Future Value Calculator

Brug af beregner

Fremtidsværdiformlen er FV=PV(1+i)n, hvor nutidsværdien PV stiger for hver periode i fremtiden med en faktor 1 + i.

Den fremtidige værdiberegner anvender flere variabler i FV-beregningen:

• Nærtidsværdisummen
• Antal tidsperioder, typisk år
• Rentesats
• Rentefrekvens
• Kontantbetalinger
• Voksende annuiteter og evige renter

Den fremtidige værdi af en pengesum er værdien af den aktuelle sum på et fremtidigt tidspunkt.

Du kan bruge denne fremtidsværdiberegner til at bestemme, hvor meget din investering vil være værd på et tidspunkt i fremtiden på grund af akkumulerede renter og potentielle pengestrømme.

Du kan indtaste 0 for enhver variabel, som du gerne vil udelukke, når du bruger denne beregner. Vores andre fremtidsværdiberegnere giver muligheder for mere specifikke fremtidsværdiberegninger.

Hvad indeholder fremtidsværdiberegningen

Fremtidsværdiberegneren bruger følgende variabler til at finde den fremtidige værdi FV af et nuværende beløb plus rente- og cashflowbetalinger:

Nutidsværdi PV Nutidsværdi af en pengesum Antal tidsperioder t – Tidsperioder er typisk et antal år
– Sørg for, at alle dine input bruger den samme tidsperiodeenhed (år, måneder osv.)
– Indtast p eller perpetuity for en evighedsrente Rentesats R Den nominelle rentesats eller den angivne sats, som en procentdel Sammensætning m – Antallet af gange, hvor sammensætningen finder sted pr. periode
– Indtast 1 for årlig sammensætning, som er én gang om året
– Indtast 4 for kvartalsvis sammensætning
– Indtast 12 for månedlig sammensætning
– Indtast 365 for daglig sammensætning
– Indtast c eller kontinuerlig for kontinuerlig sammensætning Cash flow annuitetsbetalingsbeløb PMT Betalingsbeløbet pr. periode Vækstrate G Vækstraten for annuitetsbetalinger pr. periode, angivet som en procentdel Antal betalinger q pr. periode – Betalingshyppighed
– Indtast 1 for årlige betalinger som er en gang om året
– Indtast 4 for kvartalsvise betalinger
– Indtast 12 for månedlige betalinger
– Indtast 365 for daglige betalinger Hvornår finder annuitetsbetalingerne sted T – Vælg slut, som er en almindelig annuitetsrente med betalinger modtaget ved periodens slutning
– Vælg begyndelse når betalingerne forfalder i begyndelsen af perioden Fremtidsværdi FV Resultatet af FV-beregningen er den fremtidige værdi af enhver nutidsværdi sum plus renter og fremtidige pengestrømme eller annuitetsbetalinger

Afsnittene nedenfor viser, hvordan man matematisk udleder formler for fremtidsværdi. For en liste over de formler, der præsenteres her, se vores side om fremtidsværdiformler.

Fremtidsværdiformelafledning

Fremtidsværdien (FV) af en nutidsværdi (PV) sum, der akkumulerer renter med sats i over en enkelt periode, er nutidsværdien plus den rente, der er optjent på denne sum. Den matematiske ligning, der anvendes i fremtidsværdiberegneren, er

eller

For hver periode ind i fremtiden stiger den akkumulerede værdi med en ekstra faktor (1+i). Derfor er den fremtidige værdi akkumuleret over f.eks. 3 perioder givet ved

eller generelt

og på samme måde kan vi løse PV for at få

De ligninger, vi har, er (1a) den fremtidige værdi af et nuværende beløb og (1b) nutidsværdien af et fremtidigt beløb til en periodisk rente i, hvor n er antallet af perioder i fremtiden. Almindeligvis anvendes denne ligning med perioder som år, men det er mindre restriktivt at tænke i de bredere termer af perioder. Hvis vi dropper de små bogstaver i (1b), får vi:

Future Value of a Present Sum

Future Value Annuity Formula Derivation

En annuitet er en sum penge, der udbetales periodisk, (med regelmæssige mellemrum). Lad os antage, at vi har en serie af lige store nutidsværdier, som vi vil kalde betalinger (PMT), og som udbetales én gang hver periode i n perioder til en konstant rente i. Fremtidsværdiberegneren vil beregne FV af serien af betalinger 1 til n ved hjælp af formel (1) for at lægge de enkelte fremtidige værdier sammen.

