Physique

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Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Relier le momentum linéaire d’un photon à son énergie ou à sa longueur d’onde, et appliquer la conservation du momentum linéaire à des processus simples impliquant l’émission, l’absorption ou la réflexion de photons.
  • Responsabiliser qualitativement l’augmentation de la longueur d’onde des photons qui est observée, et expliquer la signification de la longueur d’onde Compton.

Mesurer le momentum du photon

Le quantum de rayonnement EM que nous appelons un photon a des propriétés analogues à celles des particules que nous pouvons voir, comme les grains de sable. Un photon interagit comme une unité dans les collisions ou lorsqu’il est absorbé, plutôt que comme une onde étendue. Les quanta massifs, comme les électrons, se comportent également comme des particules macroscopiques, ce à quoi nous nous attendons, car ils constituent les plus petites unités de matière. Les particules sont porteuses de quantité de mouvement et d’énergie. Bien que les photons n’aient pas de masse, il est prouvé depuis longtemps que le rayonnement électromagnétique est porteur d’une quantité de mouvement. (Maxwell et d’autres qui ont étudié les ondes électromagnétiques ont prédit qu’elles seraient porteuses de quantité de mouvement). Il est désormais bien établi que les photons ont une quantité de mouvement. En fait, la quantité de mouvement des photons est suggérée par l’effet photoélectrique, où les photons font sortir les électrons d’une substance. La figure 1 montre la preuve macroscopique de la quantité de mouvement des photons.

Figure 1. Les queues de la comète Hale-Bopp s’éloignent du Soleil, preuve que la lumière a un momentum. La poussière émanant du corps de la comète forme cette queue. Les particules de poussière sont repoussées loin du Soleil par la lumière qui s’y réfléchit. La queue bleue de gaz ionisé est également produite par les photons qui interagissent avec les atomes du matériau de la comète. (crédit : Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

La figure 1 montre une comète avec deux queues proéminentes. Ce que la plupart des gens ne savent pas au sujet des queues, c’est qu’elles pointent toujours vers l’opposé du Soleil plutôt que de traîner derrière la comète (comme la queue du mouton de Bo Peep). Les queues de comètes sont composées de gaz et de poussières évaporés du corps de la comète et de gaz ionisés. Les particules de poussière reculent en s’éloignant du Soleil lorsque les photons se dispersent sur elles. De toute évidence, les photons transportent une quantité de mouvement dans la direction de leur déplacement (en s’éloignant du Soleil), et une partie de cette quantité de mouvement est transférée aux particules de poussière lors des collisions. Les atomes et les molécules de gaz dans la queue bleue sont plus affectés par d’autres particules de rayonnement, comme les protons et les électrons émanant du Soleil, plutôt que par le momentum des photons.

Making Connections : Conservation du momentum

Non seulement le momentum est conservé dans tous les domaines de la physique, mais on constate que tous les types de particules ont un momentum. Nous nous attendons à ce que les particules ayant une masse aient une quantité de mouvement, mais nous voyons maintenant que les particules sans masse, y compris les photons, ont aussi une quantité de mouvement.

Figure 2. L’effet Compton est le nom donné à la diffusion d’un photon par un électron. L’énergie et la quantité de mouvement se conservent, ce qui entraîne une réduction des deux pour le photon diffusé. En étudiant cet effet, Compton a vérifié que les photons ont une quantité de mouvement.

La quantité de mouvement est conservée en mécanique quantique tout comme elle l’est en relativité et en physique classique. Certaines des premières preuves expérimentales directes de ce phénomène proviennent de la diffusion des photons de rayons X par les électrons dans les substances, appelée diffusion Compton d’après le physicien américain Arthur H. Compton (1892-1962). Vers 1923, Compton a observé que les rayons X diffusés par les matériaux avaient une énergie réduite et a correctement analysé ce phénomène comme étant dû à la diffusion des photons par les électrons. Ce phénomène pourrait être traité comme une collision entre deux particules – un photon et un électron au repos dans le matériau. L’énergie et la quantité de mouvement sont conservées dans la collision. (Voir figure 2) Il a reçu un prix Nobel en 1929 pour la découverte de cette diffusion, appelée aujourd’hui effet Compton, car elle a permis de prouver que la quantité de mouvement du photon est donnée par p=\frac{h}{\lambda}\\\, où h est la constante de Planck et λ la longueur d’onde du photon. (Notez que la quantité de mouvement relativiste donnée par p = γmu n’est valable que pour les particules ayant une masse.)

