Fysik

Posted on

Læringsmål

I slutningen af dette afsnit vil du være i stand til:

  • at relatere en fotons lineære impuls til dens energi eller bølgelængde og anvende bevarelse af lineær impuls på simple processer, der involverer emission, absorption eller refleksion af fotoner.
  • Gør kvalitativt rede for den stigning i fotonbølgelængden, der observeres, og forklar betydningen af Compton-bølgelængden.

Måling af fotonimpulsen

Det kvantum af EM-stråling, vi kalder en foton, har egenskaber svarende til egenskaberne for partikler, vi kan se, f.eks. sandkorn. En foton interagerer som en enhed i kollisioner eller når den absorberes, snarere end som en udstrakt bølge. Massive kvanta, som f.eks. elektroner, opfører sig også som makroskopiske partikler – noget vi forventer, fordi de er de mindste enheder af stof. Partikler bærer både impuls og energi. Selv om fotoner ikke har nogen masse, har der længe været beviser for, at EM-stråling bærer momentum. (Maxwell og andre, der studerede EM-bølger, forudsagde, at de ville bære momentum). Det er nu en veletableret kendsgerning, at fotoner har momentum. Faktisk tyder den fotoelektriske effekt, hvor fotoner slår elektroner ud af et stof, på, at fotoner har et momentum. Figur 1 viser makroskopiske beviser for fotonernes impuls.

Figur 1. Hale-Bopp-kometens haler peger væk fra Solen, hvilket er et bevis på, at lys har impuls. Støv, der udgår fra kometens krop, danner denne hale. Støvpartikler skubbes væk fra Solen af det lys, der reflekteres fra dem. Den blå ioniserede gashale dannes også af fotoner, der interagerer med atomer i kometens materiale. (kredit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Figur 1 viser en komet med to fremtrædende haler. Hvad de fleste mennesker ikke ved om halerne er, at de altid peger væk fra Solen i stedet for at trække bag kometen (ligesom halen på Bo Peeps får). Komethaler består af gasser og støv, der er fordampet fra kometens krop, og af ioniseret gas. Støvpartiklerne rekyleres væk fra Solen, når fotoner spredes fra dem. Fotonerne bærer tydeligvis impuls i deres bevægelsesretning (væk fra Solen), og en del af denne impuls overføres til støvpartiklerne ved kollisioner. Gasatomer og -molekyler i den blå hale påvirkes mest af andre strålingspartikler, f.eks. protoner og elektroner, der udgår fra Solen, snarere end af fotonernes impuls.

Sammenkobling: Bevarelse af momentum

Det er ikke kun momentum, der er bevaret i alle fysikkens områder, men alle typer partikler viser sig at have momentum. Vi forventer, at partikler med masse har momentum, men nu ser vi, at masseløse partikler, herunder fotoner, også har momentum.

Figur 2. Compton-effekten er betegnelsen for spredningen af en foton fra en elektron. Energi og impuls er bevaret, hvilket resulterer i en reduktion af begge dele for den spredte foton. Ved at studere denne effekt verificerede Compton, at fotoner har momentum.

Momentum er bevaret i kvantemekanikken, ligesom det er tilfældet i relativitetsteori og klassisk fysik. Nogle af de tidligste direkte eksperimentelle beviser på dette kom fra spredning af røntgenfotoner af elektroner i stoffer, der blev kaldt Compton-spredning efter den amerikanske fysiker Arthur H. Compton (1892-1962). Omkring 1923 observerede Compton, at røntgenstråler, der blev spredt fra materialer, havde en lavere energi, og han analyserede korrekt, at dette skyldtes spredningen af fotoner fra elektroner. Dette fænomen kunne håndteres som et sammenstød mellem to partikler – en foton og en elektron i hvile i materialet. Energi og impuls er bevaret i kollisionen. (Se figur 2) Han vandt en Nobelpris i 1929 for opdagelsen af denne spredning, der nu kaldes Compton-effekten, fordi den bidrog til at bevise, at fotonens impuls er givet ved p=\frac{h}{\lambda}\\\, hvor h er Plancks konstant og λ er fotonens bølgelængde. (Bemærk, at det relativistiske momentum givet som p = γmu kun gælder for partikler med masse.)

Vi kan se, at fotonens momentum er lille, da p=\frac{h}{\lambda}\\\ og h er meget lille. Det er af denne grund, at vi normalt ikke observerer fotonimpuls. Vores spejle rekylerer ikke tilbage, når lyset reflekteres fra dem (undtagen måske i tegnefilm). Compton så virkningerne af fotonimpulsen, fordi han observerede røntgenstråler, som har en lille bølgelængde og en relativt stor impuls, der vekselvirkede med den letteste af partiklerne, elektronen.

Eksempel 1. Elektron- og fotonimpuls sammenlignet

  1. Beregn impulsen for en synlig foton, der har en bølgelængde på 500 nm.
  2. Find hastigheden for en elektron, der har samme impulsmængde.
  3. Hvad er elektronens energi, og hvordan er den sammenlignet med fotonens energi?

