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Abschnitt 7-7 : Arten von Unendlichkeit
Die meisten Schülerinnen und Schüler sind schon einmal mit der Unendlichkeit konfrontiert worden, bevor sie einen Kalkülkurs besucht haben. Wenn sie damit zu tun hatten, war es jedoch nur ein Symbol für eine sehr, sehr große positive oder sehr, sehr große negative Zahl, und das war’s dann auch schon. Sobald sie in einen Kalkulationskurs kommen, werden die Schüler aufgefordert, einige grundlegende Algebraaufgaben mit der Unendlichkeit zu lösen, und genau da geraten sie in Schwierigkeiten. Die Unendlichkeit ist KEINE Zahl und verhält sich größtenteils auch nicht wie eine Zahl. Trotzdem werden wir uns die Unendlichkeit in diesem Abschnitt als eine wirklich, wirklich, wirklich große Zahl vorstellen, die so groß ist, dass es keine andere Zahl gibt, die größer ist als sie. Das ist natürlich nicht korrekt, kann aber für die Diskussion in diesem Abschnitt hilfreich sein. Beachten Sie auch, dass alles, was wir in diesem Abschnitt besprechen werden, nur für reelle Zahlen gilt. Bei den komplexen Zahlen zum Beispiel können sich die Dinge ändern und tun es auch.
Beginnen wir also mit der Addition mit Unendlichkeit. Wenn man zwei Zahlen, die nicht Null sind, addiert, erhält man eine neue Zahl. Zum Beispiel: \(4 + 7 = 11\). Bei der Unendlichkeit ist das nicht der Fall. Bei Unendlichkeit gilt Folgendes:
\
Mit anderen Worten: Eine sehr, sehr große positive Zahl (\(\infty \)) plus eine beliebige positive Zahl, unabhängig von ihrer Größe, ist immer noch eine sehr, sehr große positive Zahl. Ebenso kann man eine negative Zahl (z. B. \(a < 0\)) zu einer sehr, sehr großen positiven Zahl addieren und sie bleibt sehr, sehr groß und positiv. Die Addition mit der Unendlichkeit kann also auf intuitive Weise gehandhabt werden, wenn man vorsichtig ist. Beachten Sie auch, dass \(a\) NICHT negativ unendlich sein darf. Wenn dies der Fall ist, gibt es einige ernsthafte Probleme, mit denen wir uns befassen müssen, wie wir gleich sehen werden.
Die Subtraktion mit negativer Unendlichkeit kann in den meisten Fällen ebenfalls intuitiv gehandhabt werden. Eine sehr, sehr große negative Zahl minus eine beliebige positive Zahl, unabhängig von ihrer Größe, ist immer noch eine sehr, sehr große negative Zahl. Subtrahiert man eine negative Zahl (z. B. \(a < 0\)) von einer sehr, sehr großen negativen Zahl, so ist sie immer noch eine sehr, sehr große negative Zahl. Oder,
\
Auch hier gilt, dass \(a\) nicht negativ unendlich sein darf, um einige potenziell ernsthafte Schwierigkeiten zu vermeiden.
Multiplikation lässt sich ebenfalls recht intuitiv handhaben. Eine wirklich, wirklich große Zahl (positiv oder negativ) mal eine beliebige Zahl, unabhängig von der Größe, ist immer noch eine wirklich, wirklich große Zahl, wir müssen nur mit den Vorzeichen vorsichtig sein. Bei der Multiplikation gilt
Was du über Produkte aus positiven und negativen Zahlen weißt, gilt auch hier.
Einige Formen der Division lassen sich auch intuitiv behandeln. Eine sehr, sehr große Zahl geteilt durch eine nicht allzu große Zahl ist immer noch eine sehr, sehr große Zahl.
