häufigsten beobachteten Sonnenuhren sind solche, bei denen der Schattenwerfer fest positioniert und auf die Rotationsachse der Erde ausgerichtet ist, die mit dem wahren Norden und Süden ausgerichtet ist und mit der Horizontalen einen Winkel bildet, der der geografischen Breite entspricht. Diese Achse ist auf die Himmelspole ausgerichtet, die eng, aber nicht perfekt, auf den Polarstern Polaris ausgerichtet sind. Zur Veranschaulichung: Die Himmelsachse zeigt vertikal auf den wahren Nordpol, während sie horizontal auf den Äquator zeigt. In Jaipur, der Heimat der größten Sonnenuhr der Welt, sind die Gnomone 26°55″ über die Horizontale angehoben, um den örtlichen Breitengrad widerzuspiegeln.

An jedem beliebigen Tag scheint sich die Sonne gleichmäßig um diese Achse zu drehen, und zwar mit etwa 15° pro Stunde, so dass sie in 24 Stunden einen vollen Kreis (360°) durchläuft. Ein linearer Gnomon, der auf diese Achse ausgerichtet ist, wirft einen Schatten (eine Halbebene), der gegenüber der Sonne fällt und sich ebenfalls mit 15° pro Stunde um die Himmelsachse dreht. Der Schatten wird gesehen, wenn er auf eine Empfangsfläche fällt, die normalerweise flach ist, aber auch kugelförmig, zylindrisch, kegelförmig oder anders geformt sein kann. Fällt der Schatten auf eine Fläche, die symmetrisch zur Himmelsachse ist (wie bei einer Armillarsphäre oder einem Äquatorialzifferblatt), so bewegt sich der Oberflächenschatten ebenfalls gleichmäßig; die Stundenlinien auf der Sonnenuhr sind gleich weit voneinander entfernt. Wenn die Empfangsfläche jedoch nicht symmetrisch ist (wie bei den meisten horizontalen Sonnenuhren), bewegt sich der Oberflächenschatten im Allgemeinen ungleichmäßig und die Stundenlinien sind nicht gleichmäßig verteilt; eine Ausnahme ist das weiter unten beschriebene Lambert-Zifferblatt.

Einige Arten von Sonnenuhren sind mit einem festen Gnomon ausgestattet, der nicht wie ein vertikaler Obelisk auf die Himmelspole ausgerichtet ist. Solche Sonnenuhren werden weiter unten im Abschnitt „Nodus-basierte Sonnenuhren“ behandelt.

Empirische StundenlinienmarkierungBearbeiten

Mit den in den folgenden Abschnitten dargestellten Formeln lassen sich die Positionen der Stundenlinien für verschiedene Arten von Sonnenuhren berechnen. In einigen Fällen sind die Berechnungen einfach, in anderen Fällen sind sie äußerst kompliziert. Es gibt eine alternative, einfache Methode zur Bestimmung der Positionen der Stundenlinien, die für viele Arten von Sonnenuhren verwendet werden kann und in den Fällen, in denen die Berechnungen kompliziert sind, eine Menge Arbeit erspart. Dabei handelt es sich um ein empirisches Verfahren, bei dem die Position des Schattens des Gnomons einer echten Sonnenuhr in stündlichen Abständen markiert wird. Die Zeitgleichung muss berücksichtigt werden, um sicherzustellen, dass die Positionen der Stundenlinien unabhängig von der Jahreszeit sind, in der sie markiert werden. Dies lässt sich leicht bewerkstelligen, indem man eine Uhr so einstellt, dass sie die „Sonnenuhrzeit“ anzeigt, d. h. die Standardzeit plus die Zeitgleichung für den betreffenden Tag. Die Stundenlinien auf der Sonnenuhr sind so markiert, dass sie die Positionen des Schattens des Stils anzeigen, wenn diese Uhr ganze Stundenzahlen anzeigt, und sind mit diesen Stundenzahlen beschriftet. Wenn die Uhr beispielsweise 5:00 anzeigt, ist der Schatten des Stils markiert und mit „5“ (oder „V“ in römischen Ziffern) beschriftet. Wenn an einem Tag nicht alle Stundenlinien markiert sind, muss die Uhr alle ein bis zwei Tage angepasst werden, um die Schwankungen der Zeitgleichung zu berücksichtigen.