Strategi

Find fotonens impuls er en ligefrem anvendelse af dens definition: p=\frac{h}{\lambda}\\\. Hvis vi finder, at fotonimpulsen er lille, kan vi antage, at en elektron med samme impuls vil være ikke-relativistisk, hvilket gør det let at finde dens hastighed og kinetiske energi ud fra de klassiske formler.

Løsning til del 1

Photonimpulsen er givet ved ligningen: p=\frac{h}{\lambda}\\\.

Indtastning af den givne fotonbølgelængde giver

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\\\

Løsning til del 2

Da denne impuls faktisk er lille, vil vi bruge det klassiske udtryk p = mv til at finde hastigheden for en elektron med denne impuls. Løsning for v og anvendelse af den kendte værdi for en elektrons masse giver

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}}=1460\text{ m/s}\cirka1460\text{ m/s}\\

Løsning til del 3

Elektronen har kinetisk energi, som klassisk er givet ved \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\\.

Sådan er \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9,11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\\\\.

Omregnes dette til eV ved at multiplicere med \frac{1\text{ eV}}}{1.602\times10^{-19}\text{ J}}}\\ giver KEe = 6,02 × 10-6 eV.

Fotonenergien E er

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}}{500\text{ nm}}}=2.48\text{ eV}\\\,

hvilket er omkring fem størrelsesordener større.

Diskussion

Photonimpuls er faktisk lille. Selv om vi har et enormt antal af dem, er det samlede momentum, de bærer, lille. En elektron med samme impulsmængde har en hastighed på 1460 m/s, hvilket klart er ikke-relativistisk. En mere massiv partikel med samme impuls ville have en endnu mindre hastighed. Dette bekræftes af, at det kræver langt mindre energi at give en elektron den samme impuls som en foton. Men på kvantemekanisk skala, især for højenergifotoner, der vekselvirker med små masser, er fotonimpulsen betydelig. Selv på en stor skala kan fotonimpulsen have en effekt, hvis der er nok af dem, og hvis der ikke er noget, der forhindrer materiens langsomme rekyl. Komethaler er et eksempel, men der er også forslag om at bygge rumsejl, der bruger enorme spejle med lav masse (lavet af aluminiseret Mylar) til at reflektere sollyset. I vakuumet i rummet vil spejlene gradvist rekylere tilbage og kunne faktisk føre rumfartøjer fra sted til sted i solsystemet. (Se figur 3.)

Figur 3. (a) Der er blevet foreslået rumsejl, som bruger impulsen fra sollyset, der reflekteres fra gigantiske sejl med lav masse, til at drive rumfartøjer rundt i solsystemet. En russisk testmodel af dette (Cosmos 1) blev opsendt i 2005, men nåede ikke op i kredsløb på grund af en raketfejl. (b) En amerikansk version af denne model, LightSail-1, skal efter planen opsendes til forsøgsopsendelser i første del af dette årti. Det vil have et sejl på 40 m2. (credit: Kim Newton/NASA)

Relativistisk fotonimpuls

Der er et forhold mellem fotonimpuls p og fotonenergi E, der er i overensstemmelse med det forhold, der tidligere er givet for den relativistiske totale energi af en partikel som E2 = (pc)2 + (mc)2. Vi ved, at m er nul for en foton, men det er p ikke, så E2 = (pc)2 + (mc)2 bliver til E = pc, eller p=\frac{E}{c}\\\ (fotoner).

For at kontrollere gyldigheden af denne relation skal man bemærke, at E=\frac{hc}{\lambda}\\ for en foton. Ved at substituere dette i p=\frac{E}{c}{c}\\\ giver

\displaystyle{p}=\frac{\frac{hc}{\lambda}}}{c}=\frac{h}{\lambda}\\\,

som bestemt eksperimentelt og diskuteret ovenfor. Således er p=E/c ækvivalent med Comptons resultat p=h/λ. For en yderligere verifikation af forholdet mellem fotonenergi og impuls, se eksempel 2.

Photondetektorer

Næsten alle detektionssystemer, der hidtil er omtalt – øjne, fotografiske plader, fotomultiplikatorrør i mikroskoper og CCD-kameraer – bygger på partikellignende egenskaber hos fotoner, der interagerer med et følsomt område. Der sker en ændring, og enten kaskaderes ændringen, eller zillioner af punkter registreres for at danne et billede, som vi registrerer. Disse detektorer anvendes i biomedicinske billeddannelsessystemer, og der forskes løbende i at forbedre effektiviteten af modtagelsen af fotoner, især ved at køle detektionssystemer og reducere termiske virkninger.

Eksempel 2. Fotonens energi og impulsmoment

Vis, at p=\frac{E}{c}\\ for den foton, der blev betragtet i eksempel 1.

Strategi

Vi vil tage den energi E, der blev fundet i eksempel 1, dividere den med lysets hastighed og se, om man får det samme impulsmoment som før.