Die Division einer Zahl durch Unendlichkeit ist einigermaßen intuitiv, aber es gibt ein paar Feinheiten, die man beachten muss. Bei der Division durch Unendlichkeit handelt es sich in Wirklichkeit um einen Begrenzungsprozess, bei dem der Nenner gegen unendlich geht. Eine nicht zu große Zahl, die durch eine immer größere Zahl geteilt wird, wird also zu einer immer kleineren Zahl. Mit anderen Worten, im Grenzwert haben wir,
\
So, wir haben fast alle grundlegenden algebraischen Operationen mit Unendlichkeit behandelt. Es gibt zwei Fälle, mit denen wir uns noch nicht beschäftigt haben. Diese sind
\
Das Problem mit diesen beiden Fällen ist, dass die Intuition hier nicht wirklich weiterhilft. Eine sehr, sehr große Zahl minus eine sehr, sehr große Zahl kann alles sein (\( – \infty \), eine Konstante oder \(\infty \)). Ebenso kann eine sehr, sehr große Zahl geteilt durch eine sehr, sehr große Zahl irgendetwas sein (\( \pm \infty \) – das hängt von den Vorzeichen ab, 0 oder eine Konstante ungleich Null).
Was wir uns hier merken müssen ist, dass es sehr, sehr große Zahlen gibt und dann gibt es sehr, sehr, sehr große Zahlen. Mit anderen Worten: Einige Unendlichkeiten sind größer als andere Unendlichkeiten. Bei der Addition, der Multiplikation und den ersten Teilen der Division, die wir bearbeitet haben, war das kein Problem. Die allgemeine Größe der Unendlichkeit hat in diesen Fällen keinen Einfluss auf die Antwort. Bei den oben aufgeführten Subtraktions- und Divisionsfällen spielt sie jedoch eine Rolle, wie wir sehen werden.
Hier ist eine Möglichkeit, sich die Idee vorzustellen, dass einige Unendlichkeiten größer sind als andere. Das ist eine ziemlich trockene und technische Betrachtungsweise, und deine Rechenaufgaben werden wahrscheinlich nie damit zu tun haben, aber es ist eine nette Art, die Sache zu betrachten. Bitte beachten Sie auch, dass ich hier nicht versuche, einen genauen Beweis für irgendetwas zu liefern. Ich versuche nur, Ihnen einen kleinen Einblick in die Probleme mit der Unendlichkeit zu geben und wie einige Unendlichkeiten als größer als andere angesehen werden können. Für eine viel bessere (und definitiv präzisere) Diskussion siehe,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Lassen Sie uns damit beginnen, zu betrachten, wie viele ganze Zahlen es gibt. Natürlich, so hoffe ich, sind es unendlich viele, aber wir wollen versuchen, die „Größe“ dieser Unendlichkeit besser zu erfassen. Wählen Sie also zwei beliebige ganze Zahlen aus. Beginnen Sie mit der kleineren der beiden und zählen Sie in aufsteigender Reihenfolge alle Zahlen auf, die darauf folgen. Schließlich kommen wir zu der größeren der beiden Zahlen, die du ausgewählt hast.
Abhängig von der relativen Größe der beiden Zahlen könnte es sehr, sehr lange dauern, alle Zahlen dazwischen aufzulisten, und es ist nicht wirklich sinnvoll, das zu tun. Aber man könnte es tun, wenn man wollte, und das ist der wichtige Teil.
Da wir alle ganzen Zahlen zwischen zwei zufällig ausgewählten ganzen Zahlen auflisten könnten, sagen wir, dass die ganzen Zahlen abzählbar unendlich sind. Auch hier gibt es keinen wirklichen Grund, dies zu tun, es ist einfach etwas, das getan werden kann, wenn wir uns dafür entscheiden sollten.
Im Allgemeinen wird eine Menge von Zahlen als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn wir einen Weg finden können, sie alle aufzulisten. In einer präziseren mathematischen Umgebung geschieht dies im Allgemeinen mit einer speziellen Art von Funktion, die Bijektion genannt wird und jede Zahl in der Menge mit genau einer der positiven ganzen Zahlen verbindet. Weitere Einzelheiten hierzu finden Sie in der oben angegebenen PDF-Datei.