Äquatoriale SonnenuhrenBearbeiten

Das charakteristische Merkmal des Äquatorialzifferblatts (auch Äquinoktialzifferblatt genannt) ist die ebene Fläche, auf die der Schatten fällt und die genau senkrecht zum Stil des Gnomons liegt. Diese Ebene wird als äquatorial bezeichnet, weil sie parallel zum Äquator der Erde und der Himmelskugel liegt. Wenn der Gnomon feststeht und mit der Rotationsachse der Erde ausgerichtet ist, wirft die scheinbare Drehung der Sonne um die Erde einen gleichmäßig rotierenden Schattenbogen auf den Gnomon; dies erzeugt eine gleichmäßig rotierende Schattenlinie auf der Äquatorebene. Da sich die Sonne in 24 Stunden um 360° dreht, sind die Stundenlinien auf einem äquatorialen Zifferblatt alle 15° voneinander entfernt (360/24).

H E = 15 ∘ × t (Stunden) . {\displaystyle H_{E}=15^{\circ }\mal t (Stunden)}.}

Durch die Gleichmäßigkeit ihrer Abstände ist diese Art von Sonnenuhr leicht zu konstruieren. Ist das Material der Zifferblattplatte undurchsichtig, müssen beide Seiten des Äquatorialzifferblatts markiert werden, da der Schatten im Winter von unten und im Sommer von oben geworfen wird. Bei lichtdurchlässigen Zifferblättern (z. B. Glas) müssen die Stundenwinkel nur auf der der Sonne zugewandten Seite markiert werden, obwohl die Stundennummerierungen (falls verwendet) auf beiden Seiten des Zifferblatts vorgenommen werden müssen, da das Stundenschema auf der der Sonne zugewandten Seite und auf der der Sonne abgewandten Seite unterschiedlich ist.

Ein weiterer großer Vorteil dieses Zifferblatts ist, dass Korrekturen der Zeitgleichung (EoT) und der Sommerzeit (DST) durch einfaches Drehen des Zifferblatts um den entsprechenden Winkel jeden Tag vorgenommen werden können. Der Grund dafür ist, dass die Stundenwinkel gleichmäßig um das Zifferblatt verteilt sind. Aus diesem Grund ist ein äquatoriales Zifferblatt oft eine gute Wahl, wenn das Zifferblatt für die Öffentlichkeit bestimmt ist und die wahre Ortszeit mit angemessener Genauigkeit angezeigt werden soll. Die EoT-Korrektur erfolgt über die Beziehung

Korrektur ∘ = EoT (Minuten) + 60 × Δ DST (Stunden) 4 . {\displaystyle {\text{Korrektur}}^{\circ }={\frac {{\text{EoT (Minuten)}}+60\times \Delta {\text{DST (Stunden)}}{4}}.}

In der Nähe der Tagundnachtgleiche im Frühling und Herbst bewegt sich die Sonne auf einem Kreis, der fast mit der Äquatorebene übereinstimmt; daher entsteht zu diesen Zeiten kein deutlicher Schatten auf dem äquatorialen Zifferblatt, was ein Nachteil der Konstruktion ist.

Ein Nodus wird manchmal zu äquatorialen Sonnenuhren hinzugefügt, der es der Sonnenuhr ermöglicht, die Jahreszeit zu bestimmen. An jedem beliebigen Tag bewegt sich der Schatten des Nodus auf einem Kreis in der Äquatorebene, und der Radius des Kreises misst die Deklination der Sonne. Die Enden des Gnomonstabs können als Nodus verwendet werden, oder ein Merkmal entlang seiner Länge. Eine alte Variante der äquatorialen Sonnenuhr hat nur einen Nodus (keinen Stil), und die konzentrischen kreisförmigen Stundenlinien sind so angeordnet, dass sie einem Spinnennetz ähneln.

