Reloj de sol

Los relojes de sol más comúnmente observados son aquellos en los que el estilo de proyección de sombras es fijo en posición y alineado con el eje de rotación de la Tierra, estando orientado con el Norte y el Sur verdaderos, y haciendo un ángulo con la horizontal igual a la latitud geográfica. Este eje está alineado con los polos celestes, que está estrechamente, pero no perfectamente, alineado con la estrella polar Polaris. A título ilustrativo, el eje celeste apunta verticalmente en el verdadero Polo Norte, donde apunta horizontalmente en el ecuador. En Jaipur, donde se encuentra el mayor reloj de sol del mundo, los gnomones están elevados 26°55″ por encima de la horizontal, reflejando la latitud local.

En un día cualquiera, el Sol parece girar uniformemente sobre este eje, a unos 15° por hora, dando una vuelta completa (360°) en 24 horas. Un gnomon lineal alineado con este eje proyectará una lámina de sombra (un semiplano) que, cayendo en sentido contrario al Sol, gira igualmente alrededor del eje celeste a 15° por hora. La sombra se ve al caer sobre una superficie receptora que suele ser plana, pero que puede ser esférica, cilíndrica, cónica o de otras formas. Si la sombra cae sobre una superficie que es simétrica con respecto al eje celeste (como en una esfera armilar, o una esfera ecuatorial), la superficie-sombra también se mueve uniformemente; las líneas horarias del reloj de sol están igualmente espaciadas. Sin embargo, si la superficie receptora no es simétrica (como en la mayoría de los relojes de sol horizontales), la sombra de la superficie generalmente se mueve de manera no uniforme y las líneas de las horas no están igualmente espaciadas; una excepción es la esfera de Lambert que se describe a continuación.

Algunos tipos de relojes de sol están diseñados con un gnomon fijo que no está alineado con los polos celestes como un obelisco vertical. Tales relojes de sol se cubren más adelante en la sección, «Relojes de sol basados en Nodus».

Marcación empírica de la línea horariaEditar

Las fórmulas mostradas en los párrafos siguientes permiten calcular las posiciones de las líneas horarias para varios tipos de relojes de sol. En algunos casos, los cálculos son sencillos; en otros son extremadamente complicados. Existe un método alternativo y sencillo para encontrar las posiciones de las líneas horarias que puede utilizarse para muchos tipos de relojes de sol, y que ahorra mucho trabajo en los casos en que los cálculos son complejos. Se trata de un procedimiento empírico en el que se marca la posición de la sombra del gnomon de un reloj de sol real a intervalos de una hora. Hay que tener en cuenta la ecuación del tiempo para que las posiciones de las líneas horarias sean independientes de la época del año en que se marquen. Una forma fácil de hacerlo es ajustar un reloj para que muestre la «hora del reloj de sol», que es la hora estándar, más la ecuación del tiempo en el día en cuestión. Las líneas horarias del reloj de sol están marcadas para mostrar las posiciones de la sombra del estilo cuando este reloj muestra números enteros de horas, y están etiquetadas con estos números de horas. Por ejemplo, cuando el reloj marca las 5:00, la sombra del estilo está marcada y etiquetada como «5» (o «V» en números romanos). Si no se marcan todas las líneas de las horas en un solo día, el reloj debe ajustarse cada uno o dos días para tener en cuenta la variación de la ecuación del tiempo.

Relojes de sol ecuatorialesEditar

La característica distintiva de la esfera ecuatorial (también llamada esfera equinoccial) es la superficie plana que recibe la sombra, que es exactamente perpendicular al estilo del gnomon. Este plano se llama ecuatorial, porque es paralelo al ecuador de la Tierra y de la esfera celeste. Si el gnomon está fijo y alineado con el eje de rotación de la Tierra, la rotación aparente del sol alrededor de la Tierra proyecta una lámina de sombra de rotación uniforme desde el gnomon; esto produce una línea de sombra de rotación uniforme en el plano ecuatorial. Dado que el sol gira 360° en 24 horas, las líneas horarias de un reloj ecuatorial están separadas 15° (360/24).

