Secciones cilíndricasEditar
Una sección cilíndrica es la intersección de la superficie de un cilindro con un plano. Son, en general, curvas y son tipos especiales de secciones planas. La sección cilíndrica por un plano que contiene dos elementos de un cilindro es un paralelogramo. Dicha sección cilíndrica de un cilindro recto es un rectángulo.
Una sección cilíndrica en la que el plano de intersección corta y es perpendicular a todos los elementos del cilindro se llama sección recta. Si una sección recta de un cilindro es una circunferencia entonces el cilindro es un cilindro circular. De forma más general, si una sección recta de un cilindro es una sección cónica (parábola, elipse, hipérbola) entonces se dice que el cilindro sólido es parabólico, elíptico e hiperbólico, respectivamente.
Para un cilindro circular recto, hay varias formas en que los planos pueden encontrarse con un cilindro. En primer lugar, los planos que se cruzan con una base a lo sumo en un punto. Un plano es tangente al cilindro si se encuentra con el cilindro en un solo elemento. Los tramos correctos son círculos y todos los demás planos intersecan la superficie cilíndrica en una elipse. Si un plano interseca una base del cilindro en exactamente dos puntos, entonces el segmento de recta que une estos puntos forma parte de la sección cilíndrica. Si dicho plano contiene dos elementos, tiene como sección cilíndrica un rectángulo, de lo contrario los lados de la sección cilíndrica son porciones de una elipse. Por último, si un plano contiene más de dos puntos de una base, contiene toda la base y la sección cilíndrica es un círculo.
En el caso de un cilindro circular recto con una sección cilíndrica que es una elipse, la excentricidad e de la sección cilíndrica y el semieje mayor a de la sección cilíndrica dependen del radio del cilindro r y del ángulo α entre el plano secante y el eje del cilindro, de la siguiente manera:
e = cos α , {\displaystyle e=cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={frac {r}{sin \alpha }}.
VolumenEditar
Si la base de un cilindro circular tiene un radio r y el cilindro tiene una altura h, entonces su volumen viene dado por
V = πr2h.
Esta fórmula es válida tanto si el cilindro es recto como si no.
Esta fórmula puede establecerse utilizando el principio de Cavalieri.
De forma más general, por el mismo principio, el volumen de cualquier cilindro es el producto del área de una base y la altura. Por ejemplo, un cilindro elíptico de base con semieje mayor a, semieje menor b y altura h tiene un volumen V = Ah, donde A es el área de la elipse de base (= πab). Este resultado para cilindros elípticos rectos también puede obtenerse por integración, donde el eje del cilindro se toma como eje x positivo y A(x) = A el área de cada sección elíptica, así:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Usando coordenadas cilíndricas, el volumen de un cilindro circular recto puede calcularse por integración sobre
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,\\\\i,ds,dz}
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \\\_r^2},h.}
SuperficieEditar
Teniendo radio r y altitud (altura) h, la superficie de un cilindro circular recto, orientado de forma que su eje sea vertical, consta de tres partes:
- El área de la base superior: πr2
- El área de la base inferior: πr2
- El área del lado: 2πrh
El área de las bases superior e inferior es la misma, y se llama área de la base, B. El área del lado se conoce como área lateral, L.
Un cilindro abierto no incluye elementos superiores ni inferiores, y por tanto tiene área superficial (área lateral)
L = 2πrh.
La superficie del cilindro circular macizo derecho está formada por la suma de sus tres componentes: superior, inferior y lateral. Su superficie es, por tanto,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
donde d = 2r es el diámetro de la parte superior o inferior circular.
Para un volumen dado, el cilindro circular derecho con menor superficie tiene h = 2r. Equivalentemente, para una superficie dada, el cilindro circular recto con el mayor volumen tiene h = 2r, es decir, el cilindro cabe perfectamente en un cubo de longitud de lado = altitud ( = diámetro del círculo base).
El área lateral, L, de un cilindro circular, que no tiene por qué ser un cilindro recto, viene dada más generalmente por:
L = e × p,
donde e es la longitud de un elemento y p es el perímetro de una sección derecha del cilindro. Esto produce la fórmula anterior para el área lateral cuando el cilindro es un cilindro circular derecho.
Cilindro hueco circular recto (cáscara cilíndrica)Edit
Un cilindro hueco circular recto (o cáscara cilíndrica) es una región tridimensional limitada por dos cilindros circulares rectos que tienen el mismo eje y dos bases anulares paralelas perpendiculares al eje común de los cilindros, como en el diagrama.
Sea la altura h, el radio interior r y el radio exterior R. El volumen viene dado por
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}\right)h(R-r).}
.
Así, el volumen de una cáscara cilíndrica es igual a 2π(radio medio)(altitud)(espesor).
La superficie, incluyendo la parte superior y la inferior, viene dada por
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Las cáscaras cilíndricas se utilizan en una técnica de integración común para hallar los volúmenes de los sólidos de revolución.
Sobre la esfera y el cilindroEditar
En el tratado de este nombre, escrito hacia el 225 a.C., Arquímedes obtuvo el resultado del que se sentía más orgulloso, a saber, la obtención de las fórmulas del volumen y la superficie de una esfera aprovechando la relación entre una esfera y su cilindro circular recto circunscrito de la misma altura y diámetro. La esfera tiene un volumen de dos tercios del cilindro circunscrito y una superficie de dos tercios del cilindro (incluyendo las bases). Como ya se conocían los valores del cilindro, obtuvo por primera vez los valores correspondientes de la esfera. El volumen de una esfera de radio r es 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). La superficie de esta esfera es 4πr2 = 2/3 (6πr2). Una esfera y un cilindro esculpidos fueron colocados en la tumba de Arquímedes a petición suya.