Physik

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Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts werden Sie in der Lage sein:

  • Den linearen Impuls eines Photons mit seiner Energie oder Wellenlänge in Beziehung zu setzen und die lineare Impulserhaltung auf einfache Prozesse anzuwenden, die die Emission, Absorption oder Reflexion von Photonen beinhalten.
  • Erkläre qualitativ die beobachtete Zunahme der Wellenlänge von Photonen und erkläre die Bedeutung der Compton-Wellenlänge.

Messung des Photonenimpulses

Das Quantum EM-Strahlung, das wir als Photon bezeichnen, hat Eigenschaften, die denen von Teilchen entsprechen, die wir sehen können, z. B. Sandkörner. Ein Photon interagiert bei Kollisionen oder bei Absorption als eine Einheit und nicht als eine ausgedehnte Welle. Massive Quanten, wie z. B. Elektronen, verhalten sich ebenfalls wie makroskopische Teilchen – etwas, das wir erwarten, weil sie die kleinsten Einheiten der Materie sind. Teilchen sind sowohl Träger von Impuls als auch von Energie. Obwohl Photonen keine Masse haben, gibt es seit langem Hinweise darauf, dass EM-Strahlung einen Impuls trägt. (Maxwell und andere, die EM-Wellen untersuchten, sagten voraus, dass sie einen Impuls tragen würden). Es ist nun eine allgemein anerkannte Tatsache, dass Photonen einen Impuls haben. Der photoelektrische Effekt, bei dem Photonen Elektronen aus einer Substanz herausschlagen, deutet auf den Impuls von Photonen hin. Abbildung 1 zeigt den makroskopischen Nachweis des Photonenimpulses.

Abbildung 1. Die Schweife des Hale-Bopp-Kometen zeigen von der Sonne weg, ein Beweis dafür, dass Licht einen Impuls hat. Staub, der aus dem Kometenkörper austritt, bildet diesen Schweif. Die Staubteilchen werden durch das von ihnen reflektierte Licht von der Sonne weggeschoben. Der blaue Schweif aus ionisiertem Gas entsteht ebenfalls durch Photonen, die mit den Atomen des Kometenmaterials wechselwirken. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Abbildung 1 zeigt einen Kometen mit zwei markanten Schweifen. Was die meisten Menschen nicht über die Schweife wissen, ist, dass sie immer von der Sonne weg zeigen und nicht hinter dem Kometen herlaufen (wie der Schweif von Bo Peeps Schaf). Kometenschweife bestehen aus Gasen und Staub, die aus dem Kometenkörper verdampft sind, sowie aus ionisiertem Gas. Die Staubteilchen prallen von der Sonne ab, wenn Photonen an ihnen abprallen. Offensichtlich tragen die Photonen einen Impuls in die Richtung ihrer Bewegung (weg von der Sonne), und ein Teil dieses Impulses wird bei Zusammenstößen auf die Staubteilchen übertragen. Die Gasatome und -moleküle im blauen Schweif werden am meisten von anderen Strahlungsteilchen beeinflusst, wie Protonen und Elektronen, die von der Sonne ausgehen, und weniger vom Impuls der Photonen.

Zusammenhänge herstellen: Impulserhaltung

Der Impuls ist nicht nur in allen Bereichen der Physik erhalten, sondern alle Arten von Teilchen haben auch einen Impuls. Wir erwarten, dass Teilchen mit Masse einen Impuls haben, aber jetzt sehen wir, dass auch masselose Teilchen wie Photonen einen Impuls haben.

Abbildung 2. Der Compton-Effekt ist die Bezeichnung für die Streuung eines Photons an einem Elektron. Energie und Impuls bleiben erhalten, was zu einer Verringerung beider für das gestreute Photon führt. Durch die Untersuchung dieses Effekts wies Compton nach, dass Photonen einen Impuls haben.

Der Impuls bleibt in der Quantenmechanik ebenso erhalten wie in der Relativitätstheorie und der klassischen Physik. Einige der frühesten direkten experimentellen Beweise dafür stammen aus der Streuung von Röntgenphotonen an Elektronen in Substanzen, die nach dem amerikanischen Physiker Arthur H. Compton (1892-1962) Compton-Streuung genannt wird. Um 1923 beobachtete Compton, dass Röntgenstrahlen, die von Materialien gestreut wurden, eine geringere Energie aufwiesen, und analysierte dies korrekt als Folge der Streuung von Photonen an Elektronen. Dieses Phänomen konnte als Zusammenstoß zwischen zwei Teilchen – einem Photon und einem Elektron, das sich im Material in Ruhe befindet – behandelt werden. Energie und Impuls bleiben bei dieser Kollision erhalten. (Siehe Abbildung 2) Für die Entdeckung dieser Streuung, die heute als Compton-Effekt bezeichnet wird, erhielt er 1929 den Nobelpreis, weil er den Nachweis erbrachte, dass der Impuls eines Photons durch p=\frac{h}{\lambda}\ gegeben ist, wobei h die Plancksche Konstante und λ die Wellenlänge des Photons ist. (Man beachte, dass der relativistische Impuls, der als p = γmu angegeben wird, nur für Teilchen mit Masse gilt.)