H E = 15 ∘ × t (horas) . {\displaystyle H_{E}=15^\\c }\c veces t{\text{(horas)}.}

La uniformidad de su espaciado hace que este tipo de reloj de sol sea fácil de construir. Si el material de la placa de la esfera es opaco, deben marcarse ambos lados de la esfera ecuatorial, ya que la sombra se proyectará desde abajo en invierno y desde arriba en verano. En el caso de las esferas translúcidas (por ejemplo, de cristal), los ángulos de las horas sólo deben marcarse en el lado que mira al sol, aunque la numeración de las horas (si se utiliza) debe hacerse en ambos lados de la esfera, debido al diferente esquema de las horas en los lados que miran hacia el sol y en los que lo hacen hacia atrás.

Otra gran ventaja de esta esfera es que las correcciones de la ecuación del tiempo (EoT) y del horario de verano (DST) pueden hacerse simplemente girando la placa de la esfera en el ángulo apropiado cada día. Esto se debe a que los ángulos de las horas están igualmente espaciados alrededor de la esfera. Por esta razón, una esfera ecuatorial es a menudo una opción útil cuando la esfera es para la exhibición pública y es deseable que muestre la verdadera hora local con una precisión razonable. La corrección EoT se realiza mediante la relación

Corrección ∘ = EoT (minutos) + 60 × Δ DST (horas) 4 . {\displaystyle {\text{Corrección}}^{circ}}={frac {{text{EoT (minutos)}}+60{\\\\}}delta {{text{DST (horas)}}{4}.

Cerca de los equinoccios en primavera y otoño, el sol se mueve en un círculo que es casi el mismo que el plano ecuatorial; por lo tanto, no se produce una sombra clara en el reloj ecuatorial en esas épocas del año, un inconveniente del diseño.

A veces se añade un nodus a los relojes de sol ecuatoriales, lo que permite que el reloj de sol diga la hora del año. En un día cualquiera, la sombra del nodus se mueve sobre un círculo en el plano ecuatorial, y el radio del círculo mide la declinación del sol. Los extremos de la barra del gnomon pueden utilizarse como nodus, o algún elemento a lo largo de su longitud. Una variante antigua del reloj de sol ecuatorial sólo tiene un nodus (sin estilo) y las líneas horarias circulares concéntricas están dispuestas para parecerse a una telaraña.

Relojes de sol horizontalesEditar

En el reloj de sol horizontal (también llamado de jardín), el plano que recibe la sombra está alineado horizontalmente, en lugar de ser perpendicular al estilo como en la esfera ecuatorial. Por lo tanto, la línea de sombra no gira uniformemente sobre la cara de la esfera, sino que las líneas horarias están espaciadas según la regla.

tan H = sin L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{H}=\tan(15^{circ }\times t)}

O en otros términos:

H H = tan – 1 {\displaystyle \ H_{H}=\tan ^{-1}}

donde L es la latitud geográfica del reloj de sol (y el ángulo que forma el gnomon con la placa de la esfera), H H {\displaystyle H_{H}} es el ángulo entre una línea horaria dada y la línea horaria del mediodía (que siempre apunta hacia el Norte verdadero) en el plano, y t es el número de horas antes o después del mediodía. Por ejemplo, el ángulo H {{displaystyle H_{H}} de la línea horaria de las 15 horas sería igual a la arctangente de sen L, ya que tan 45° = 1. Cuando L es igual a 90° (en el Polo Norte), el reloj de sol horizontal se convierte en un reloj de sol ecuatorial; el estilo apunta hacia arriba (verticalmente), y el plano horizontal está alineado con el plano ecuatorial; la fórmula de la línea horaria se convierte en H H {displaystyle H_{H}} = 15° × t, como para una esfera ecuatorial. Un reloj de sol horizontal en el ecuador de la Tierra, donde L es igual a 0°, requeriría un estilo horizontal (elevado) y sería un ejemplo de reloj de sol polar (véase más adelante).

