Die grundlegende Konstruktion in diesem Abschnitt ist das Punktprodukt, das Winkel zwischen Vektoren misst und die Länge eines Vektors berechnet.
Definition
Das Punktprodukt zweier Vektoren x,y in Rn ist
Betrachtet man x,y als Spaltenvektoren, so ist dies dasselbe wie xTy.
Zum Beispiel,
Beachte, dass das Punktprodukt von zwei Vektoren ein Skalar ist.
Du kannst mit Punktprodukten meist wie gewohnt rechnen, solange du dich daran erinnerst, dass du nur zwei Vektoren miteinander punktieren kannst und dass das Ergebnis ein Skalar ist.
Eigenschaften des Punktprodukts
Lass x,y,z Vektoren in Rn sein und lass c einen Skalar sein.
- Kommutativität: x-y=y-x.
- Distributivität mit Addition: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivität mit skalarer Multiplikation: (cx)-y=c(x-y).
Das Punktprodukt eines Vektors mit sich selbst ist ein wichtiger Spezialfall:
Daher gilt für jeden Vektor x:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Dies führt zu einer guten Definition der Länge.
Tatsache
Die Länge eines Vektors x in Rn ist die Zahl
Es ist leicht zu sehen, warum dies für Vektoren in R2 wahr ist, durch den Satz des Pythagoras.
Für Vektoren in R3 kann man überprüfen, dass AxA wirklich die Länge von x ist, obwohl dies nun zwei Anwendungen des Satzes von Pythagoras erfordert.
Beachte, dass die Länge eines Vektors die Länge des Pfeils ist; wenn wir in Punkten denken, dann ist die Länge sein Abstand vom Ursprung.
Fakt
Wenn x ein Vektor und c ein Skalar ist, dann ist AcxA=|c|-AxA.
Dies besagt, dass die Skalierung eines Vektors durch c seine Länge um |c| skaliert. Zum Beispiel,
Nun, da wir einen guten Begriff von Länge haben, können wir den Abstand zwischen Punkten in Rn definieren. Erinnern wir uns, dass die Differenz zwischen zwei Punkten x,y natürlich ein Vektor ist, nämlich der Vektor y-x, der von x nach y zeigt.
Definition
Der Abstand zwischen zwei Punkten x,y in Rn ist die Länge des Vektors von x nach y:
Vektoren mit der Länge 1 sind in Anwendungen sehr häufig, also geben wir ihnen einen Namen.
Definition
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor x mit der Länge AxA=Bx-x=1.
Die Standardkoordinatenvektoren e1,e2,e3,… sind Einheitsvektoren:
Für jeden Vektor x, der nicht Null ist, gibt es einen eindeutigen Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung zeigt. Man erhält ihn durch Division durch die Länge von x.
Fakt
Sei x ein Vektor ungleich Null in Rn. Der Einheitsvektor in Richtung von x ist der Vektor x/AxA.
Dies ist in der Tat ein Einheitsvektor (wobei AxA eine positive Zahl ist, also CC1/AxACC=1/AxA):