Horizontale SonnenuhrenBearbeiten

Bei der Horizontalsonnenuhr (auch Gartensonnenuhr genannt) ist die Ebene, die den Schatten aufnimmt, horizontal ausgerichtet und nicht senkrecht zum Stil wie bei der Äquatorialuhr. Daher dreht sich die Schattenlinie nicht gleichmäßig auf dem Zifferblatt, sondern die Stundenlinien sind nach der Regel verteilt.

tan H H = sin L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{H}=\sin L\tan(15^{\circ }\times t)}

Oder in anderen Worten:

H H = tan – 1 {\displaystyle \ H_{H}=\tan ^{-1}}

wobei L die geografische Breite der Sonnenuhr ist (und der Winkel, den der Gnomon mit der Zifferblattplatte bildet), H H {\displaystyle H_{H}} ist der Winkel zwischen einer bestimmten Stundenlinie und der Mittagsstundenlinie (die immer nach Norden zeigt) auf der Ebene und t ist die Anzahl der Stunden vor oder nach Mittag. Der Winkel H {\displaystyle H_{H}} der 15-Uhr-Stundenlinie wäre beispielsweise gleich dem Arkustangens von sin L, da tan 45° = 1. Wenn L gleich 90° ist (am Nordpol), wird die Horizontalsonnenuhr zu einer Äquatorialsonnenuhr; der Stil zeigt gerade nach oben (vertikal), und die Horizontalebene ist mit der Äquatorialebene ausgerichtet; die Stundenlinienformel wird zu H H {\displaystyle H_{H}} = 15° × t, wie für ein Äquatorialzifferblatt. Eine horizontale Sonnenuhr am Erdäquator, bei der L gleich 0° ist, würde einen (erhöhten) horizontalen Stil erfordern und wäre ein Beispiel für eine polare Sonnenuhr (siehe unten).

Die Hauptvorteile der horizontalen Sonnenuhr sind, dass sie leicht abzulesen ist und das Sonnenlicht das ganze Jahr über das Zifferblatt beleuchtet. Alle Stundenlinien schneiden sich an dem Punkt, an dem der Gnomon die horizontale Ebene kreuzt. Da der Stab mit der Erdrotationsachse ausgerichtet ist, zeigt der Stab genau nach Norden, und sein Winkel mit der Horizontalen entspricht dem geografischen Breitengrad L der Sonnenuhr. Eine Sonnenuhr, die für einen Breitengrad ausgelegt ist, kann für die Verwendung auf einem anderen Breitengrad angepasst werden, indem ihre Basis um einen Winkel nach oben oder unten geneigt wird, der dem Breitengradunterschied entspricht. Zum Beispiel kann eine Sonnenuhr, die für einen Breitengrad von 40° ausgelegt ist, auf einem Breitengrad von 45° verwendet werden, wenn die Sonnenuhrenebene um 5° nach oben gekippt wird, wodurch der Stil mit der Rotationsachse der Erde ausgerichtet wird.

Viele Ziersonnenuhren sind für die Verwendung auf 45 Grad Nord ausgelegt. Einige in Massenproduktion hergestellte Gartensonnenuhren berechnen die Stundenlinien nicht korrekt und können daher nie korrigiert werden. Eine lokale Standardzeitzone ist nominell 15 Grad breit, kann aber geändert werden, um geografischen oder politischen Grenzen zu folgen. Eine Sonnenuhr kann um ihren Stil gedreht werden (der auf den Himmelspol ausgerichtet bleiben muss), um sie an die lokale Zeitzone anzupassen. In den meisten Fällen ist eine Drehung im Bereich von 7,5 Grad Ost bis 23 Grad West ausreichend. Dies führt zu Fehlern bei Sonnenuhren, die nicht den gleichen Stundenwinkel haben. Um die Sommerzeit zu korrigieren, benötigt ein Zifferblatt zwei Sätze von Ziffern oder eine Korrekturtabelle. Ein informeller Standard ist die Verwendung von Ziffern in warmen Farben für den Sommer und in kühlen Farben für den Winter. Da die Stundenwinkel nicht gleichmäßig verteilt sind, kann die Zeitgleichung nicht durch Drehen der Zifferblattplatte um die Gnomonachse korrigiert werden. Bei dieser Art von Zifferblättern ist in der Regel eine Tabelle zur Korrektur der Zeitgleichung auf dem Sockel oder in unmittelbarer Nähe eingraviert. Horizontale Zifferblätter findet man häufig in Gärten, auf Friedhöfen und in öffentlichen Bereichen.