Las principales ventajas del reloj de sol horizontal son que es fácil de leer y que la luz del sol ilumina la cara durante todo el año. Todas las líneas horarias se cruzan en el punto donde el estilo del gnomon cruza el plano horizontal. Como el estilo está alineado con el eje de rotación de la Tierra, el estilo apunta al Norte verdadero y su ángulo con la horizontal es igual a la latitud geográfica L del reloj de sol. Un reloj de sol diseñado para una latitud puede ajustarse para su uso en otra latitud inclinando su base hacia arriba o hacia abajo en un ángulo igual a la diferencia de latitud. Por ejemplo, un reloj de sol diseñado para una latitud de 40° puede utilizarse en una latitud de 45°, si el plano del reloj de sol se inclina 5° hacia arriba, alineando así el estilo con el eje de rotación de la Tierra.

Muchos relojes de sol ornamentales están diseñados para ser utilizados a 45 grados norte. Algunos relojes de sol de jardín fabricados en serie no calculan correctamente las líneas horarias, por lo que nunca se pueden corregir. Una zona horaria estándar local tiene nominalmente 15 grados de ancho, pero puede ser modificada para seguir los límites geográficos o políticos. Un reloj de sol puede girar alrededor de su estilo (que debe permanecer apuntando al polo celeste) para ajustarse a la zona horaria local. En la mayoría de los casos, basta con una rotación de entre 7,5 grados al este y 23 grados al oeste. Esto introducirá un error en los relojes de sol que no tengan ángulos horarios iguales. Para corregir el horario de verano, una esfera necesita dos juegos de números o una tabla de corrección. Una norma informal es tener los números en colores cálidos para el verano y en colores fríos para el invierno. Dado que los ángulos de las horas no están espaciados uniformemente, las correcciones de la ecuación del tiempo no se pueden hacer mediante la rotación de la placa de la esfera alrededor del eje del gnomon. Estos tipos de esferas suelen tener una tabulación de corrección de la ecuación del tiempo grabada en sus pedestales o cerca de ellos. Los relojes horizontales se ven comúnmente en jardines, patios de iglesias y en áreas públicas.

Relojes de sol verticalesEditar

En la esfera vertical común, el plano receptor de la sombra está alineado verticalmente; como es habitual, el estilo del gnomon está alineado con el eje de rotación de la Tierra. Al igual que en la esfera horizontal, la línea de sombra no se mueve uniformemente en la cara; el reloj de sol no es equiangular. Si la cara de la esfera vertical apunta directamente al sur, el ángulo de las líneas horarias se describe en cambio mediante la fórmula

tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{V}=\cos L\tan(15^{circ }\times t)}

donde L es la latitud geográfica del reloj de sol, H V {\displaystyle H_{V}} es el ángulo entre una línea horaria dada y la línea horaria del mediodía (que siempre apunta hacia el norte) en el plano, y t es el número de horas antes o después del mediodía. Por ejemplo, el ángulo H V {\displaystyle H_{V}} de la línea horaria de las 15 horas sería igual a la arctangente de cos L, ya que tan 45° = 1. La sombra se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj en una esfera vertical orientada al sur, mientras que corre en el sentido de las agujas del reloj en las esferas horizontales y ecuatoriales orientadas al norte.