Wir sehen, dass der Photonenimpuls klein ist, da p=\frac{h}{\lambda}\\ und h sehr klein ist. Aus diesem Grund beobachten wir normalerweise keinen Photonenimpuls. Unsere Spiegel prallen nicht zurück, wenn Licht von ihnen reflektiert wird (außer vielleicht in Cartoons). Compton sah die Auswirkungen des Photonenimpulses, weil er Röntgenstrahlen beobachtete, die eine kleine Wellenlänge und einen relativ großen Impuls haben und mit dem leichtesten aller Teilchen, dem Elektron, wechselwirken.

Beispiel 1. Elektronen- und Photonenimpuls im Vergleich

  1. Berechnen Sie den Impuls eines sichtbaren Photons mit einer Wellenlänge von 500 nm.
  2. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons mit demselben Impuls.
  3. Wie hoch ist die Energie des Elektrons, und wie verhält sie sich zur Energie des Photons?

Strategie

Der Impuls des Photons lässt sich ganz einfach durch seine Definition bestimmen: p=\frac{h}{\lambda}\. Wenn wir feststellen, dass der Photonenimpuls klein ist, können wir davon ausgehen, dass ein Elektron mit demselben Impuls nichtrelativistisch ist, so dass es einfach ist, seine Geschwindigkeit und kinetische Energie aus den klassischen Formeln zu bestimmen.

Lösung für Teil 1

Der Photonenimpuls wird durch die Gleichung: p=\frac{h}{\lambda}\ gegeben.

Einsetzen der gegebenen Photonenwellenlänge ergibt

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{J }\cdot\text{s}}{500\times10^{-9}\text{m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\\

Lösung für Teil 2

Da dieser Impuls tatsächlich klein ist, werden wir den klassischen Ausdruck p = mv verwenden, um die Geschwindigkeit eines Elektrons mit diesem Impuls zu finden. Die Lösung für v und die Verwendung des bekannten Wertes für die Masse eines Elektrons ergibt

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}=1460\text{ m/s}\approx1460\text{ m/s}\

Lösung für Teil 3

Das Elektron hat eine kinetische Energie, die klassisch durch \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\ gegeben ist.

Damit ist \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9.11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\.

Umrechnung in eV durch Multiplikation mit \frac{1\text{ eV}}{1.602\times10^{-19}\text{ J}}\ ergibt KEe = 6.02 × 10-6 eV.

Die Photonenenergie E ist

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}=2.48\text{ eV}\\,

was etwa fünf Größenordnungen größer ist.

Diskussion

Das Photonenmoment ist tatsächlich klein. Selbst wenn wir eine große Anzahl von ihnen haben, ist der Gesamtimpuls, den sie tragen, klein. Ein Elektron mit demselben Impuls hat eine Geschwindigkeit von 1460 m/s, was eindeutig nichtrelativistisch ist. Ein massereicheres Teilchen mit demselben Impuls würde eine noch geringere Geschwindigkeit haben. Dies wird durch die Tatsache bestätigt, dass es weit weniger Energie braucht, um einem Elektron denselben Impuls zu verleihen wie einem Photon. Auf einer quantenmechanischen Skala jedoch, insbesondere bei hochenergetischen Photonen, die mit kleinen Massen wechselwirken, ist der Photonenimpuls von Bedeutung. Sogar auf einer großen Skala kann der Photonenimpuls eine Wirkung haben, wenn es genug von ihnen gibt und wenn nichts den langsamen Rückstoß der Materie verhindert. Kometenschweife sind ein Beispiel dafür, aber es gibt auch Vorschläge für den Bau von Raumsegeln, die riesige Spiegel mit geringer Masse (aus aluminisiertem Mylar) verwenden, um das Sonnenlicht zu reflektieren. Im Vakuum des Weltraums würden die Spiegel allmählich zurückprallen und könnten so Raumfahrzeuge von Ort zu Ort im Sonnensystem bringen. (Siehe Abbildung 3.)