Vertikale SonnenuhrenBearbeiten

Beim gewöhnlichen vertikalen Zifferblatt ist die schattenaufnehmende Ebene vertikal ausgerichtet; wie üblich ist der Stil des Gnomons auf die Erddrehachse ausgerichtet. Wie bei der horizontalen Skala bewegt sich die Schattenlinie nicht gleichmäßig auf der Fläche; die Sonnenuhr ist nicht gleichwinklig. Zeigt die Fläche des vertikalen Zifferblatts direkt nach Süden, wird der Winkel der Stundenlinien stattdessen durch die Formel

tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{V}=\cos L\tan(15^{\circ }\times t)} beschrieben

wobei L die geografische Breite der Sonnenuhr ist, H V {\displaystyle H_{V}} der Winkel zwischen einer bestimmten Stundenlinie und der Mittagsstundenlinie (die immer genau nach Norden zeigt) auf der Ebene ist und t die Anzahl der Stunden vor oder nach Mittag ist. Der Winkel H V {\displaystyle H_{V}} der 15-Uhr-Stundenlinie wäre beispielsweise gleich dem Arkustangens von cos L, da tan 45° = 1. Der Schatten bewegt sich auf einem nach Süden ausgerichteten vertikalen Zifferblatt gegen den Uhrzeigersinn, während er auf horizontalen und äquatorialen, nach Norden ausgerichteten Zifferblättern im Uhrzeigersinn verläuft.

Zifferblätter mit senkrecht zum Boden verlaufenden Flächen, die direkt nach Süden, Norden, Osten oder Westen ausgerichtet sind, werden als vertikale direkte Zifferblätter bezeichnet. Es wird weithin geglaubt und in seriösen Publikationen angegeben, dass ein vertikales Zifferblatt nicht mehr als zwölf Stunden Sonnenlicht pro Tag erhalten kann, unabhängig davon, wie viele Stunden Tageslicht vorhanden sind. Es gibt jedoch eine Ausnahme. Vertikale Sonnenuhren in den Tropen, die dem näheren Pol zugewandt sind (z. B. nach Norden in der Zone zwischen dem Äquator und dem Wendekreis des Krebses), können tatsächlich für einen kurzen Zeitraum um die Zeit der Sommersonnenwende mehr als 12 Stunden Sonnenlicht von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erhalten. Auf dem 20. nördlichen Breitengrad zum Beispiel scheint die Sonne am 21. Juni 13 Stunden und 21 Minuten lang auf eine nach Norden ausgerichtete senkrechte Wand. Vertikale Sonnenuhren, die nicht direkt nach Süden ausgerichtet sind (in der nördlichen Hemisphäre), können je nach Himmelsrichtung und Jahreszeit deutlich weniger als zwölf Stunden Sonnenlicht pro Tag erhalten. Ein senkrechtes Zifferblatt, das nach Osten ausgerichtet ist, kann beispielsweise nur in den Morgenstunden die Zeit anzeigen; am Nachmittag scheint die Sonne nicht auf das Zifferblatt. Vertikale Zifferblätter, die nach Osten oder Westen ausgerichtet sind, sind Polarzifferblätter, die weiter unten beschrieben werden. Vertikale Zifferblätter, die nach Norden ausgerichtet sind, sind unüblich, da sie die Zeit nur im Frühjahr und Sommer anzeigen und die Mittagsstunden nur in tropischen Breitengraden (und selbst dort nur um den Hochsommer herum). Bei nicht direkten vertikalen Zifferblättern – solchen, die in nicht-kardinale Richtungen zeigen – wird die Mathematik der Anordnung des Stils und der Stundenlinien komplizierter; es mag einfacher sein, die Stundenlinien durch Beobachtung zu markieren, aber zumindest die Platzierung des Stils muss zuerst berechnet werden; solche Zifferblätter werden als deklinierende Zifferblätter bezeichnet.