Las esferas con caras perpendiculares al suelo y que están orientadas directamente al sur, al norte, al este o al oeste se llaman esferas verticales directas. Es una creencia generalizada, que se recoge en publicaciones respetables, que un dial vertical no puede recibir más de doce horas de luz solar al día, independientemente de las horas de luz que haya. Sin embargo, hay una excepción. Los relojes de sol verticales en los trópicos que están orientados hacia el polo más cercano (por ejemplo, orientados hacia el norte en la zona entre el Ecuador y el Trópico de Cáncer) pueden realmente recibir la luz del sol durante más de 12 horas desde la salida hasta la puesta del sol durante un corto período alrededor de la época del solsticio de verano. Por ejemplo, en la latitud 20 grados Norte, el 21 de junio, el sol brilla sobre una pared vertical orientada al norte durante 13 horas y 21 minutos. Los relojes de sol verticales que no están orientados directamente al Sur (en el hemisferio norte) pueden recibir bastante menos de doce horas de luz solar al día, dependiendo de la dirección a la que estén orientados y de la época del año. Por ejemplo, una esfera vertical orientada hacia el Este sólo puede dar la hora en las horas de la mañana; por la tarde, el sol no brilla en su cara. Las esferas verticales orientadas hacia el Este o el Oeste son esferas polares, que se describen a continuación. Las esferas verticales orientadas hacia el Norte son poco comunes, ya que sólo dan la hora durante la primavera y el verano, y no muestran las horas del mediodía, excepto en las latitudes tropicales (e incluso allí, sólo en pleno verano). En el caso de las esferas verticales no directas -las que están orientadas en direcciones no cardinales- la matemática de la disposición del estilo y de las líneas horarias se vuelve más complicada; puede ser más fácil marcar las líneas horarias por observación, pero la colocación del estilo, al menos, debe calcularse primero; se dice que tales esferas son esferas declinantes.

Las esferas verticales suelen montarse en las paredes de los edificios, como ayuntamientos, cúpulas y torres de iglesias, donde son fáciles de ver desde lejos. En algunos casos, las esferas verticales se colocan en los cuatro lados de una torre rectangular, proporcionando la hora durante todo el día. La esfera puede estar pintada en la pared, o mostrarse en piedra incrustada; el gnomon es a menudo una sola barra de metal, o un trípode de barras de metal para la rigidez. Si la pared del edificio está orientada hacia el Sur, pero no está orientada hacia el Sur, el gnomon no se situará a lo largo de la línea del mediodía, y habrá que corregir las líneas horarias. Como el estilo del gnomon debe ser paralelo al eje de la Tierra, siempre «apunta» al Norte verdadero y su ángulo con la horizontal será igual a la latitud geográfica del reloj de sol; en una esfera directa al Sur, su ángulo con la cara vertical de la esfera será igual a la colatitud, o 90° menos la latitud.

Relojes polaresEditar

En los relojes polares, el plano receptor de la sombra está alineado en paralelo al estilo gnomon.Así, la sombra se desliza lateralmente sobre la superficie, moviéndose perpendicularmente a sí misma a medida que el Sol gira alrededor del estilo. Al igual que el gnomon, las líneas horarias están alineadas con el eje de rotación de la Tierra. Cuando los rayos del Sol son casi paralelos al plano, la sombra se desplaza muy rápidamente y las líneas horarias están muy separadas. Las esferas orientadas directamente al Este y al Oeste son ejemplos de esfera polar. Sin embargo, la cara de una esfera polar no tiene por qué ser vertical; sólo tiene que ser paralela al gnomon. Por lo tanto, un plano inclinado en el ángulo de latitud (con respecto a la horizontal) bajo el gnomon igualmente inclinado será un dial polar. La separación perpendicular X de las líneas horarias en el plano se describe mediante la fórmula

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle X=H\tan(15^{\circ }\times t)}

donde H es la altura del estilo sobre el plano, y t es el tiempo (en horas) anterior o posterior a la hora central para la esfera polar. La hora central es la hora en que la sombra del estilo cae directamente sobre el plano; para una esfera orientada al Este, la hora central será las 6 de la mañana, para una esfera orientada al Oeste, será las 6 de la tarde, y para la esfera inclinada descrita anteriormente, será el mediodía. Cuando t se acerca a ±6 horas de distancia de la hora central, la separación X diverge a +∞; esto ocurre cuando los rayos del Sol se vuelven paralelos al plano.

