En mi anterior post sobre un Saturno flotante, insinué que podría escribir sobre los métodos que podemos utilizar para encontrar la densidad de Saturno. Ah, y una vez más, la densidad de Saturno es menor que la densidad del agua en la Tierra – pero no flotaría.
Sólo como recordatorio, definimos la densidad como:
Esto significa que realmente necesitamos determinar dos cosas. Primero, necesitamos la masa de Saturno. Segundo, necesitamos el volumen. Podemos obtener el volumen si conocemos el radio de Saturno.
Volumen
Técnicamente, Saturno no es perfectamente esférico. La distancia del centro al ecuador es mayor que la distancia del centro al polo. Esto se debe a que Saturno está girando y no es un objeto rígido. Piensa en una masa de pizza que gira: lo mismo, pero en Saturno. En realidad se puede medir tanto el radio polar como el ecuatorial usando la misma idea – pero voy a pretender que Saturno es una esfera.
Si es una esfera, entonces el volumen sería:
Pero cómo se obtiene el radio (o diámetro). El primer paso es mirar el tamaño angular. Si conoces el tamaño angular de un objeto y la distancia a ese objeto, puedes encontrar el tamaño. Aquí hay una imagen que he utilizado varias veces que muestra esta relación.
Así que, si el objeto está lo suficientemente lejos o es lo suficientemente pequeño, entonces la altura (o longitud) será aproximadamente la longitud del arco de un círculo con un radio igual a la distancia. El tamaño del objeto será simplemente el tamaño angular multiplicado por la distancia al objeto.
¿Pero cómo se mide siquiera el tamaño angular? Bueno, si tienes una foto necesitas saber el campo de visión angular de tu cámara – lo hice experimentalmente con un iPhone. En los días anteriores a las cámaras, se podía utilizar un telescopio. No es demasiado difícil medir el tamaño angular con un objetivo. Sólo tienes que determinar el campo de visión angular para la lente y luego poner algunas marcas para que puedas estimar la fracción del campo para el tamaño angular del objeto.
Esto es genial, pero depende de algo bastante importante. ¿A qué distancia está Saturno? Aquí es donde Johannes Kepler entra en la historia. Utilizando los datos disponibles, Kepler ideó tres modelos para el movimiento de los objetos del sistema solar.
- La trayectoria de un objeto en el sistema solar es una elipse con el Sol en un foco.
- Cuando un objeto se acerca al Sol, va más rápido. Kepler fue aún más lejos y dijo que para un intervalo de tiempo determinado, el objeto barre la misma área sin importar en qué parte de su órbita se encuentre.
- El período orbital está relacionado con la distancia orbital (semieje mayor). De hecho, el cuadrado del período es proporcional (pero no igual) al cubo del semieje mayor.
Las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario no son física nueva. Si quieres, podrías obtener el mismo conjunto de leyes utilizando el principio del momento y la fuerza gravitatoria que proporcional a uno sobre la distancia al cuadrado. Sin embargo, las leyes funcionan y es la última ley la que es útil aquí. Si conozco el período orbital de Saturno y la Tierra, entonces puedo escribir:
La T es el símbolo común de la física para el período y las unidades de tiempo no importan realmente. La constante de proporcionalidad, k se cancela cuando divido una ecuación por la otra. Al final, tengo una expresión para el semieje mayor de Saturno. Si Saturno estuviera en una órbita circular, esto sería el radio y la distancia al Sol. Pero no tengo la distancia de la Tierra a Saturno. Puedo obtener la distancia a Saturno en términos de la distancia del Sol a la Tierra. Para facilitar las cosas, llamamos a esta distancia Tierra-Sol 1 Unidad Astronómica (UA). Eso está muy bien, pero si utilizo esa unidad (AU) para el tamaño de Saturno, obtendría la densidad en unas unidades extrañas: kg/AU3. Para comparar la densidad de Saturno con la del agua, necesitamos la distancia en algo útil – como metros o quizás metros.