Nous pouvons voir que la quantité de mouvement du photon est petite, puisque p=\frac{h}{\lambda}\\\ et h est très petit. C’est pour cette raison que nous n’observons pas ordinairement le momentum du photon. Nos miroirs ne reculent pas lorsque la lumière s’y reflète (sauf peut-être dans les dessins animés). Compton a vu les effets du momentum photonique parce qu’il observait des rayons X, qui ont une petite longueur d’onde et un momentum relativement grand, interagissant avec la plus légère des particules, l’électron.

Exemple 1. Comparaison des moments de l’électron et du photon

  1. Calculez le momentum d’un photon visible qui a une longueur d’onde de 500 nm.
  2. Trouvez la vitesse d’un électron ayant le même momentum.
  3. Quelle est l’énergie de l’électron, et comment se compare-t-elle à l’énergie du photon ?

Stratégie

Trouver le momentum du photon est une application directe de sa définition : p=\frac{h}{\lambda}\\. Si nous trouvons que le momentum du photon est petit, alors nous pouvons supposer qu’un électron avec le même momentum sera non relativiste, rendant facile de trouver sa vitesse et son énergie cinétique à partir des formules classiques.

Solution pour la partie 1

Le momentum du photon est donné par l’équation : p=\frac{h}{\lambda}\\.

En entrant la longueur d’onde donnée du photon, on obtient

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\

Solution pour la partie 2

Comme ce momentum est effectivement petit, nous utiliserons l’expression classique p = mv pour trouver la vitesse d’un électron avec ce momentum. En résolvant pour v et en utilisant la valeur connue pour la masse d’un électron, on obtient

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}=1460\text{ m/s}\approx1460\text{ m/s}\

Solution de la partie 3

L’électron possède une énergie cinétique, qui est classiquement donnée par \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\\.

Donc, \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9.11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\\.

En convertissant cela en eV en multipliant par \frac{1\text{ eV}}{1.602\times10^{-19}\text{ J}\\\, on obtient KEe = 6,02 × 10-6 eV.

L’énergie du photon E est

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}=2.48\text{ eV}\\\,

ce qui est environ cinq ordres de grandeur plus grand.

Discussion

La quantité de mouvement du photon est en effet petite. Même si nous en avons un nombre énorme, le momentum total qu’ils portent est petit. Un électron avec le même momentum a une vitesse de 1460 m/s, ce qui est clairement non relativiste. Une particule plus massive ayant la même quantité de mouvement aurait une vitesse encore plus faible. Cela est confirmé par le fait qu’il faut beaucoup moins d’énergie pour donner à un électron la même quantité de mouvement qu’à un photon. Mais à l’échelle de la mécanique quantique, en particulier pour les photons à haute énergie qui interagissent avec de petites masses, la quantité de mouvement du photon est significative. Même à grande échelle, le momentum des photons peut avoir un effet s’ils sont suffisamment nombreux et si rien n’empêche le lent recul de la matière. Les queues de comète en sont un exemple, mais il existe également des propositions de construction de voiles spatiales qui utilisent d’énormes miroirs de faible masse (en Mylar aluminisé) pour réfléchir la lumière du soleil. Dans le vide de l’espace, les miroirs reculeraient progressivement et pourraient réellement transporter des vaisseaux spatiaux d’un endroit à l’autre du système solaire. (Voir figure 3.)