Esferas verticales declinantesEditar

Una esfera declinante es cualquier esfera plana no horizontal que no está orientada en una dirección cardinal, como el Norte (verdadero), el Sur, el Este o el Oeste. Como es habitual, el estilo del gnomon está alineado con el eje de rotación de la Tierra, pero las líneas horarias no son simétricas respecto a la línea horaria del mediodía. Para una esfera vertical, el ángulo H VD {{displaystyle H_{text{VD}} entre la línea horaria del mediodía y otra línea horaria viene dado por la fórmula siguiente. Obsérvese que H VD {{displaystyle H_{text{VD}} se define positivo en el sentido de las agujas del reloj con respecto al ángulo horario vertical superior; y que su conversión a la hora solar equivalente requiere una cuidadosa consideración del cuadrante del reloj de sol al que pertenece.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {\displaystyle \tan H_{text{VD}={frac {\cos L}{cos D\cot(15^{circ }\times t)-tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{text{V}}=\cos L\tan(15^{circ }\times t)}

Cuando un reloj de sol no está alineado con una dirección cardinal, el subestilo de su gnomon no está alineado con la línea horaria del mediodía. El ángulo B {\displaystyle B} entre el subestilo y la línea horaria del mediodía viene dado por la fórmula

tan B = sin D cot L {\displaystyle \tan B=\sin D\cot L}

La altura del gnomon, es decir, el ángulo que forma el estilo con la placa, G {\displaystyle G} La altura del gnomon, es decir, el ángulo que forma el estilo con respecto a la placa, G, viene dada por:

sin G = cos D cos L

Relojes reclinadosEditar

Los relojes de sol descritos anteriormente tienen gnomones que están alineados con el eje de rotación de la Tierra y proyectan su sombra sobre un plano. Si el plano no es ni vertical ni horizontal ni ecuatorial, se dice que el reloj de sol está reclinado o inclinado. Un reloj de sol de este tipo puede estar situado en un tejado orientado al sur, por ejemplo. Las líneas horarias de un reloj de sol de este tipo se pueden calcular corrigiendo ligeramente la fórmula horizontal anterior

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\cos(L+R)\tan(15^{\circ }\times t)}

donde R {\displaystyle R} es el ángulo de inclinación deseado con respecto a la vertical local, L es la latitud geográfica del reloj de sol, H R V {\displaystyle H_{RV}} es el ángulo entre una línea horaria dada y la línea horaria del mediodía (que siempre apunta hacia el norte) en el plano, y t es el número de horas antes o después del mediodía. Por ejemplo, el ángulo H R V {{displaystyle H_{RV}} de la línea horaria de las 15 horas sería igual a la arctangente de cos(L + R), ya que tan 45° = 1. Cuando R es igual a 0° (en otras palabras, una esfera vertical orientada al Sur), obtenemos la fórmula de la esfera vertical anterior.

Algunos autores utilizan una nomenclatura más específica para describir la orientación del plano receptor de la sombra. Si la cara del plano apunta hacia abajo, hacia el suelo, se dice que es proclive o inclinado, mientras que se dice que una esfera está reclinada cuando la cara de la esfera apunta hacia fuera del suelo. Muchos autores también suelen referirse a los relojes de sol reclinados, proclinados e inclinados en general como relojes de sol inclinados. En este último caso también es habitual medir el ángulo de inclinación con respecto al plano horizontal en el lado del sol de la esfera.En estos textos, dado que I = 90° + R, la fórmula del ángulo horario se verá a menudo escrita como :

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle |tan H_{RV}=\sin(L+I)\tan(15^{\circ }\times t)}

El ángulo entre el estilo gnomon y la placa de la esfera, B, en este tipo de reloj de sol es :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {\displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}

O :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {\displaystyle B=180^{\circ }-(L+I)}

Relojes declinantes-reclinantes/ Relojes declinantes-inclinantesEditar

Algunos relojes de sol declinan y se reclinan, en el sentido de que su plano receptor de sombras no está orientado con una dirección cardinal (como el Norte verdadero o el Sur verdadero) y no es ni horizontal ni vertical ni ecuatorial. Por ejemplo, un reloj de sol de este tipo podría encontrarse en un tejado que no estuviera orientado en una dirección cardinal.

