Den grundlæggende konstruktion i dette afsnit er punktproduktet, som måler vinkler mellem vektorer og beregner længden af en vektor.
Definition
Punktproduktet af to vektorer x,y i Rn er
Tænker man på x,y som kolonnevektorer, er dette det samme som xTy.
For eksempel,
Bemærk, at prikproduktet af to vektorer er en skalar.
Du kan regne med punktprodukter stort set som du plejer, så længe du husker, at du kun kan prikke to vektorer sammen, og at resultatet er en skalar.
Punktproduktets egenskaber
Lad x,y,z være vektorer i Rn, og lad c være en skalar.
- Kommutativitet: x-y=y-x.
- Distributivitet med addition: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivitet med skalær multiplikation: (cx)-y=c(x-y).
Punktproduktet af en vektor med sig selv er et vigtigt specialtilfælde:
Derfor har vi for en hvilken som helst vektor x:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Dette fører til en god definition af længde.
Fakta
Længden af en vektor x i Rn er tallet
Det er let at se, hvorfor dette gælder for vektorer i R2, ved hjælp af Pythagoras’ sætning.
For vektorer i R3 kan man kontrollere, at AxA virkelig er længden af x, selv om det nu kræver to anvendelser af den pythagoræiske sætning.
Bemærk, at længden af en vektor er længden af pilen; hvis vi tænker i punkter, så er længden dens afstand fra oprindelsen.
Fakta
Hvis x er en vektor og c er en skalar, så er AcxA=|c|-AxA.
Dette siger, at skalering af en vektor med c skalerer dens længde med |c|. For eksempel,
Nu da vi har et godt begreb om længde, kan vi definere afstanden mellem punkter i Rn. Husk, at forskellen mellem to punkter x,y naturligvis er en vektor, nemlig vektoren y-x, der peger fra x til y.
Definition
Afstanden mellem to punkter x,y i Rn er længden af vektoren fra x til y:
Vektorer med længde 1 er meget almindelige i applikationer, så vi giver dem et navn.
Definition
En enhedsvektor er en vektor x med længden AxA=Bx-x=1.
De standardkoordinatvektorer e1,e2,e3,… er enhedsvektorer:
For enhver vektor x, der ikke er nul, er der en unik enhedsvektor, der peger i samme retning. Den fås ved at dividere med x’s længde.
Fakta
Lad x være en ikke-nul vektor i Rn. Enhedsvektoren i x’s retning er vektoren x/AxA.
Dette er faktisk en enhedsvektor (bemærk, at AxA er et positivt tal, så CC1/AxACC=1/AxA):