Física

Objetivos de aprendizaje

Al finalizar esta sección, serás capaz de:

• Relacionar el momento lineal de un fotón con su energía o longitud de onda, y aplicar la conservación del momento lineal a procesos sencillos que impliquen la emisión, absorción o reflexión de fotones.
• Responder cualitativamente al aumento de la longitud de onda de los fotones que se observa, y explicar el significado de la longitud de onda Compton.

Figura 1. Las colas del cometa Hale-Bopp apuntan lejos del Sol, lo que evidencia que la luz tiene momento. El polvo que emana del cuerpo del cometa forma esta cola. Las partículas de polvo son empujadas lejos del Sol por la luz que se refleja en ellas. La cola azul de gas ionizado también se produce por los fotones que interactúan con los átomos del material del cometa. (crédito: Geoff Chester, U.S. Navy, vía Wikimedia Commons)

Haciendo Conexiones: Conservación del Momento

No sólo se conserva el momento en todos los ámbitos de la física, sino que se encuentra que todos los tipos de partículas tienen momento. Esperamos que las partículas con masa tengan momento, pero ahora vemos que las partículas sin masa, incluidos los fotones, también tienen momento.

Figura 2. El efecto Compton es el nombre dado a la dispersión de un fotón por un electrón. La energía y el momento se conservan, resultando una reducción de ambos para el fotón dispersado. Estudiando este efecto, Compton verificó que los fotones tienen momento.

Ejemplo 1. Comparación del momento del electrón y del fotón

1. Calcule el momento de un fotón visible que tiene una longitud de onda de 500 nm.
2. Halle la velocidad de un electrón que tenga el mismo momento.
3. ¿Cuál es la energía del electrón y cómo se compara con la energía del fotón?

Estrategia

Hallar el momento del fotón es una aplicación directa de su definición: p={frac{h}{lambda}\. Si encontramos que el momento del fotón es pequeño, entonces podemos suponer que un electrón con el mismo momento será no relativista, por lo que es fácil encontrar su velocidad y energía cinética a partir de las fórmulas clásicas.

Solución para la Parte 1

El momento del fotón viene dado por la ecuación: p=\frac{h}{lambda}\.

Introduciendo la longitud de onda del fotón dada, se obtiene

displaystyle{p}=\frac{6,63 veces10^{-34}{texto{J}}500{tiempos10^-9}{texto{m}}=1.33\times10^-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\

Solución de la parte 2

Como este momento es efectivamente pequeño, utilizaremos la expresión clásica p = mv para encontrar la velocidad de un electrón con este momento. Si resolvemos v y utilizamos el valor conocido de la masa de un electrón, obtenemos

displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1,33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}.11 veces10^-31}{kg}}=1460{text}{m/s}{aproximadamente1460{text}{m/s}{9662>

Solución de la Parte 3

El electrón tiene energía cinética, que viene dada clásicamente por \text{KE}{e=frac{1}{2}mv^2\\}.

Por lo tanto, \text{KE}_e=\frac{1}{2}(9,11\times10^{-3}\text{ kg}{right})^2=9.64\times10^-25}\text{ J}\\\}.

Convirtiendo esto a eV multiplicando por \frac{1\text{ eV}}{1,602\times10^-19}\text{ J}\} se obtiene KEe = 6,02 × 10-6 eV.

La energía de los fotones E es

E={frac{hc}{lambda}={frac{1240{text}}{cdot{text}}{500{text}}=2.48\text{ eV}\},

que es aproximadamente cinco órdenes de magnitud mayor.

Discusión

El momento de los fotones es realmente pequeño. Aunque tengamos un gran número de ellos, el momento total que llevan es pequeño. Un electrón con el mismo momento tiene una velocidad de 1460 m/s, que es claramente no relativista. Una partícula más masiva con el mismo momento tendría una velocidad aún menor. Esto se confirma por el hecho de que se necesita mucha menos energía para dar a un electrón el mismo momento que a un fotón. Pero a escala de la mecánica cuántica, especialmente para los fotones de alta energía que interactúan con masas pequeñas, el momento del fotón es significativo. Incluso a gran escala, el momento de los fotones puede tener un efecto si hay suficientes y si no hay nada que impida el lento retroceso de la materia. Las colas de los cometas son un ejemplo, pero también hay propuestas para construir velas espaciales que utilizan enormes espejos de baja masa (hechos de Mylar aluminizado) para reflejar la luz solar. En el vacío del espacio, los espejos retrocederían gradualmente y podrían llevar a las naves espaciales de un lugar a otro del sistema solar. (Véase la figura 3.)

Figura 3. (a) Se han propuesto velas espaciales que utilizan el impulso de la luz solar que se refleja en las gigantescas velas de baja masa para propulsar las naves espaciales por el sistema solar. En 2005 se lanzó un modelo de prueba ruso (el Cosmos 1), pero no llegó a entrar en órbita debido a un fallo del cohete. (b) Una versión estadounidense, denominada LightSail-1, está programada para lanzamientos de prueba en la primera parte de esta década. Tendrá una vela de 40 m2. (crédito: Kim Newton/NASA)

Detectores de fotones

Casi todos los sistemas de detección de los que se ha hablado hasta ahora -ojos, placas fotográficas, tubos fotomultiplicadores en microscopios y cámaras CCD- se basan en propiedades similares a las de las partículas de los fotones que interactúan con un área sensible. Se produce un cambio y, o bien el cambio se produce en cascada, o bien se registran millones de puntos para formar una imagen que detectamos. Estos detectores se utilizan en los sistemas de imágenes biomédicas, y se está investigando para mejorar la eficacia de la recepción de fotones, sobre todo enfriando los sistemas de detección y reduciendo los efectos térmicos.