Vertikale Zifferblätter werden gewöhnlich an den Wänden von Gebäuden wie Rathäusern, Kuppeln und Kirchtürmen angebracht, wo sie von weitem gut zu sehen sind. In einigen Fällen sind vertikale Zifferblätter an allen vier Seiten eines rechteckigen Turms angebracht und zeigen den ganzen Tag über die Uhrzeit an. Das Zifferblatt kann auf die Wand gemalt oder in Stein gehauen sein; der Gnomon ist oft ein einzelner Metallstab oder ein Dreibein aus Metallstäben, um die Stabilität zu gewährleisten. Wenn die Gebäudewand zwar nach Süden, aber nicht genau nach Süden ausgerichtet ist, liegt der Gnomon nicht auf der Mittagslinie, und die Stundenlinien müssen korrigiert werden. Da der Stil des Gnomons parallel zur Erdachse verlaufen muss, „zeigt“ er immer genau nach Norden, und sein Winkel mit der Horizontalen entspricht der geografischen Breite der Sonnenuhr; bei einem direkten Südzifferblatt entspricht sein Winkel mit der Vertikalen des Zifferblatts dem Breitengrad oder 90° minus dem Breitengrad.

Polare ZifferblätterBearbeiten

Bei polaren Zifferblättern ist die schattenaufnehmende Ebene parallel zum Gnomon-Stil ausgerichtet, so dass der Schatten seitlich über die Oberfläche gleitet und sich senkrecht zu sich selbst bewegt, wenn sich die Sonne um den Stil dreht. Wie beim Gnomon sind die Stundenlinien alle auf die Rotationsachse der Erde ausgerichtet. Wenn die Sonnenstrahlen nahezu parallel zur Ebene verlaufen, bewegt sich der Schatten sehr schnell und die Stundenlinien liegen weit auseinander. Die direkt nach Osten und Westen ausgerichteten Zifferblätter sind Beispiele für ein polares Zifferblatt. Die Fläche eines Polarzifferblatts muss jedoch nicht senkrecht sein, sondern nur parallel zum Gnomon. Eine um den Breitenwinkel (gegenüber der Horizontalen) geneigte Ebene unter dem ebenfalls geneigten Gnomon ist also ein polares Zifferblatt. Der senkrechte Abstand X der Stundenlinien in der Ebene wird durch die Formel

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle X=H\tan(15^{\circ }\times t)} beschrieben

Dabei ist H die Höhe des Stils über der Ebene und t die Zeit (in Stunden) vor oder nach der Mittenzeit für das polare Zifferblatt. Die Mittelpunktszeit ist der Zeitpunkt, zu dem der Schatten des Stils direkt auf die Ebene fällt; bei einem nach Osten ausgerichteten Zifferblatt ist die Mittelpunktszeit 6 Uhr morgens, bei einem nach Westen ausgerichteten Zifferblatt 6 Uhr abends und bei dem oben beschriebenen geneigten Zifferblatt 12 Uhr mittags. Wenn t sich ±6 Stunden von der Mittelzeit entfernt, divergiert der Abstand X nach +∞; dies geschieht, wenn die Sonnenstrahlen parallel zur Ebene werden.

Senkrecht abfallende ZifferblätterBearbeiten

Eine deklinierte Skala ist eine nicht horizontale, ebene Skala, die nicht in eine Kardinalrichtung zeigt, wie (wahrer) Norden, Süden, Osten oder Westen. Wie üblich ist der Gnomon an der Erdrotationsachse ausgerichtet, aber die Stundenlinien sind nicht symmetrisch um die Mittagslinie. Bei einem vertikalen Zifferblatt ergibt sich der Winkel H VD {\displaystyle H_{\text{VD}}} zwischen der Mittagsstundenlinie und einer anderen Stundenlinie aus der nachstehenden Formel. Man beachte, dass H VD {\displaystyle H_{\text{VD}} im Uhrzeigersinn positiv definiert ist, bezogen auf den oberen vertikalen Stundenwinkel; und dass seine Umrechnung in die äquivalente Sonnenstunde eine sorgfältige Überlegung erfordert, in welchen Quadranten der Sonnenuhr er gehört.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {\displaystyle \tan H_{\text{VD}}={\frac {\cos L}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin L\sin D}}} tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{\text{V}}=\cos L\tan(15^{\circ }\times t)}