Las fórmulas que describen el espaciado de las líneas horarias en tales esferas son bastante más complicadas que las de las esferas más simples.

Hay varios enfoques de solución, incluyendo algunos que utilizan los métodos de las matrices de rotación, y algunos que hacen un modelo 3D del plano reclinado-declinado y su plano vertical declinado, extrayendo las relaciones geométricas entre los componentes de los ángulos horarios en ambos planos y luego reduciendo el álgebra trigonométrica.

Un sistema de fórmulas para los relojes de sol reclinados-declinados: (según Fennewick)

El ángulo H RD {{displaystyle H_{text{RD}} entre la línea horaria del mediodía y otra línea horaria viene dado por la siguiente fórmula. Obsérvese que H RD {\displaystyle H_{text{RD}} avanza en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto al ángulo de la hora cero para aquellos diales que están parcialmente orientados al sur y en sentido de las agujas del reloj para los que están orientados al norte.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle |tan H_{\text{RD}}={\frac {\cos R\cos L-\\Nsin R\sin Lcos D-s_{o}sin R\sin D\cot(15^{circ }\times t)}{cos D\cot(15^{circ }\times t)-s_{o}sin D\sin L}}.

dentro de los rangos de los parámetros : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} y – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {\displaystyle -90^{circ }<R<(90^{circ }-L)} .

tan H RD = sin I cos L + cos I sin L cos D + s o cos I sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{text{RD}}={frac {\sin I\cos L+\cos I\sin L\cos D+s_{o}\cos I\sin D\cot(15^{circ }\times t)}{{cos D\cot(15^{circ }\times t)-s_{o}sin D_sin L}}

dentro de los rangos de los parámetros : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} y 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {\displaystyle 0^{circ }<I<(180^{circ }-L)} .

Aquí L {\displaystyle L} es la latitud geográfica del reloj de sol; s o {\displaystyle s_{o}} es el número entero del interruptor de orientación; t es el tiempo en horas antes o después del mediodía; y R {\displaystyle R} y D {\displaystyle D} son los ángulos de reclinación y declinación, respectivamente.Tenga en cuenta que R {\displaystyle R} se mide con referencia a la vertical. Es positivo cuando el dial se inclina hacia el horizonte por detrás del dial y negativo cuando el dial se inclina hacia el horizonte por el lado del Sol. El ángulo de declinación D {\displaystyle D} se define como positivo cuando se mueve hacia el este del sur verdadero.Las esferas orientadas total o parcialmente hacia el sur tienen s o {displaystyle s_{o}} = +1, mientras que las orientadas parcial o totalmente hacia el norte tienen un valor de s o {displaystyle s_{o}} de -1.Dado que la expresión anterior da el ángulo de la hora como una función arctana, hay que tener en cuenta a qué cuadrante del reloj de sol pertenece cada hora antes de asignar el ángulo de la hora correcto.

A diferencia del reloj de sol vertical declinante más sencillo, este tipo de esfera no siempre muestra los ángulos de la hora en su cara solar para todas las declinaciones entre el este y el oeste. Cuando una esfera del hemisferio norte parcialmente orientada al sur se reclina hacia atrás (es decir, lejos del Sol) desde la vertical, el gnomon se volverá coplanario con la placa de la esfera en declinaciones menores que el este o el oeste. De forma similar, los relojes del hemisferio norte que están parcialmente orientados hacia el norte y los relojes del hemisferio sur que están orientados hacia el sur, y que se inclinan hacia adelante hacia sus gnomones que apuntan hacia arriba, tendrán una restricción similar en el rango de declinación que es posible para un valor de reclinación dado.La declinación crítica D c {\displaystyle D_{c}} es una restricción geométrica que depende del valor de la reclinación del dial y de su latitud :

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {\displaystyle \cos D_{c}=\tan R\tan L=-\tan L\cot I}

Al igual que en la esfera vertical declinada, el subestilo del gnomon no está alineado con la línea horaria del mediodía. La fórmula general para el ángulo B {\displaystyle B} , entre el subestilo y la línea del mediodía viene dada por :

tan B = sin D sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\displaystyle \tan B={frac {\sin D}{sin R\cos D+\cos R\tan L}}={{frac {\sin D}{cos I\cos D-\sin I\tan L}}.