I formel (2a) foretages betalingerne ved perioders udløb. Det første udtryk på ligningens højre side, PMT, er den sidste betaling i serien, der foretages ved udgangen af den sidste periode, som er på samme tidspunkt som den fremtidige værdi. Der er derfor ingen renter på denne betaling. Det sidste udtryk på ligningens højre side, PMT(1+i)n-1, er den første betaling i serien, der foretages ved udgangen af den første periode, som kun er n-1 perioder fra tidspunktet for vores fremtidige værdi.

multiplicer begge sider af denne ligning med (1 + i) for at få

som man trækker ligning (2a) fra (2b), ophæves de fleste termer, og vi står tilbage med

hentning af ens termer på begge sider

afskaf 1’erne til venstre og dividér derefter med i, den fremtidige værdi af en almindelig annuitetsrente, med udbetalinger i slutningen af hver periode, er

For en forfalden annuitetsrente foretages betalingerne i begyndelsen af hver periode i stedet for i slutningen, derfor er betalingerne nu 1 periode længere fra FV. Vi er nødt til at øge formlen med 1 periode med rentetilvækst. Dette kan skrives som

men hvis man faktoriserer (1 + i)

Så ved at gange hver betaling i ligning (2a) eller den højre side af ligning (2c) med faktoren (1 + i) får vi ligningen for FV for en forfalden annuitetsrente. Dette kan skrives mere generelt som

Future Value of an Annuity

hvor T repræsenterer typen. (svarende til Excel-formler) Hvis betalingerne sker i slutningen af perioden, er der tale om en almindelig annuitetsrente, og vi sætter T = 0. Hvis betalingerne sker i begyndelsen af perioden, er der tale om en forfalden annuitetsrente, og vi sætter T = 1.

Fremtidsværdi af en almindelig annuitetsrente

hvis T = 0, er betalingerne i slutningen af hver periode, og vi har formlen for fremtidig værdi af en almindelig annuitetsrente

Fremtidsværdien af en forfalden annuitetsrente

hvis T = 1, sker udbetalingerne i begyndelsen af hver periode, og vi har formlen for fremtidig værdi af en forfalden annuitetsrente

Future Value Growing Annuity Formula Derivation

Du kan også beregne en voksende annuitetsrente med denne future value calculator. I en voksende annuitetsrente stiger hver resulterende fremtidig værdi efter den første med en faktor (1 + g), hvor g er den konstante vækstrate. Ved at ændre ligning (2a) til at inkludere vækst får vi

I formel (3a) foretages betalingerne ved perioders udløb. Det første udtryk på ligningens højre side, PMT(1+g)n-1, var den sidste betaling i serien, der blev foretaget ved udgangen af den sidste periode, som er på samme tidspunkt som den fremtidige værdi. Når vi multiplicerer igennem med (1 + g), har denne periode fået vækstforøgelsen anvendt (n – 1) gange. Det sidste udtryk på ligningens højre side, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, er den første betaling i serien, der blev foretaget i slutningen af den første periode, og væksten er ikke anvendt på den første PMT eller (n-n) gange.

Multiplicer FV med (1+i)/(1+g) for at få

som man trækker ligning (3a) fra (3b), ophæves de fleste termer, og vi står tilbage med

med lidt algebraisk manipulation, ved at multiplicere begge sider med (1 + g) får vi

og trække lignende udtryk ud på begge sider

ved at annullere 1’erne til venstre og derefter dividere med (i-g) får vi til sidst

Fremtidsværdien af en voksende annuitetsrente (g ≠ i)

Som i ligning (2) skal vi, for at tage hensyn til, om vi har en voksende forfalden annuitetsrente eller en voksende almindelig annuitetsrente, gange med faktoren (1 + iT)

Future Value of a Growing Annuity (g = i)

Hvis g = i kan vi erstatte g med i, og du vil bemærke, at hvis vi erstatter (1 + g) termerne i ligning (3a) med (1 + i), får vi

ved at kombinere termerne har vi

da vi nu har n forekomster af PMT(1+i)n-1 , kan vi reducere ligningen. Også ved at tage højde for en forfalden annuitetsrente eller almindelig annuitetsrente multipliceres med (1 + iT), og vi får

Fremtidsværdi af en evighedsydelse eller voksende evighedsydelse (t → ∞)

For g < i, for en evighedsydelse, evig annuitetsydelse eller voksende evighedsydelse, går antallet af perioder t til uendelighed, hvorfor n går til uendelighed, og logisk set går fremtidsværdien i ligningerne (2), (3) og (4) til uendelighed, så der er ingen ligninger. Den fremtidige værdi af enhver evighed går til uendelig.

Fremtidsværdiformel for kombineret fremtidsværdisum og pengestrøm (annuitet):

Vi kan kombinere ligninger (1) og (2) for at få en fremtidsværdiformel, der både omfatter et fremtidsværdisum og en annuitet. Denne ligning kan sammenlignes med de underliggende ligninger for pengenes tidsværdi i Excel.

