I mit tidligere indlæg om en svævende Saturn antydede jeg, at jeg kunne skrive om de metoder, vi kan bruge til at finde Saturns massefylde. Åh, og endnu engang, Saturns massefylde er lavere end vandets massefylde på Jorden – men den ville ikke flyde.
Som en påmindelse definerer vi massefylde som:
Det betyder, at vi i virkeligheden skal bestemme to ting. For det første har vi brug for Saturns masse. For det andet har vi brug for rumfanget. Vi kan få volumenet, hvis vi kender Saturns radius.
Volumen
Teknisk set er Saturn ikke helt kugleformet. Afstanden fra centrum til ækvator er større end afstanden fra centrum til polen. Det skyldes, at Saturn drejer rundt, og at den ikke er et stift objekt. Tænk på snurrende pizzadej – det er det samme, bortset fra at det er Saturn. Du kan faktisk måle både pol- og ækvatorradius ved hjælp af den samme idé – men jeg vil bare lade som om Saturn er en kugle.
Hvis det er en kugle, så ville rumfanget være:
Men hvordan får du radius (eller diameter). Det første skridt er at se på vinkelstørrelsen. Hvis man kender vinkelstørrelsen af et objekt og afstanden til dette objekt, kan man finde størrelsen. Her er et billede, som jeg har brugt flere gange, og som viser denne sammenhæng.
Så hvis objektet er langt nok væk eller lille nok, vil højden (eller længden) omtrent være buelængden af en cirkel med en radius, der er lig med afstanden. Størrelsen af objektet vil bare være vinkelstørrelsen ganget med afstanden objektet.
Men hvordan måler man overhovedet vinkelstørrelsen? Tja, hvis du har et billede, skal du kende dit kameras vinkelvinkelområde – det gjorde jeg eksperimentelt med en iPhone. I dagene før kameraer kunne man bare bruge et teleskop. Det er ikke så svært at måle vinkelstørrelsen med et objektiv. Du skal bare bestemme det vinkelmæssige synsfelt for objektivet og så sætte nogle markeringer på, så du kan estimere brøkdelen af synsfeltet for objektets vinkelstørrelse.
Det er fint, men det afhænger af noget ret vigtigt. Hvor langt væk er Saturn? Det er her, at Johannes Kepler kommer ind i billedet. Ved at bruge de tilgængelige data kom Kepler frem til tre modeller for bevægelsen af objekter i solsystemet.
- Banen for et objekt i solsystemet er en ellipse med Solen i brændpunktet.
- Da et objekt bevæger sig tættere på Solen, går det hurtigere. Kepler gik endnu videre og sagde, at for et givet tidsinterval vil objektet feje det samme område ud, uanset hvor det befinder sig i sin bane.
- Baneperioden er relateret til banens afstand (semimajorakse). Faktisk er kvadratet på perioden proportional med (men ikke lig med) kuben af den halve storakse.
Keplers love om planeters bevægelse er ikke ny fysik. Hvis man vil, kan man få det samme sæt love ved hjælp af impuls-princippet og gravitationskraften, der er proportional med et over afstanden i kvadrat. Men lovene virker, og det er den sidste lov, der er brugbar her. Hvis jeg kender Saturns og Jordens omløbstid, så kan jeg skrive:
T’et er det almindelige fysiksymbol for perioden, og tidsenhederne er egentlig ligegyldige. Proportionalitetskonstanten, k ophæves, når jeg dividerer den ene ligning med den anden. Til sidst har jeg et udtryk for semi storaksen for Saturn. Hvis Saturn befandt sig i en cirkulær bane, ville dette være radius og afstanden til solen. Ah ha! Men jeg har faktisk ikke afstanden fra Jorden til Saturn. Jeg kan få afstanden til Saturn i form af afstanden fra Solen til Jorden. For at gøre tingene lettere kalder vi denne afstand mellem Jorden og Solen for 1 astronomisk enhed (AU). Det er fint nok, men hvis jeg bruger denne enhed (AU) til at angive Saturns størrelse, får jeg densiteten i nogle mærkelige enheder – kg/AU3. For at kunne sammenligne Saturns massefylde med vand har vi brug for afstanden i noget brugbart – som meter eller måske meter.