Wenn eine Sonnenuhr nicht nach einer Himmelsrichtung ausgerichtet ist, ist der Teilstil ihres Gnomons nicht auf die Mittagsstundenlinie ausgerichtet. Der Winkel B {\displaystyle B} zwischen der Unterform und der Mittagslinie ergibt sich aus der Formel

tan B = sin D cot L {\displaystyle \tan B=\sin D\cot L}

Die Höhe des Gnomons, d.h. der Winkel, den der Stil zur Platte bildet, G {\displaystyle G} , ist gegeben durch :

sin G = cos D cos L {\displaystyle \sin G=\cos D\cos L}

Liegende ZifferblätterBearbeiten

Die oben beschriebenen Sonnenuhren haben Gnomons, die mit der Rotationsachse der Erde ausgerichtet sind und ihren Schatten auf eine Ebene werfen. Wenn die Ebene weder vertikal noch horizontal noch äquatorial ist, wird die Sonnenuhr als liegend oder geneigt bezeichnet. Eine solche Sonnenuhr könnte zum Beispiel auf einem nach Süden ausgerichteten Dach stehen. Die Stundenlinien für eine solche Sonnenuhr können durch leichte Korrektur der obigen horizontalen Formel berechnet werden

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\cos(L+R)\tan(15^{\circ }\mal t)}

wobei R {\displaystyle R} der gewünschte Neigungswinkel relativ zur lokalen Vertikalen ist, L die geografische Breite der Sonnenuhr ist, H R V {\displaystyle H_{RV}} der Winkel zwischen einer bestimmten Stundenlinie und der Mittagsstundenlinie (die immer genau nach Norden zeigt) auf der Ebene ist und t die Anzahl der Stunden vor oder nach Mittag ist. Der Winkel H R V {\displaystyle H_{RV}} der 15-Uhr-Stundenlinie wäre zum Beispiel gleich dem Arkustangens von cos(L + R), da tan 45° = 1. Wenn R gleich 0° ist (mit anderen Worten, ein senkrechtes Zifferblatt, das nach Süden ausgerichtet ist), erhalten wir die obige Formel für ein senkrechtes Zifferblatt.

Einige Autoren verwenden eine spezifischere Nomenklatur, um die Ausrichtung der schattenempfangenden Ebene zu beschreiben. Zeigt die Fläche der Ebene nach unten in Richtung Boden, so spricht man von proklinierend oder neigend, während ein Zifferblatt als reklinierend bezeichnet wird, wenn die Zifferblattfläche vom Boden weg zeigt. Viele Autoren bezeichnen auch geneigte, proklinierte und geneigte Sonnenuhren im Allgemeinen als geneigte Sonnenuhren. Da I = 90° + R ist, wird in solchen Texten die Stundenwinkelformel oft wie folgt geschrieben:

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\sin(L+I)\tan(15^{\circ }\times t)}

Der Winkel zwischen dem Gnomonstil und der Zifferblattplatte, B, ist bei dieser Art von Sonnenuhr :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {\displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}

Oder :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {\displaystyle B=180^{\circ }-(L+I)}

Deklinierend-neigende Zifferblätter/ Deklinierend-neigende ZifferblätterEdit

Es gibt Sonnenuhren, die sowohl deklinierend als auch neigend sind, da ihre schattenaufnehmende Ebene nicht nach einer Kardinalrichtung (wie z. B. dem wahren Norden oder dem wahren Süden) ausgerichtet ist und weder horizontal noch vertikal noch äquatorial ist. Eine solche Sonnenuhr könnte sich zum Beispiel auf einem Dach befinden, das nicht in einer kardinalen Richtung ausgerichtet ist.

Die Formeln, die den Abstand der Stundenlinien auf solchen Zifferblättern beschreiben, sind etwas komplizierter als die für einfachere Zifferblätter.

Es gibt verschiedene Lösungsansätze, darunter einige, die die Methoden der Rotationsmatrizen verwenden, und einige, die ein 3D-Modell der zurückgelehnten-deklinierten Ebene und ihrer vertikalen, deklinierten Gegenstück-Ebene erstellen, die geometrischen Beziehungen zwischen den Stundenwinkel-Komponenten auf diesen beiden Ebenen extrahieren und dann die trigonometrische Algebra reduzieren.