Fremtidsværdi

Som i formel (2.1) hvis T = 0, betalinger ved udgangen af hver periode, har vi formlen for fremtidig værdi med en almindelig annuitetsrente

Som i formel (2.2) hvis T = 1, betalinger i begyndelsen af hver periode, har vi formlen for fremtidig værdi med en forfalden annuitet

Fremtidsværdi når i = 0

I det tilfælde, hvor i = 0, skal g også være 0, og vi ser tilbage på ligningerne (1) og (2a) for at se, at den kombinerede fremtidsværdiformel kan reduceres til

Fremtidsværdi med voksende annuitet (g < i)

omskrevet fra formel (3)

Future Value with Growing Annuity (g = i)

omskrevet ud fra formel (4)

Note om sammensætning m, tid t og sats r

Formel (5) kan udvides, så der tages højde for sammensætning.

hvor n = mt og i = r/m. t er antallet af perioder, m er rentesatsintervallerne pr. periode, og r er renten pr. periode t. (Dette er let forståeligt, når det anvendes med t i år, r den nominelle rente pr. år og m rentesatsintervallerne pr. år) Når det skrives i og n, er i renten pr. rentesatsinterval, og n er de samlede rentesatsintervaller, selv om dette stadig kan formuleres som “i er renten pr. periode og n er antallet af perioder”, hvor periode = rentesatsinterval. “Periode” er et bredt begreb.

Med hensyn til regnemaskinens indgange er r = R/100 og g = G/100. Hvis sammensætnings- og betalingsfrekvenserne ikke er sammenfaldende i disse beregninger, omregnes r og g til en tilsvarende sats, så de falder sammen med betalingerne, hvorefter n og i genberegnes i forhold til betalingsfrekvensen, q. Den første del af ligningen er den fremtidige værdi af et nuværende beløb, og den anden del er den fremtidige værdi af en annuitetsrente.

Fremtidsværdi med evighed eller voksende evighedsrente (t → ∞ og n = mt → ∞)

For en evighedsrente, evighedsrente, går antallet af perioder t til uendelighed, hvorfor n går til uendelighed, og logisk set går fremtidsværdien i ligning (5) til uendelighed, så der er ingen ligninger. Den fremtidige værdi af enhver evighedsrente går til uendelig.

Kontinuerlig opsparing (m → ∞)

For at beregne den fremtidige værdi med kontinuerlig opsparing skal man igen se på formel (8) for nutidsværdien, hvor m er opsparing pr. periode t, t er antallet af perioder, og r er den sammensatte rente med i = r/m og n = mt.

Den effektive rente er ieff = ( 1 + ( r / m ) )m – 1 for en rente r sammensat m gange pr. periode. Det kan bevises matematisk, at som m → ∞, når den effektive r-sats med løbende renters rente den øvre grænse, der er lig med er – 1. Hvis man fjerner m og ændrer r til den effektive rente for r, er – 1:

formel (5) eller (8) bliver

ved at udelade 1’er, hvor det er muligt, får vi den endelige formel for fremtidig værdi med kontinuerlig opsparing

Fremtidsværdi med kontinuerlig opsparing (m → ∞)

for en almindelig annuitetsrente

for en forfalden annuitetsrente

Future Value of a Growing Annuity (g ≠ i) and Continuous Compounding (m → ∞)

Vi kan ændre ligning (3a) for kontinuerlig opsparing ved at erstatte i’er med er – 1 og vi får:

which reduces to

Multiplikation af (10a) med er/(1+g)

subtraherer man (10a) fra (10b), udligner de fleste termer sig selv og efterlader

multiplikere igennem med (1+g)

ved at udregne ens udtryk på begge sider og derefter løse FV ved at dividere begge sider med (er – (1+g)) har vi

Hvis vi tilføjer udtrykket for at tage højde for, om vi har en voksende forfalden annuitetsrente eller en voksende almindelig annuitetsrente, multiplicerer vi med faktoren (1 + (er-1)T)

Future Value of a Growing Annuity (g = i) and Continuous Compounding (m → ∞)

Gang vi ud fra ligning (4) og erstatter i’s med er – 1 og forenkler får vi:

Eksempel på fremtidsværdiberegninger:

Et eksempel, som du kan bruge i fremtidsværdiberegneren. Du har en opsparing på 15.000 $ og vil begynde at spare 100 $ om måneden på en konto, der giver 1,5 % om året sammensat hver måned. Du foretager dine indbetalinger ved udgangen af hver måned. Du ønsker at kende værdien af din investering om 10 år eller, den fremtidige værdi af din opsparingskonto.

• 1 periode = 1 år
• Aktuel værdi investering PV = 15.000
• Antal perioder t = 10 (år)
• Sats pr. periode R = 1.5% (r = 0,015)
• Sammensætning 12 gange pr. periode (månedligt) m = 12
• Vækstrate pr. periode G = 0
• Betalingsbeløb PMT = 100,00
• Betalinger pr. periode q = 12 (månedligt)

Ved anvendelse af ligning (7) har vi