Figure 3. (a) Des voiles spatiales ont été proposées qui utilisent l’élan de la lumière du soleil se reflétant sur des voiles gigantesques de faible masse pour propulser des engins spatiaux dans le système solaire. Un modèle d’essai russe (le Cosmos 1) a été lancé en 2005, mais n’a pas réussi à se mettre en orbite en raison d’une défaillance de la fusée. (b) Une version américaine de ce système, baptisée LightSail-1, devrait être lancée à titre d’essai au cours de la première partie de cette décennie. Elle sera dotée d’une voile de 40 m2. (crédit : Kim Newton/NASA)

Momentum du photon relativiste

Il existe une relation entre le momentum p du photon et son énergie E qui est cohérente avec la relation donnée précédemment pour l’énergie totale relativiste d’une particule sous la forme E2 = (pc)2 + (mc)2. Nous savons que m est nul pour un photon, mais que p ne l’est pas, de sorte que E2 = (pc)2 + (mc)2 devient E = pc, ou p=\frac{E}{c}\\\ (photons).

Pour vérifier la validité de cette relation, notons que E=\frac{hc}{\lambda}\\\ pour un photon. En substituant cela dans p=\frac{E}{c}\\, on obtient

\displaystyle{p}=\frac{\frac{hc}{\lambda}}{c}=\frac{h}{\lambda}\\,

comme déterminé expérimentalement et discuté ci-dessus. Ainsi, p=E/c est équivalent au résultat de Compton p=h/λ. Pour une vérification plus poussée de la relation entre l’énergie et la quantité de mouvement des photons, voir l’exemple 2.

Détecteurs de photons

Presque tous les systèmes de détection dont on a parlé jusqu’à présent – yeux, plaques photographiques, tubes photomultiplicateurs dans les microscopes et caméras CCD – reposent sur les propriétés de type particule des photons qui interagissent avec une zone sensible. Un changement est provoqué et, soit le changement se produit en cascade, soit des zillions de points sont enregistrés pour former une image que nous détectons. Ces détecteurs sont utilisés dans les systèmes d’imagerie biomédicale, et des recherches sont en cours pour améliorer l’efficacité de la réception des photons, notamment en refroidissant les systèmes de détection et en réduisant les effets thermiques.

Exemple 2. Énergie et momentum du photon

Montrez que p=\frac{E}{c}\\\\ pour le photon considéré dans l’exemple 1.

Stratégie

Nous allons prendre l’énergie E trouvée dans l’exemple 1, la diviser par la vitesse de la lumière, et voir si on obtient le même momentum que précédemment.

Solution

Sachant que l’énergie du photon est de 2,48 eV et en convertissant cela en joules, on obtient

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\\\

Discussion

Cette valeur pour la quantité de mouvement est la même que celle trouvée auparavant (notez que les valeurs non arrondies sont utilisées dans tous les calculs pour éviter les erreurs d’arrondi, même minimes), une vérification attendue de la relation p=\frac{E}{c}\\\\. Cela signifie également que la relation entre l’énergie, la quantité de mouvement et la masse donnée par E2 = (pc)2 + (mc)2 s’applique à la fois à la matière et aux photons. Encore une fois, notez que p n’est pas nul, même lorsque m l’est.

Suggestion de résolution de problèmes

Notez que les formes des constantes h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s et hc = 1240 eV ⋅ nm peuvent être particulièrement utiles pour les problèmes et exercices de cette section.

Résumé de la section

  • Les photons ont une quantité de mouvement, donnée par p=\frac{h}{\lambda}\\\\\, où λ est la longueur d’onde du photon.
  • L’énergie et la quantité de mouvement du photon sont liées par p=\frac{E}{c}\\\, où E=hf=\frac{hc}{\lambda}\ pour un photon.

Questions conceptuelles

  1. Quelle formule peut être utilisée pour le momentum de toutes les particules, avec ou sans masse ?
  2. Y a-t-il une différence mesurable entre le momentum d’un photon et le momentum de la matière ?
  3. Pourquoi ne ressentons-nous pas le momentum de la lumière du soleil lorsque nous sommes sur la plage ?