Abbildung 3. (a) Es wurden Raumsegel vorgeschlagen, die den Impuls des Sonnenlichts nutzen, das von gigantischen Segeln mit geringer Masse reflektiert wird, um Raumfahrzeuge im Sonnensystem anzutreiben. Ein russisches Testmodell (Cosmos 1) wurde 2005 gestartet, schaffte es aber wegen eines Raketenausfalls nicht in die Umlaufbahn. (b) Eine US-amerikanische Version mit der Bezeichnung LightSail-1 soll in der ersten Hälfte dieses Jahrzehnts versuchsweise gestartet werden. Es wird ein 40 m2 großes Segel haben. (credit: Kim Newton/NASA)

Relativistischer Photonenimpuls

Es gibt eine Beziehung zwischen dem Photonenimpuls p und der Photonenenergie E, die mit der zuvor für die relativistische Gesamtenergie eines Teilchens angegebenen Beziehung E2 = (pc)2 + (mc)2 übereinstimmt. Wir wissen, dass m für ein Photon Null ist, p aber nicht, so dass E2 = (pc)2 + (mc)2 zu E = pc wird, oder p=\frac{E}{c}\ (Photonen).

Um die Gültigkeit dieser Beziehung zu überprüfen, muss man beachten, dass E=\frac{hc}{\lambda}\ für ein Photon ist. Setzt man dies in p=\frac{E}{c}\\ ein, so erhält man

\displaystyle{p}=\frac{\frac{hc}{\lambda}}{c}=\frac{h}{\lambda}\\,

wie experimentell bestimmt und oben diskutiert. Somit ist p=E/c äquivalent zu Comptons Ergebnis p=h/λ. Für eine weitere Überprüfung der Beziehung zwischen Photonenenergie und -impuls siehe Beispiel 2.

Photonendetektoren

Fast alle bisher besprochenen Detektionssysteme – Augen, fotografische Platten, Photomultiplierröhren in Mikroskopen und CCD-Kameras – beruhen auf teilchenähnlichen Eigenschaften von Photonen, die mit einem empfindlichen Bereich wechselwirken. Es kommt zu einer Veränderung, die entweder kaskadenförmig abläuft, oder es werden Millionen von Punkten aufgezeichnet, die ein Bild ergeben, das wir erkennen. Diese Detektoren werden in biomedizinischen Bildgebungssystemen verwendet, und es wird laufend an der Verbesserung der Effizienz des Photonenempfangs geforscht, insbesondere durch Kühlung der Detektionssysteme und Verringerung der thermischen Effekte.

Beispiel 2. Photonenenergie und -impuls

Zeigen Sie, dass p=\frac{E}{c}\ für das in Beispiel 1 betrachtete Photon gilt.

Strategie

Wir nehmen die in Beispiel 1 gefundene Energie E, teilen sie durch die Lichtgeschwindigkeit und sehen, ob sich der gleiche Impuls wie zuvor ergibt.

Lösung

Angenommen, die Energie des Photons ist 2,48 eV und wenn wir dies in Joule umrechnen, erhalten wir

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\

Diskussion

Dieser Wert für den Impuls ist derselbe wie der zuvor gefundene (man beachte, dass in allen Berechnungen ungerundete Werte verwendet werden, um selbst kleine Rundungsfehler zu vermeiden), eine erwartete Bestätigung der Beziehung p=\frac{E}{c}\\. Dies bedeutet auch, dass die Beziehung zwischen Energie, Impuls und Masse, die durch E2 = (pc)2 + (mc)2 gegeben ist, sowohl für Materie als auch für Photonen gilt. Noch einmal: Beachten Sie, dass p nicht Null ist, auch wenn m es ist.

Problemlösungsvorschlag

Beachten Sie, dass die Formen der Konstanten h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s und hc = 1240 eV ⋅ nm für die Aufgaben und Übungen dieses Abschnitts besonders nützlich sein können.

Zusammenfassung des Abschnitts

  • Photonen haben einen Impuls, der durch p=\frac{h}{\lambda}\\ gegeben ist, wobei λ die Wellenlänge des Photons ist.
  • Photonenenergie und Impuls sind durch p=\frac{E}{c}\\\ verbunden, wobei E=hf=\frac{hc}{\lambda}\\ für ein Photon.

