Vis mobilmeddelelse Vis alle noter Vis alle noter Skjul alle noter
Afsnit 7-7 : Typer af uendelighed
De fleste elever er stødt på uendelighed på et eller andet tidspunkt før et regneeksamenkursus. Men når de har beskæftiget sig med det, var det blot et symbol, der blev brugt til at repræsentere et meget, meget stort positivt eller et meget, meget stort negativt tal, og det var det hele. Når de kommer ind i en matematiktime, bliver de studerende bedt om at lave noget grundlæggende algebra med uendelighed, og det er her, de får problemer. Uendelighed er IKKE et tal og opfører sig for det meste ikke som et tal. Men på trods af det vil vi i dette afsnit tænke på uendeligheden som et meget, meget, meget, meget stort tal, der er så stort, at der ikke findes et andet tal, der er større end det. Dette er naturligvis ikke korrekt, men kan hjælpe med diskussionen i dette afsnit. Bemærk også, at alt det, vi vil diskutere i dette afsnit, kun gælder for reelle tal. Hvis man f.eks. bevæger sig over i komplekse tal kan tingene ændre sig og gør det også.
Så lad os begynde at tænke på addition med uendelighed. Når du adderer to tal, der ikke er nul, får du et nyt tal. For eksempel: \(4 + 7 = 11\). Med uendelighed er dette ikke sandt. Med uendelighed har du følgende:
\
Med andre ord er et rigtig, rigtig stort positivt tal (\(\(\infty \)) plus et hvilket som helst positivt tal, uanset størrelsen, stadig et rigtig, rigtig stort positivt tal. På samme måde kan man tilføje et negativt tal (dvs. \(a < 0\)) til et virkelig, virkelig stort positivt tal, og det forbliver virkelig, virkelig stort og positivt. Så addition, der involverer uendelighed, kan håndteres på en intuitiv måde, hvis man er forsigtig. Bemærk også, at \(a\) IKKE må være negativ uendelig. Hvis den er det, er der nogle alvorlige problemer, som vi skal forholde os til, som vi vil se om lidt.
Subtraktion med negativ uendelighed kan også håndteres på en intuitiv måde i de fleste tilfælde også. Et rigtig, rigtig stort negativt tal minus et hvilket som helst positivt tal, uanset dets størrelse, er stadig et rigtig, rigtig stort negativt tal. Hvis man trækker et negativt tal (dvs. \(a < 0\)) fra et virkelig, virkelig stort negativt tal, vil det stadig være et virkelig, virkelig stort negativt tal. Eller,
\
Også \(a\) må ikke være negativ uendelig for at undgå nogle potentielt alvorlige vanskeligheder.
Multiplikation kan også håndteres ret intuitivt. Et virkelig, virkelig stort tal (positivt eller negativt) gange et hvilket som helst tal, uanset størrelse, er stadig et virkelig, virkelig stort tal, vi skal bare være forsigtige med tegnene. I tilfælde af multiplikation har vi
\
Hvad du ved om produkter af positive og negative tal gælder stadig her.
Somme former for division kan også håndteres intuitivt. Et rigtig, rigtig stort tal divideret med et tal, der ikke er for stort, er stadig et rigtig, rigtig stort tal.
\
Division af et tal med uendelighed er noget intuitivt, men der er et par finesser, som du skal være opmærksom på. Når vi taler om division med uendelig, er der i virkeligheden tale om en begrænsningsproces, hvor nævneren går mod uendelig. Så et tal, der ikke er for stort, divideret et stadig større tal, er et stadig mindre tal. Med andre ord, i grænseværdien har vi,
\
Så vi har behandlet næsten alle grundlæggende algebraiske operationer, der involverer uendelighed. Der er to tilfælde, som vi endnu ikke har behandlet. Disse er
\
Problemet med disse to tilfælde er, at intuitionen ikke rigtig hjælper her. Et virkelig, virkelig stort tal minus et virkelig, virkelig stort tal kan være hvad som helst (\( – \infty \), en konstant, eller \(\infty \)). På samme måde kan et virkelig, virkelig stort tal divideret med et virkelig, virkelig stort tal også være hvad som helst (\( \pm \infty \) – dette afhænger af tegnproblemer, 0 eller en konstant, der ikke er nul).
Det, vi skal huske her, er, at der er virkelig, virkelig store tal, og så er der virkelig, virkelig, virkelig store tal. Med andre ord er nogle uendelige størrelser større end andre uendelige størrelser. Med addition, multiplikation og de første sæt division, vi arbejdede med, var dette ikke noget problem. Den generelle størrelse af uendeligheden påvirker bare ikke svaret i disse tilfælde. Men med subtraktions- og divisionstilfældene, der er nævnt ovenfor, spiller det en rolle, som vi vil se.
