Cylindriske snitRediger
Et cylindrisk snit er skæringspunktet mellem en cylinders overflade og et plan. De er i almindelighed kurver og er særlige typer af plane snit. Det cylindriske snit ved et plan, der indeholder to elementer af en cylinder, er et parallelogram. Et sådant cylindrisk snit af en ret cylinder er et rektangel.
Et cylindrisk snit, hvor det skærende plan skærer og er vinkelret på alle elementerne i cylinderen, kaldes et ret snit. Hvis et ret snit af en cylinder er en cirkel, er cylinderen en cirkulær cylinder. Hvis et ret snit af en cylinder er et keglesnit (parabel, ellipse, hyperbel), siges det mere generelt, at den massive cylinder er henholdsvis parabolisk, elliptisk og hyperbolisk.
For en ret cirkulær cylinder er der flere måder, hvorpå planer kan møde en cylinder. For det første kan planer, der skærer en grundflade i højst ét punkt. Et plan er tangent til cylinderen, hvis det møder cylinderen i et enkelt element. De rette afsnit er cirkler, og alle andre planer skærer den cylindriske overflade i en ellipse. Hvis et plan skærer en base af cylinderen i præcis to punkter, så er det linjestykke, der forbinder disse punkter, en del af det cylindriske snit. Hvis et sådant plan indeholder to elementer, har det et rektangel som et cylindrisk snit, ellers er siderne af det cylindriske snit dele af en ellipse. Endelig, hvis et plan indeholder mere end to punkter af en grundflade, indeholder det hele grundfladen, og det cylindriske afsnit er en cirkel.
I tilfælde af en retcirkulær cylinder med et cylindrisk afsnit, der er en ellipse, afhænger det cylindriske afsnits excentricitet e og det cylindriske afsnits halvstore akse af cylinderens radius r og vinklen α mellem sekantplanet og cylinderaksen på følgende måde:
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}
VolumeEdit
Hvis bunden af en cirkulær cylinder har radius r og cylinderen har højde h, så er dens volumen givet ved
V = πr2h.
Denne formel gælder, uanset om cylinderen er en ret cylinder eller ej.
Denne formel kan opstilles ved hjælp af Cavalieris princip.
Mere generelt er volumenet af en hvilken som helst cylinder efter samme princip produktet af arealet af en basis og højden. F.eks. har en elliptisk cylinder med en grundflade med en halvstor akse a, en halvmindre akse b og en højde h et rumfang V = Ah, hvor A er grundfladen af basisellipsen (= πab). Dette resultat for højre elliptiske cylindre kan også opnås ved integration, hvor cylinderens akse tages som den positive x-akse og A(x) = A arealet af hvert elliptisk tværsnit, således:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Ved anvendelse af cylindriske koordinater, kan volumenet af en ret cirkulær cylinder beregnes ved integration over
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}^{r}s\,\,ds\,d\,d\phi \,dz}
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}
OverfladearealRediger
Med radius r og højde (højde) h består overfladen af en ret cirkulær cylinder, der er orienteret således, at dens akse er lodret, af tre dele:
- arealet af den øverste bund: πr2
- arealet af den nederste bund: πr2
- arealet af siden: 2πrh
Arealet af den øverste og nederste bund er det samme, og kaldes grundarealet, B. Sidens areal kaldes sidearealet, L.
En åben cylinder indeholder hverken top- eller bundelementer, og har derfor overfladeareal (sideareal)
L = 2πrh.
Overfladearealet af den massive højre cirkulære cylinder består af summen af alle tre elementer: top, bund og side. Dens overfladeareal er derfor,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
hvor d = 2r er diameteren af den cirkulære top eller bund.
For et givet rumfang har den højre cirkulære cylinder med det mindste overfladeareal h = 2r. Tilsvarende har den retcirkulære cylinder med det største rumfang for et givet overfladeareal h = 2r, dvs. cylinderen passer godt ind i en terning med sidelængde = højde ( = diameteren af grundcirklen).
Det laterale areal, L, af en cirkulær cylinder, som ikke behøver at være en retcylinder, er mere generelt givet ved:
L = e × p,
hvor e er længden af et element og p er omkredsen af et retsnit af cylinderen. Dette giver den tidligere formel for det laterale areal, når cylinderen er en ret cirkulær cylinder.
Højre cirkulær hulcylinder (cylindrisk skal)Rediger
En højre cirkulær hulcylinder (eller cylindrisk skal) er et tredimensionelt område afgrænset af to højre cirkulære cylindre med samme akse og to parallelle ringformede baser vinkelret på cylindrenes fælles akse, som i diagrammet.
Lad højden være h, den indre radius r og den ydre radius R. Rumfanget er givet ved
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}}\right)h(R-r).}
.
Dermed er rumfanget af en cylindrisk skal lig med 2π(gennemsnitsradius)(højde)(tykkelse).
Overfladearealet, inklusive top og bund, er givet ved
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Cylindriske skaller bruges i en almindelig integrationsteknik til at finde rumfang af omdrejningslegemer.
Om kugle og cylinderRediger
I afhandlingen af dette navn, skrevet ca. 225 f.v.t., opnåede Archimedes det resultat, som han var mest stolt af, nemlig at få formlerne for en kugles rumfang og overfladeareal ved at udnytte forholdet mellem en kugle og dens omskrevne retcirkulære cylinder med samme højde og diameter. Kuglen har et volumen på to tredjedele af den omskrevne cylinders volumen og et overfladeareal på to tredjedele af cylinderens overflade (inklusive bundene). Da værdierne for cylinderen allerede var kendt, fik han for første gang de tilsvarende værdier for kuglen. Rumfanget af en kugle med radius r er 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Overfladearealet af denne kugle er 4πr2 = 2/3 (6πr2). En skulpturel kugle og en cylinder blev anbragt på Archimedes’ grav på hans anmodning.