Ejemplo 2. Energía y momento del fotón

Demostrar que p=\frac{E}{c}\ para el fotón considerado en el Ejemplo 1.

Estrategia

Tomaremos la energía E hallada en el Ejemplo 1, la dividiremos por la velocidad de la luz, y veremos si se obtiene el mismo momento que antes.

Solución

Dado que la energía del fotón es de 2,48 eV y convirtiendo esto a julios, obtenemos

p=\frac{E}{c}=\frac{left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\

Discusión

Este valor para el momento es el mismo que el encontrado antes (nótese que en todos los cálculos se utilizan valores sin redondear para evitar incluso pequeños errores de redondeo), una verificación esperada de la relación p=\frac{E}\c}\c. Esto también significa que la relación entre energía, momento y masa dada por E2 = (pc)2 + (mc)2 se aplica tanto a la materia como a los fotones. Una vez más, observe que p no es cero, incluso cuando m lo es.

Sugerencia para resolver problemas

Note que las formas de las constantes h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s y hc = 1240 eV ⋅ nm pueden ser particularmente útiles para los Problemas y Ejercicios de esta sección.

Preguntas conceptuales

1. ¿Qué fórmula se puede utilizar para el momento de todas las partículas, con o sin masa?
2. ¿Hay alguna diferencia medible entre el momento de un fotón y el momento de la materia?
3. ¿Por qué no sentimos el momento de la luz solar cuando estamos en la playa?

Problemas &Ejercicios

1. (a) Encuentre el momento de un fotón de microondas de 4,00 cm de longitud de onda. (b) Discute por qué esperas que la respuesta a (a) sea muy pequeña.
2. (a) ¿Cuál es el momento de un fotón de 0,0100-nm de longitud de onda que podría detectar detalles de un átomo? (b) ¿Cuál es su energía en MeV?
3. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón que tiene un momento de 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Encuentra su energía en eV.
4. (a) Un fotón de rayos γ tiene un momento de 8,00 × 10-21 kg – m/s. ¿Cuál es su longitud de onda? (b) Calcula su energía en MeV.
5. (a) Calcula el momento de un fotón que tiene una longitud de onda de 2,50 μm. (b) Encuentre la velocidad de un electrón que tenga el mismo momento. (c) ¿Cuál es la energía cinética del electrón y cómo se compara con la del fotón?
6. Repita el problema anterior para un fotón de 10,0 nm de longitud de onda.
7. (a) Calcule la longitud de onda de un fotón que tiene el mismo momento que un protón que se mueve al 1,00% de la velocidad de la luz. (b) ¿Cuál es la energía del fotón en MeV? (c) ¿Cuál es la energía cinética del protón en MeV?
8. (a) Encuentre el momento de un fotón de rayos X de 100-keV. (b) Encuentre la velocidad equivalente de un neutrón con el mismo momento. (c) ¿Cuál es la energía cinética del neutrón en keV?
9. Tome la relación entre la energía relativista en reposo, E = γmc2, y el momento relativista, p = γmu, y demuestre que en el límite en que la masa se aproxima a cero, se encuentra que \frac{E}{p}=c\\\\f.
10. Construya su propio problema. Considere una vela espacial como la mencionada en el ejemplo 1. Construya un problema en el que calcule la presión de la luz sobre la vela en N/m2 producida por la reflexión de la luz solar. Calcule también la fuerza que podría producirse y el efecto que tendría sobre una nave espacial. Entre las cosas a considerar están la intensidad de la luz solar, su longitud de onda media, el número de fotones por metro cuadrado que esto implica, el área de la vela espacial y la masa del sistema que se acelera.
11. Resultados no razonables. Un coche siente una pequeña fuerza debida a la luz que emite por sus faros, igual al momento de la luz dividido por el tiempo en que se emite. (a) Calcula la potencia de cada faro, si ejercen una fuerza total de 2,00 × 10-2 N hacia atrás en el coche. (b) ¿Qué no es razonable en este resultado? (c) ¿Qué suposiciones no son razonables o son incoherentes?

Soluciones seleccionadas de los problemas & Ejercicios

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) La longitud de onda de los fotones de microondas es grande, por lo que el momento que llevan es muy pequeño.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) electrón 3,86 × 10-26 J, fotón 7,96 × 10-20 J, relación 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 y P = γmu, por lo que

displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{gamma{mc}}^{2}}{{gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}

Cuando la masa de la partícula se acerque a cero, su velocidad u se acercará a c , de modo que la relación entre la energía y el momento en este límite es

displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{c}^{2}{c}=c

lo cual es consistente con la ecuación para la energía del fotón.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Los faros son demasiado brillantes; (c) La fuerza es demasiado grande.