Konzeptuelle Fragen

  1. Welche Formel kann für den Impuls aller Teilchen, mit oder ohne Masse, verwendet werden?
  2. Gibt es einen messbaren Unterschied zwischen dem Impuls eines Photons und dem Impuls von Materie?
  3. Warum spüren wir den Impuls des Sonnenlichts nicht, wenn wir am Strand sind?

Probleme & Übungen

  1. (a) Finden Sie den Impuls eines Mikrowellenphotons von 4,00 cm Wellenlänge. (b) Erläutern Sie, warum Sie erwarten, dass die Antwort auf (a) sehr klein ist.
  2. (a) Wie groß ist der Impuls eines Photons mit einer Wellenlänge von 0,0100 nm, das Details eines Atoms erkennen könnte? (b) Wie groß ist seine Energie in MeV?
  3. (a) Wie groß ist die Wellenlänge eines Photons mit einem Impuls von 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Bestimmen Sie seine Energie in eV.
  4. (a) Ein γ-Strahlen-Photon hat einen Impuls von 8,00 × 10-21 kg – m/s. Wie groß ist seine Wellenlänge? (b) Berechnen Sie seine Energie in MeV.
  5. (a) Berechnen Sie den Impuls eines Photons mit einer Wellenlänge von 2,50 μm. (b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons mit demselben Impuls. (c) Wie groß ist die kinetische Energie des Elektrons, und wie verhält sie sich im Vergleich zu der des Photons?
  6. Wiederholen Sie die vorherige Aufgabe für ein Photon mit einer Wellenlänge von 10,0 nm.
  7. (a) Berechnen Sie die Wellenlänge eines Photons, das den gleichen Impuls hat wie ein Proton, das sich mit 1,00 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. (b) Wie hoch ist die Energie des Photons in MeV? (c) Wie groß ist die kinetische Energie des Protons in MeV?
  8. (a) Bestimmen Sie den Impuls eines 100-keV-Röntgenphotons. (b) Bestimmen Sie die äquivalente Geschwindigkeit eines Neutrons mit demselben Impuls. (c) Wie groß ist die kinetische Energie des Neutrons in keV?
  9. Nehmen Sie das Verhältnis von relativistischer Ruheenergie, E = γmc2, zu relativistischem Impuls, p = γmu, und zeigen Sie, dass in der Grenze, in der die Masse gegen Null geht, \frac{E}{p}=c\\ ist.
  10. Konstruieren Sie ein eigenes Problem. Betrachten Sie ein Raumsegel, wie es in Beispiel 1 erwähnt wurde. Konstruieren Sie eine Aufgabe, in der Sie den Lichtdruck auf das Segel in N/m2 berechnen, der durch die Reflexion des Sonnenlichts entsteht. Berechnen Sie auch die Kraft, die erzeugt werden könnte und wie groß die Wirkung auf ein Raumschiff wäre. Zu berücksichtigen sind unter anderem die Intensität des Sonnenlichts, seine durchschnittliche Wellenlänge, die damit verbundene Anzahl der Photonen pro Quadratmeter, die Fläche des Raumsegels und die Masse des zu beschleunigenden Systems.
  11. Unbegründete Ergebnisse. Ein Auto spürt durch das Licht, das es von seinen Scheinwerfern aussendet, eine kleine Kraft, die gleich dem Impuls des Lichts geteilt durch die Zeit, in der es ausgesendet wird, ist. (a) Berechne die Leistung jedes Scheinwerfers, wenn sie eine Gesamtkraft von 2,00 × 10-2 N nach hinten auf das Auto ausüben. (b) Was ist an diesem Ergebnis unvernünftig? (c) Welche Annahmen sind unvernünftig oder widersprüchlich?

Glossar

Photonenimpuls: der Impuls, den ein Photon hat, berechnet durch p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}\\

Compton-Effekt: Phänomen, bei dem Röntgenstrahlen, die von Materialien gestreut werden, eine geringere Energie haben

Ausgewählte Lösungen zu Problemen & Übungen

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) Die Wellenlänge von Mikrowellenphotonen ist groß, daher ist der Impuls, den sie tragen, sehr klein.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) Elektron 3,86 × 10-26 J, Photon 7,96 × 10-20 J, Verhältnis 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 und P = γmu, also

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{\gamma{mc}}^{2}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\

Wenn die Masse des Teilchens gegen Null geht, nähert sich seine Geschwindigkeit u dem Wert c , so dass das Verhältnis von Energie zu Impuls in diesem Grenzfall

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{{c}^{2}}{c}=c\

ist, was mit der Gleichung für Photonenenergie übereinstimmt.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Die Scheinwerfer sind viel zu hell; (c) Die Kraft ist zu groß.

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