Problèmes &Exercices

  1. (a) Trouvez le momentum d’un photon micro-onde de 4,00 cm de longueur d’onde. (b) Expliquez pourquoi vous vous attendez à ce que la réponse à (a) soit très petite.
  2. (a) Quelle est la quantité de mouvement d’un photon de 0,0100 nm de longueur d’onde qui pourrait détecter les détails d’un atome ? (b) Quelle est son énergie en MeV?
  3. (a) Quelle est la longueur d’onde d’un photon qui a une quantité de mouvement de 5,00 × 10-29 kg – m/s ? (b) Trouvez son énergie en eV.
  4. (a) Un photon de rayon γ a une quantité de mouvement de 8,00 × 10-21 kg – m/s. Quelle est sa longueur d’onde ? (b) Calculez son énergie en MeV.
  5. (a) Calculez la quantité de mouvement d’un photon ayant une longueur d’onde de 2,50 μm. (b) Trouvez la vitesse d’un électron ayant le même momentum. (c) Quelle est l’énergie cinétique de l’électron, et comment se compare-t-elle à celle du photon ?
  6. Répétez le problème précédent pour un photon d’une longueur d’onde de 10,0 nm.
  7. (a) Calculez la longueur d’onde d’un photon qui a le même momentum qu’un proton se déplaçant à 1,00% de la vitesse de la lumière. (b) Quelle est l’énergie du photon en MeV ? (c) Quelle est l’énergie cinétique du proton en MeV ?
  8. (a) Trouvez la quantité de mouvement d’un photon de rayons X de 100 keV. (b) Trouvez la vitesse équivalente d’un neutron ayant le même momentum. (c) Quelle est l’énergie cinétique du neutron en keV ?
  9. Prenez le rapport de l’énergie de repos relativiste, E = γmc2, à la quantité de mouvement relativiste, p = γmu, et montrez que dans la limite où la masse s’approche de zéro, vous trouvez \frac{E}{p}=c\\\3.
  10. Construisez votre propre problème. Considérez une voile spatiale telle que celle mentionnée dans l’exemple 1. Construisez un problème dans lequel vous calculez la pression lumineuse sur la voile en N/m2 produite par la réflexion de la lumière solaire. Calculez également la force qui pourrait être produite et l’effet qu’elle aurait sur un vaisseau spatial. Parmi les éléments à prendre en compte, il y a l’intensité de la lumière solaire, sa longueur d’onde moyenne, le nombre de photons par mètre carré que cela implique, la surface de la voile spatiale et la masse du système accéléré.
  11. Résultats déraisonnables. Une voiture ressent une petite force due à la lumière qu’elle envoie de ses phares, égale à la quantité de mouvement de la lumière divisée par le temps pendant lequel elle est émise. (a) Calculez la puissance de chaque phare, s’ils exercent une force totale de 2,00 × 10-2 N vers l’arrière de la voiture. (b) Qu’est-ce qui n’est pas raisonnable dans ce résultat ? (c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?

Glossaire

Momentum du photon : quantité de momentum que possède un photon, calculé par p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}\\

Effet de Compton : le phénomène par lequel les rayons X diffusés par les matériaux ont une énergie diminuée

Solutions choisies aux problèmes & Exercices

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s ; (b) La longueur d’onde des photons micro-ondes est grande, donc la quantité de mouvement qu’ils transportent est très petite.

3. (a) 13,3 μm ; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s ; (b) 291 m/s ; (c) électron 3,86 × 10-26 J, photon 7,96 × 10-20 J, rapport 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m ; (b) 9,39 MeV ; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 et P = γmu, donc

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{\gamma{mc}}^{2}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\\\

Lorsque la masse de la particule s’approche de zéro, sa vitesse u se rapprochera de c , de sorte que le rapport entre l’énergie et la quantité de mouvement dans cette limite est

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{c}^{2}}{c}=c\

ce qui est cohérent avec l’équation de l’énergie des photons.

11. (a) 3.00 × 106 W ; (b) Les phares sont beaucoup trop brillants ; (c) La force est trop grande.

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