Es kann auch gezeigt werden, dass die Menge aller Brüche ebenfalls abzählbar unendlich ist, obwohl dies etwas schwieriger zu zeigen ist und nicht wirklich der Zweck dieser Diskussion ist. Einen Beweis dafür finden Sie in der oben angegebenen pdf-Datei. Es enthält einen sehr schönen Beweis dieser Tatsache.
Lassen Sie uns im Gegensatz dazu versuchen, herauszufinden, wie viele Zahlen es im Intervall \( \links(0,1\rechts) \) gibt. Mit Zahlen meine ich alle möglichen Brüche, die zwischen Null und Eins liegen, sowie alle möglichen Dezimalzahlen (die keine Brüche sind), die zwischen Null und Eins liegen. Der folgende Beweis ähnelt dem in der obigen pdf-Datei, war aber schön und einfach genug (hoffe ich), dass ich ihn hier einfügen wollte.
Zunächst nehmen wir an, dass alle Zahlen im Intervall \( \left(0,1\right) \) abzählbar unendlich sind. Das bedeutet, dass es einen Weg geben sollte, sie alle aufzulisten. Wir könnten etwa so vorgehen:
\
Wählen Sie nun die \(i\)te Dezimalstelle aus \({x_i}\) wie unten gezeigt aus
\
und bilden Sie eine neue Zahl mit diesen Ziffern. In unserem Beispiel hätten wir also die Zahl
\
In dieser neuen Dezimalzahl ersetzen wir alle 3en durch eine 1 und jede andere Zahl durch eine 3. Im Fall unseres Beispiels würde dies die neue Zahl
\
ergeben. Beachten Sie, dass diese Zahl im Intervall \( \left(0,1\right) \) liegt, und beachten Sie auch, dass angesichts der Wahl der Ziffern der Zahl diese Zahl nicht gleich der ersten Zahl in unserer Liste, \({x_1}\), sein wird, da die erste Ziffer beider Zahlen garantiert nicht die gleiche ist. Ebenso wird diese neue Zahl nicht dieselbe Zahl wie die zweite in unserer Liste, \({x_2}\), sein, weil die zweite Ziffer von beiden garantiert nicht dieselbe ist. Wenn wir so weitermachen, können wir sehen, dass diese neue Zahl, die wir konstruiert haben, \(\overline x \), garantiert nicht in unserer Liste steht. Dies widerspricht jedoch der ursprünglichen Annahme, dass wir alle Zahlen im Intervall \( \left(0,1\right) \) auflisten können. Daher kann es nicht möglich sein, alle Zahlen im Intervall \( \left(0,1\right) \) aufzulisten.
Zahlenmengen, wie alle Zahlen in \( \left(0,1\right) \), die wir nicht in einer Liste aufschreiben können, werden als unabzählbar unendlich bezeichnet.
Der Grund dafür, dass wir darauf eingehen, ist der folgende. Eine Unendlichkeit, die nicht abzählbar unendlich ist, ist wesentlich größer als eine Unendlichkeit, die nur abzählbar unendlich ist. Wenn wir also die Differenz zweier Unendlichkeiten nehmen, haben wir mehrere Möglichkeiten.
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Beachte, dass wir keine Differenz zweier Unendlichkeiten desselben Typs angegeben haben. Je nach Kontext könnte es immer noch eine gewisse Unklarheit darüber geben, was die Antwort in diesem Fall wäre, aber das ist ein ganz anderes Thema.
Wir könnten auch etwas Ähnliches für Quotienten von Unendlichkeiten tun.
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Auch hier haben wir einen Quotienten von zwei Unendlichkeiten desselben Typs vermieden, da es, wiederum je nach Kontext, immer noch Unklarheiten über seinen Wert geben könnte.
So, das war’s, und hoffentlich haben Sie aus dieser Diskussion etwas gelernt. Die Unendlichkeit ist einfach keine Zahl, und da es verschiedene Arten der Unendlichkeit gibt, verhält sie sich im Allgemeinen nicht wie eine Zahl. Seien Sie vorsichtig im Umgang mit der Unendlichkeit.