¿Cómo encontrar el valor de 1 UA en metros? Hay varias maneras. Una manera de encontrar esta distancia es la manera griega. Sí, los astrónomos griegos lo hicieron en algún momento alrededor del año 500 antes de Cristo. Aquí está una versión corta de cómo lo hicieron:
- Usa las sombras en diferentes lugares de la Tierra para determinar el radio de la Tierra.
- Asume que la luna se mueve en un círculo alrededor de la Tierra. Determinar la diferencia entre la posición calculada (basada en el centro de la Tierra) y la posición real (medida desde la superficie) para determinar la distancia (y el tamaño) de la luna.
- Medir el ángulo entre el Sol y la luna cuando la fase de la luna es un cuarto. Esto hace un triángulo rectángulo. Con la distancia de la Tierra a la luna ya conocida, puedes obtener la distancia (y el tamaño) de la luna.
Aquí tienes un post más antiguo que muestra más detalles de estas mediciones. Tal vez usted ya puede ver el problema con este método. Si sus mediciones están mal para el tamaño de la Tierra, entonces todo lo demás está mal. La determinación griega de la distancia al Sol no era muy precisa.
Una forma mejor de obtener la distancia Tierra-Sol es utilizar un tránsito de Venus. Durante este evento, Venus pasa entre la Tierra y el Sol. Si se mide la hora de inicio y de finalización desde diferentes lugares de la Tierra, se puede obtener un valor para la distancia Tierra-Sol. Aquí hay un ejemplo con datos modernos.
Me gustan las formas anteriores de encontrar la distancia a Saturno porque teóricamente, podrías hacerlo tú mismo. Por supuesto que hay formas aún mejores (más precisas) de encontrarlo, pero la cuestión es que sí podrías encontrar la distancia a Saturno y, por tanto, el tamaño. Con el radio, podrías encontrar el volumen.
Masa
No podemos usar simplemente las Leyes de Kepler para encontrar la masa. No, tenemos que usar algo de física más fundamental. En resumen, podemos encontrar la masa de Saturno mirando una de las lunas de Saturno. Si conocemos la distancia orbital y el período orbital de una de las lunas, podemos encontrar la masa. Fíjate en que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente para encontrar el volumen. En ese caso, utilizamos el periodo orbital de Saturno mientras se movía alrededor del Sol para encontrar la distancia. Aquí necesitamos tanto la distancia como el periodo de la luna.
Empecemos con algo de física básica. Aquí hay un diagrama de la luna más grande de Saturno, Titán, mientras orbita.
La fuerza gravitacional depende tanto de la masa de Saturno y Titán como de la distancia entre ellos. La magnitud puede escribirse como:
Donde G es simplemente la constante gravitatoria universal. El principio del momento dice que esta fuerza gravitacional cambia el momento. Como esta fuerza es perpendicular al momento (p), entonces la fuerza sólo cambia la dirección del momento y no la magnitud. Resulta que puedo escribir el principio del momento en términos de la fuerza gravitatoria y la velocidad angular de Titán mientras orbita.
Sé que me he saltado algunos pasos pero la cuestión es que hay una relación entre la masa de Saturno, el tamaño orbital y la velocidad orbital. Si pongo el periodo en lugar de la velocidad angular (periodo = 2π/ω) puedo resolver la masa de Saturno.
Ahora sólo necesitas tres cosas: G, el tamaño de la órbita y el periodo de la órbita de Titán. El período es bastante fácil. Basta con observar el planeta a través de un telescopio durante algún tiempo y contar los días que faltan para que Titán realice un viaje completo alrededor del planeta Saturno (unos 16 días). El tamaño orbital tampoco es muy difícil de obtener. Esencialmente se hace lo mismo para esto que el tamaño de Saturno – usar la distancia y el tamaño angular.
La constante gravitacional se puede encontrar con el experimento de Cavendish. Básicamente, algunas masas pequeñas en una varilla giratoria son atraídas por masas estacionarias más grandes. Observando la torsión de la varilla se puede determinar la fuerza gravitatoria y por tanto G.
Y ya está. Una vez que tienes la masa y el volumen, puedes calcular la densidad. Ves, es sencillo.