Hvordan finder du værdien af 1 AU i meter? Der er flere måder. En måde at finde denne afstand på er den græske måde. Ja, græske astronomer gjorde det på et tidspunkt omkring 500 f.Kr. Her er en kort version af, hvordan de gjorde det:
- Brug skygger på forskellige steder på Jorden til at bestemme Jordens radius.
- Antag, at månen bevæger sig i en cirkel rundt om Jorden. Bestem forskellen mellem den beregnede position (baseret på Jordens centrum) og den faktiske position (målt fra jordens overflade) for at bestemme afstanden (og størrelsen) af månen.
- Måler vinklen mellem solen og månen, når månens fase er en fjerdedel. Dette giver en retvinklet trekant. Når afstanden fra Jorden til månen allerede er kendt, kan du få afstanden (og størrelsen) af månen.
Her er et ældre indlæg, der viser flere af detaljerne i disse målinger. Måske kan du allerede nu se problemet med denne metode. Hvis dine målinger er forkerte for Jordens størrelse, så er alt andet også forkert. Grækenes bestemmelse af afstanden til Solen var ikke særlig præcis.
En bedre måde at få afstanden mellem Jorden og Solen på er at bruge en passage af Venus. Under denne begivenhed passerer Venus mellem Jorden og Solen. Hvis man måler start- og sluttidspunktet fra forskellige steder på Jorden, kan man få en værdi for afstanden mellem Jorden og Solen. Her er et eksempel med moderne data.
Jeg kan godt lide de ovenstående måder at finde afstanden til Saturn på, fordi man teoretisk set kan gøre det selv. Selvfølgelig findes der endnu bedre (mere præcise) måder at finde det på, men pointen er, at du faktisk kan finde afstanden til Saturn og dermed størrelsen. Med radius kunne man finde volumenet.
Masse
Vi kan ikke bare bruge Keplers love til at finde massen. Nej, vi er nødt til at bruge noget mere grundlæggende fysik. Kort sagt kan vi finde Saturns masse ved at kigge på en af Saturns måner. Hvis vi kender den orbitale afstand og den orbitale periode for en af månerne, kan vi finde massen. Bemærk, at dette er anderledes end det, vi gjorde ovenfor for at finde rumfanget. I det tilfælde brugte vi Saturns omløbstid, mens den bevægede sig rundt om Solen, til at finde afstanden. Her har vi brug for både afstanden og månens periode.
Lad os starte med noget grundlæggende fysik. Her er et diagram over Saturns største måne, Titan, som den bevæger sig i kredsløb.
Gravitationskraften afhænger både af Saturns og Titans masse og af afstanden mellem dem. Størrelsen kan skrives som:
Hvor G blot er den universelle gravitationskonstant. Impulsprincippet siger, at denne gravitationskraft ændrer impulsen. Da denne kraft er vinkelret på impulsen (p), ændrer kraften blot impulsenes retning og ikke dens størrelse. Det viser sig, at jeg kan skrive momentumprincippet i form af gravitationskraften og titans vinkelhastighed, når den kredser om Jorden.
Jeg ved godt, at jeg sprang nogle trin over, men pointen er, at der er en sammenhæng mellem Saturns masse, omløbsstørrelsen og omløbshastigheden. Hvis jeg sætter perioden ind i stedet for vinkelhastigheden (periode = 2π/ω) kan jeg løse Saturns masse.
Nu mangler du bare tre ting: G, banens størrelse og banens periode for Titan. Perioden er ret nem. Du skal bare observere planeten gennem et teleskop i et stykke tid og tælle dagene, indtil Titan laver en komplet tur rundt om planeten Saturn (ca. 16 dage). Omløbsstørrelsen er heller ikke så svær at få fat i. I bund og grund gør man det samme for denne som for Saturns størrelse – man bruger afstanden og vinkelstørrelsen.
Gravitationskonstanten kan findes med Cavendish-eksperimentet. Grundlæggende er det sådan, at nogle små masser på en roterende stang bliver tiltrukket af større stationære masser. Ved at se på drejningen i stangen kan man bestemme gravitationskraften og dermed G.
Og det er det hele. Når du har massen og volumenet, kan du beregne densiteten. Se, det er simpelt.