Ein System von Formeln für zurückgelehnte-deklinierte Sonnenuhren: (wie von Fennewick angegeben)

Der Winkel H RD {\displaystyle H_{\text{RD}}} zwischen der Mittagsstundenlinie und einer anderen Stundenlinie ist durch die folgende Formel gegeben. Man beachte, dass H RD {\displaystyle H_{\text{RD}}} sich bei Zifferblättern, die teilweise nach Süden ausgerichtet sind, gegen den Uhrzeigersinn und bei solchen, die nach Norden ausgerichtet sind, im Uhrzeigersinn in Bezug auf den Nullstundenwinkel bewegt.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\cos R\cos L-\sin R\sin L\cos D-s_{o}\sin R\sin D\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\sin L}}

innerhalb der Parameterbereiche : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} und – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {\displaystyle -90^{\circ }<R<(90^{\circ }-L)} .

tan H RD = sin I cos L + cos I sin L cos D + s o cos I sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\sin I\cos L+\cos I\sin L\cos D+s_{o}\cos I\sin D\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\sin L}}

innerhalb der Parameterbereiche : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} und 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {\displaystyle 0^{\circ }<I<(180^{\circ }-L)} .

Hierbei ist L {\displaystyle L} die geografische Breite der Sonnenuhr; s o {\displaystyle s_{o}} ist die ganze Zahl des Orientierungsschalters; t ist die Zeit in Stunden vor oder nach Mittag; und R {\displaystyle R} und D {\displaystyle D} sind der Reklinations- bzw. der Deklinationswinkel, wobei R {\displaystyle R} in Bezug auf die Vertikale gemessen wird. Er ist positiv, wenn sich das Zifferblatt nach hinten zum Horizont neigt, und negativ, wenn sich das Zifferblatt nach vorne zum Horizont auf der Sonnenseite neigt. Der Deklinationswinkel D {\displaystyle D} ist als positiv definiert, wenn er sich östlich des wahren Südens bewegt. s o {\displaystyle s_{o}} = +1 bei ganz oder teilweise nach Süden ausgerichteten Zifferblättern, s o {\displaystyle s_{o}} = -1 bei ganz oder teilweise nach Norden ausgerichteten.Da der obige Ausdruck den Stundenwinkel als Arctan-Funktion angibt, muss berücksichtigt werden, zu welchem Quadranten der Sonnenuhr jede Stunde gehört, bevor der korrekte Stundenwinkel zugewiesen werden kann.

Im Gegensatz zu der einfacheren vertikal deklinierenden Sonnenuhr zeigt diese Art von Zifferblatt nicht immer Stundenwinkel auf der Sonnenseite für alle Deklinationen zwischen Ost und West an. Wenn sich ein auf der Nordhalbkugel gelegenes, teilweise nach Süden ausgerichtetes Zifferblatt aus der Vertikalen nach hinten (d. h. von der Sonne weg) neigt, wird der Gnomon bei Deklinationen, die weniger als genau Ost oder genau West betragen, koplanar mit der Zifferblattplatte. Ähnlich verhält es sich bei Zifferblättern der südlichen Hemisphäre, die teilweise nach Norden ausgerichtet sind: Würden diese Zifferblätter nach vorne geneigt sein, würde der Deklinationsbereich tatsächlich über die Ost- und Westrichtung hinausgehen, und bei Zifferblättern der nördlichen Hemisphäre, die teilweise nach Norden ausgerichtet sind, und bei Zifferblättern der südlichen Hemisphäre, die nach Süden ausgerichtet sind und deren Gnomon nach vorne gerichtet ist, ist der Deklinationsbereich für einen bestimmten Reklinationswert ähnlich eingeschränkt.Die kritische Deklination D c {\displaystyle D_{c}} ist eine geometrische Einschränkung, die sowohl vom Wert der Reklination des Zifferblatts als auch von seiner Breite abhängt:

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {\displaystyle \cos D_{c}=\tan R\tan L=-\tan L\cot I}

Wie beim vertikal deklinierten Zifferblatt ist der Teilstil des Gnomons nicht auf die Mittagsstundenlinie ausgerichtet. Die allgemeine Formel für den Winkel B {\displaystyle B} , zwischen der Nebenachse und der Mittagslinie lautet:

tan B = sin D sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\displaystyle \tan B={\frac {\sin D}{\sin R\cos D+\cos R\tan L}}={\frac {\sin D}{\cos I\cos D-\sin I\tan L}}