Løsning

Givet at fotonens energi er 2,48 eV og ved at omregne dette til joule, får vi

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\\\

Diskussion

Denne værdi for momentum er den samme som fundet tidligere (bemærk, at der anvendes uafrundede værdier i alle beregninger for at undgå selv små afrundingsfejl), en forventet bekræftelse af forholdet p=\\frac{E}{c}\\\. Dette betyder også, at forholdet mellem energi, impuls og masse, som er givet ved E2 = (pc)2 + (mc)2, gælder for både stof og fotoner. Bemærk igen, at p ikke er nul, selv når m er det.

Problem-løsningsforslag

Bemærk, at formerne for konstanterne h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s og hc = 1240 eV ⋅ nm kan være særligt nyttige til dette afsnits problemer og øvelser.

Sammenfatning af afsnittet

  • Photoner har impuls, givet ved p=\frac{h}{\lambda}\\\, hvor λ er fotonens bølgelængde.
  • Photonenergi og impuls hænger sammen ved p=\frac{E}{c}\\\\, hvor E=hf=\frac{hc}{\lambda}\\\ for en foton.

Begrebsspørgsmål

  1. Hvilken formel kan anvendes for impulsen for alle partikler, med eller uden masse?
  2. Er der nogen målbar forskel mellem impulsen for en foton og impulsen for stof?
  3. Hvorfor kan vi ikke mærke impulsen fra sollyset, når vi er på stranden?

Problemer &Opgaver

  1. (a) Find impulsen for en mikrobølgefoton med en bølgelængde på 4,00 cm. (b) Diskuter, hvorfor du forventer, at svaret på (a) er meget lille.
  2. (a) Hvad er impulsen af en 0,0100 nm bølgelængde foton, der kan registrere detaljer af et atom? (b) Hvad er dens energi i MeV?
  3. (a) Hvad er bølgelængden af en foton, der har et momentum på 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Find dens energi i eV.
  4. (a) En γ-strålefoton har en impulsmængde på 8,00 × 10-21 kg – m/s. Hvad er dens bølgelængde? (b) Beregn dens energi i MeV.
  5. (a) Beregn impulsen for en foton med en bølgelængde på 2,50 μm. (b) Find hastigheden for en elektron med samme impulsmængde. (c) Hvad er elektronens kinetiske energi, og hvordan er den sammenlignet med fotonens?
  6. Gentag den foregående opgave for en foton med en bølgelængde på 10,0 nm.
  7. (a) Beregn bølgelængden for en foton, der har samme impuls som en proton, der bevæger sig med 1,00% af lysets hastighed. (b) Hvad er fotonens energi i MeV? (c) Hvad er protonens kinetiske energi i MeV?
  8. (a) Find impulsen for en 100-keV røntgenfoton. (b) Find den ækvivalente hastighed for en neutron med samme impulsmængde. (c) Hvad er neutronens kinetiske energi i keV?
  9. Tag forholdet mellem relativistisk hvileenergi, E = γmc2, og relativistisk impuls, p = γmu, og vis, at i den grænse, hvor massen nærmer sig nul, finder du \frac{E}{p}=c\\.
  10. Konstruer dit eget problem. Overvej et rumsejl som det, der er nævnt i eksempel 1. Konstruer et problem, hvor du beregner det lette tryk på sejlet i N/m2 , der opstår ved at reflektere sollyset. Beregn også den kraft, der kan produceres, og hvor stor effekt det ville have på et rumfartøj. Blandt de ting, der skal tages i betragtning, er sollysets intensitet, dets gennemsnitlige bølgelængde, det antal fotoner pr. kvadratmeter, som dette indebærer, rumsejlets areal og massen af det system, der accelereres.
  11. Urimelige resultater. En bil mærker en lille kraft på grund af det lys, den udsender fra sine forlygter, som er lig med lysets impuls divideret med den tid, hvori det udsendes. (a) Beregn effekten af hver enkelt forlygte, hvis de udøver en samlet kraft på 2,00 × 10-2 N bagud på bilen. (b) Hvad er urimeligt ved dette resultat? (c) Hvilke forudsætninger er urimelige eller inkonsekvente?

Glossar

Fotonimpuls: Den mængde impuls, som en foton har, beregnet ved p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}{c}\\\

Compton-effekt: fænomen, hvorved røntgenstråler, der spredes fra materialer, har nedsat energi

Udvalgte løsninger på problemer & Opgaver

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) bølgelængden af mikrobølgefotoner er stor, så den impuls, de bærer, er meget lille

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elektron 3,86 × 10-26 J, foton 7,96 × 10-20 J, forhold 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 og P = γmu, så

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{\gamma{mc}}}^{2}}}{\gamma{mu}}}=\frac{c^2}{u}\\\

Da partikelens masse nærmer sig nul, vil dens hastighed u nærme sig c , så forholdet mellem energi og impuls i denne grænse er

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{{{c}^{2}}}}{c}=c\\\

som er i overensstemmelse med ligningen for fotonenergi.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) forlygterne er alt for lyse; (c) kraften er for stor.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.