Her er en måde at tænke på denne idé om, at nogle uendeligheder er større end andre. Dette er en ret tør og teknisk måde at tænke på dette på, og dine regneopgaver vil sandsynligvis aldrig bruge disse ting, men det er en fin måde at se på dette på. Bemærk også, at jeg ikke forsøger at give et præcist bevis for noget her. Jeg forsøger blot at give dig et lille indblik i problemerne med uendelighed, og hvordan nogle uendeligheder kan tænkes større end andre. For en meget bedre (og helt sikkert mere præcis) diskussion se,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Lad os starte med at se på, hvor mange hele tal der er. Det er klart, håber jeg, at der er et uendeligt antal af dem, men lad os prøve at få en bedre forståelse af “størrelsen” af denne uendelighed. Vælg to vilkårlige hele tal helt tilfældigt. Begynd med den mindste af de to og opstil i stigende rækkefølge alle de heltal, der kommer efter den. Til sidst vil vi nå frem til det største af de to heltal, som du har valgt.
Afhængigt af de to heltalers relative størrelse kan det tage meget, meget lang tid at opregne alle de heltal mellem dem, og der er ikke rigtig noget formål med at gøre det. Men det kunne gøres, hvis vi ville, og det er det vigtige.
Da vi kunne opregne alle disse heltal mellem to tilfældigt valgte heltal, siger vi, at heltallene er tælleligt uendelige. Igen er der ingen egentlig grund til faktisk at gøre dette, det er blot noget, der kan gøres, hvis vi skulle vælge at gøre det.
Generelt kaldes en mængde tal for tælleligt uendelig, hvis vi kan finde en måde at opremse dem alle sammen på. I en mere præcis matematisk sammenhæng gøres dette generelt med en særlig slags funktion kaldet en bijektering, der forbinder hvert tal i mængden med præcis ét af de positive hele tal. For at se nogle flere detaljer om dette se den pdf, der er givet ovenfor.
Det kan også vises, at mængden af alle brøker også er tælleligt uendelig, selv om det er lidt sværere at vise, og det er egentlig ikke formålet med denne diskussion. For at se et bevis for dette se den ovenfor givne pdf. Den har et meget fint bevis for dette faktum.
Lad os kontrastere dette ved at forsøge at finde ud af, hvor mange tal der er i intervallet \( \left(0,1\right) \). Med tal mener jeg alle mulige brøker, der ligger mellem nul og et, samt alle mulige decimaltal (som ikke er brøker), der ligger mellem nul og et. Følgende ligner det bevis, der er givet i pdf’en ovenfor, men var pænt og nemt nok (håber jeg) til, at jeg ville medtage det her.
Til at begynde med lad os antage, at alle tal i intervallet \( \left(0,1\right) \) er tælleligt uendelige. Det betyder, at der burde være en måde at liste dem alle op på. Vi kunne have noget som følgende,
\
Vælg nu det \(i\)-te decimaltal ud af \({x_i}\) som vist nedenfor
\
og dann et nyt tal med disse cifre. I vores eksempel ville vi altså få tallet
\
I dette nye decimaltal erstatter vi alle 3’erne med en 1 og erstatter alle andre tal med en 3’er. I tilfældet med vores eksempel ville dette give det nye tal
\
Bemærk, at dette tal ligger i intervallet \( \left(0,1\right) \) og bemærk også, at givet hvordan vi vælger tallets cifre, vil dette tal ikke være lig med det første tal i vores liste, \({x_1}\), fordi det første ciffer i hver af dem garanteret ikke er det samme. På samme måde vil dette nye tal ikke få det samme tal som det andet tal på vores liste, \({x_2}\), fordi det er garanteret, at det andet ciffer i hver af dem ikke er det samme. Hvis vi fortsætter på denne måde, kan vi se, at dette nye tal, som vi har konstrueret, \(\(\overline x \), garanteret ikke vil være med i vores liste. Men dette er i modstrid med den oprindelige antagelse om, at vi kunne opstille en liste over alle tallene i intervallet \( \ venstre(0,1\ højre) \). Derfor må det ikke være muligt at opremse alle tallene i intervallet \( \left(0,1\right) \).
Mængder af tal, som f.eks. alle tallene i \( \left(0,1\right) \), som vi ikke kan skrive ned i en liste, kaldes utælleligt uendelige.
Grunden til at vi skal gennemgå dette er følgende. En uendelighed, der er utælleligt uendelig, er betydeligt større end en uendelighed, der kun er tælleligt uendelig. Så hvis vi tager forskellen mellem to uendeligheder, har vi et par muligheder.
\
Bemærk, at vi ikke har sat en forskel mellem to uendeligheder af samme type ned. Afhængigt af konteksten kan der stadig være en vis uklarhed om, hvad svaret ville være i dette tilfælde, men det er et helt andet emne.
Vi kunne også gøre noget lignende for kvotienter af uendelige størrelser.
\
Også her har vi undgået en kvotient af to uendelige størrelser af samme type, da der, igen afhængig af konteksten, stadig kan være uklarhed om dens værdi.
Så, det var det, og forhåbentlig har du lært noget af denne diskussion. Uendelighed er simpelthen ikke et tal, og fordi der findes forskellige former for uendelighed, opfører den sig generelt ikke som et tal. Vær forsigtig, når du beskæftiger dig med uendelighed.