El ángulo G {\displaystyle G} , entre el estilo y la placa viene dado por :

sin G = cos L cos D cos R – sin L sin R = – cos L cos D sin I + sin L cos I {\displaystyle \sin G=\cos L\cos D\cos R-\sin L\sin R=-\cos L\cos D\sin I+\sin L\cos I}.

Nótese que para G = 0 ∘ {\displaystyle G=0^{\circ }} , es decir, cuando el gnomon es coplanario con el plato de la esfera, tenemos :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {\displaystyle \cos D=\tan L\tan R=-\tan L\cot I}

Es decir, cuando D = D c {\displaystyle D=D_{c}} , el valor crítico de la declinación.

Método empíricoEditar

Debido a la complejidad de los cálculos anteriores, utilizarlos para el propósito práctico de diseñar un dial de este tipo es difícil y propenso a errores. Se ha sugerido que es mejor ubicar las líneas horarias empíricamente, marcando las posiciones de la sombra de un estilo en un reloj de sol real a intervalos de hora como lo muestra un reloj y sumando/deduciendo la ecuación de ajuste de tiempo de ese día. Ver Marcación empírica de la línea horaria, arriba.

Relojes de sol esféricosEditar

La superficie que recibe la sombra no tiene por qué ser un plano, sino que puede tener cualquier forma, siempre que el fabricante del reloj de sol esté dispuesto a marcar las líneas horarias. Si el estilo está alineado con el eje de rotación de la Tierra, una forma esférica es conveniente ya que las líneas de las horas están igualmente espaciadas, como lo están en la esfera ecuatorial de arriba; el reloj de sol es equiangular. Este es el principio en el que se basan la esfera armilar y el reloj de sol de arco ecuatorial. Sin embargo, algunos relojes de sol equiangulares -como la esfera de Lambert que se describe a continuación- se basan en otros principios.

En el reloj de sol de arco ecuatorial, el gnomon es una barra, una ranura o un cable estirado paralelo al eje celeste. La cara es un semicírculo, correspondiente al ecuador de la esfera, con marcas en la superficie interior. Este patrón, construido con un par de metros de ancho de acero invar, se utilizaba para mantener los trenes en hora en Francia antes de la Primera Guerra Mundial.

Entre los relojes de sol más precisos que se han fabricado se encuentran dos arcos ecuatoriales construidos en mármol encontrados en Yantra mandir. Esta colección de relojes de sol y otros instrumentos astronómicos fue construida por el maharajá Jai Singh II en su entonces nueva capital de Jaipur, India, entre 1727 y 1733. El arco ecuatorial más grande se llama Samrat Yantra (El instrumento supremo); a 27 metros de altura, su sombra se mueve visiblemente a 1 mm por segundo, o aproximadamente el ancho de una mano (6 cm) cada minuto.

Relojes de sol cilíndricos, cónicos y otros no planosEditar

Se pueden utilizar otras superficies no planas para recibir la sombra del gnomon.

Como alternativa elegante, el estilo (que podría crearse mediante un agujero o hendidura en la circunferencia) puede situarse en la circunferencia de un cilindro o esfera, en lugar de en su eje central de simetría.

En ese caso, las líneas horarias vuelven a estar espaciadas de forma equitativa, pero en el doble del ángulo habitual, debido al teorema del ángulo inscrito geométrico. Esta es la base de algunos relojes de sol modernos, pero también se utilizaba en la antigüedad;

En otra variación de la esfera cilíndrica alineada con el eje polar, una esfera cilíndrica podría representarse como una superficie helicoidal en forma de cinta, con un fino gnomon situado a lo largo de su centro o en su periferia.