Der Winkel G {\displaystyle G} , zwischen dem Stil und der Platte ist gegeben durch :

sin G = cos L cos D cos R – sin L sin R = – cos L cos D sin I + sin L cos I {\displaystyle \sin G=\cos L\cos D\cos R-\sin L\sin R=-\cos L\cos D\sin I+\sin L\cos I}

Beachte, dass für G = 0 ∘ {\displaystyle G=0^{\circ }} , d.h. wenn der Gnomon koplanar mit der Skalenscheibe ist, haben wir :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {\displaystyle \cos D=\tan L\tan R=-\tan L\cot I}

d.h. wenn D = D c {\displaystyle D=D_{c}}

Empirische MethodeBearbeiten

Aufgrund der Komplexität der obigen Berechnungen ist es schwierig und fehleranfällig, sie für den praktischen Zweck des Entwurfs eines Zifferblatts dieser Art zu verwenden. Es wurde vorgeschlagen, dass es besser ist, die Stundenlinien empirisch zu bestimmen, indem man die Positionen des Schattens eines Stils auf einer echten Sonnenuhr in stündlichen Abständen markiert, wie sie von einer Uhr angezeigt werden, und die Zeitgleichung des betreffenden Tages addiert bzw. abzieht. Siehe Empirische Stundenstrichmarkierung, oben.

Sphärische SonnenuhrenBearbeiten

Die Fläche, die den Schatten aufnimmt, muss keine Ebene sein, sondern kann jede beliebige Form haben, vorausgesetzt, der Sonnenuhrmacher ist bereit, die Stundenlinien zu markieren. Wenn der Stil an der Erdrotationsachse ausgerichtet ist, ist eine Kugelform vorteilhaft, da die Stundenlinien gleichmäßig verteilt sind, wie bei dem obigen Äquatorialzifferblatt; die Sonnenuhr ist gleichwinklig. Dies ist das Prinzip der Armillarsphäre und der Äquatorialbogensonnenuhr. Einige gleichwinklige Sonnenuhren – wie die unten beschriebene Lambert-Sonnenuhr – beruhen jedoch auf anderen Prinzipien.

Bei der Äquatorialbogensonnenuhr ist der Gnomon ein Stab, ein Schlitz oder ein gespannter Draht, der parallel zur Himmelsachse verläuft. Die Vorderseite ist ein Halbkreis, der dem Äquator der Kugel entspricht, mit Markierungen auf der Innenfläche. Dieses einige Meter breite Muster aus temperaturbeständigem Stahlinvar wurde in Frankreich vor dem Ersten Weltkrieg verwendet, um die Züge pünktlich fahren zu lassen.

Zu den präzisesten Sonnenuhren, die je hergestellt wurden, gehören zwei Äquatorialbögen aus Marmor, die in Yantra mandir gefunden wurden. Diese Sammlung von Sonnenuhren und anderen astronomischen Instrumenten wurde von Maharaja Jai Singh II. in seiner damals neuen Hauptstadt Jaipur in Indien zwischen 1727 und 1733 gebaut. Der größere äquatoriale Bogen wird Samrat Yantra (Das höchste Instrument) genannt; er ist 27 Meter hoch und sein Schatten bewegt sich sichtbar mit 1 mm pro Sekunde, also etwa eine Handbreit (6 cm) pro Minute.

Zylindrische, konische und andere nicht-planare SonnenuhrenEdit

Andere nicht ebene Flächen können verwendet werden, um den Schatten des Gnomons aufzunehmen.

Als elegante Alternative kann der Stil (der durch ein Loch oder einen Schlitz im Umfang erzeugt werden kann) auf dem Umfang eines Zylinders oder einer Kugel angeordnet werden, anstatt auf der zentralen Symmetrieachse.

In diesem Fall sind die Stundenlinien wieder gleichmäßig verteilt, aber in einem doppelt so großen Winkel wie üblich, aufgrund des geometrischen Inschriftenwinkelsatzes. Dies ist die Grundlage einiger moderner Sonnenuhren, wurde aber auch in der Antike verwendet;

In einer anderen Variante des polarachsenausgerichteten Zylinders könnte ein zylindrisches Zifferblatt als schraubenförmige, bandartige Fläche dargestellt werden, mit einem dünnen Gnomon, der sich entweder in der Mitte oder am Rand befindet.