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Sección 7-7 : Tipos de infinito
La mayoría de los estudiantes se han topado con el infinito en algún momento antes de una clase de cálculo. Sin embargo, cuando se han enfrentado a él, era sólo un símbolo utilizado para representar un número positivo muy, muy grande o un número negativo muy, muy grande y eso era todo. Una vez que entran en la clase de cálculo, se les pide que hagan algo de álgebra básica con el infinito y aquí es donde se meten en problemas. El infinito NO es un número y en su mayor parte no se comporta como un número. Sin embargo, a pesar de eso pensaremos en el infinito en esta sección como un número muy, muy, muy grande que es tan grande que no hay otro número más grande que él. Esto no es correcto, por supuesto, pero puede ayudar a la discusión en esta sección. Ten en cuenta también que todo lo que vamos a discutir en esta sección se aplica sólo a los números reales. Si se pasa a los números complejos, por ejemplo, las cosas pueden cambiar, y de hecho lo hacen.
Entonces, empecemos a pensar en la suma con el infinito. Cuando sumas dos números distintos de cero obtienes un nuevo número. Por ejemplo, \N(4 + 7 = 11\). Con el infinito esto no es cierto. Con el infinito se tiene lo siguiente.
\N-En otras palabras, un número positivo muy, muy grande (\Ninfty \N) más cualquier número positivo, sin importar el tamaño, sigue siendo un número positivo muy, muy grande. Del mismo modo, se puede sumar un número negativo (es decir, \(a < 0\)) a un número positivo muy, muy grande y seguir siendo muy, muy grande y positivo. Por lo tanto, la adición que implica el infinito puede ser tratada de una manera intuitiva si se tiene cuidado. Tenga en cuenta también que el \ ~ (a\) no debe ser infinito negativo. Si lo es, hay algunos problemas serios que tenemos que tratar como veremos en un momento.
La sustracción con infinito negativo también se puede tratar de una manera intuitiva en la mayoría de los casos. Un número negativo muy, muy grande menos cualquier número positivo, independientemente de su tamaño, sigue siendo un número negativo muy, muy grande. Si se resta un número negativo (es decir, \(a < 0\)) de un número negativo muy, muy grande, seguirá siendo un número negativo muy, muy grande. O bien,
\
De nuevo, \(a\) no debe ser infinito negativo para evitar algunas dificultades potencialmente graves.
La multiplicación puede ser tratada de manera bastante intuitiva también. Un número muy, muy grande (positivo, o negativo) por cualquier número, independientemente de su tamaño, sigue siendo un número muy, muy grande sólo tendremos que tener cuidado con los signos. En el caso de la multiplicación tenemos
Lo que sabes sobre los productos de números positivos y negativos sigue siendo cierto aquí.
Algunas formas de división pueden ser tratadas intuitivamente también. Un número muy, muy grande dividido por un número que no es demasiado grande sigue siendo un número muy, muy grande.
La división de un número por el infinito es algo intuitivo, pero hay un par de sutilezas que debes tener en cuenta. Cuando hablamos de la división por el infinito en realidad estamos hablando de un proceso limitante en el que el denominador va hacia el infinito. Así, un número que no es demasiado grande dividido un número cada vez más grande es un número cada vez más pequeño. En otras palabras, en el límite tenemos,
Entonces, hemos tratado casi todas las operaciones algebraicas básicas que involucran al infinito. Hay dos casos que no hemos tratado todavía. El problema con estos dos casos es que la intuición no ayuda aquí. Un número muy, muy grande menos un número muy, muy grande puede ser cualquier cosa (\( – \infty \), una constante, o \(\infty \)). Del mismo modo, un número muy, muy grande dividido por un número muy, muy grande también puede ser cualquier cosa (\( \pm \infty \) – esto depende de cuestiones de signo, 0, o una constante distinta de cero).
Lo que tenemos que recordar aquí es que hay números muy, muy grandes y luego hay números muy, muy, muy grandes. En otras palabras, algunos infinitos son más grandes que otros infinitos. Con la suma, la multiplicación y las primeras series de división que trabajamos esto no era un problema. El tamaño general del infinito no afecta a la respuesta en esos casos. Sin embargo, con los casos de sustracción y división mencionados anteriormente, sí importa, como veremos.
Aquí hay una forma de pensar en esta idea de que algunos infinitos son más grandes que otros. Esta es una manera bastante seca y técnica de pensar en esto y sus problemas de cálculo probablemente nunca utilizarán este material, pero es una buena manera de ver esto. Además, ten en cuenta que no estoy tratando de dar una prueba precisa de nada aquí. Sólo estoy tratando de darte una pequeña idea de los problemas con el infinito y cómo algunos infinitos pueden ser considerados más grandes que otros. Para una discusión mucho mejor (y definitivamente más precisa) ver,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Empecemos por ver cuántos enteros hay. Claramente, espero, hay un número infinito de ellos, pero tratemos de comprender mejor el «tamaño» de este infinito. Así pues, elige dos enteros cualesquiera al azar. Empieza por el más pequeño de los dos y enumera, en orden creciente, todos los enteros que vienen después. Eventualmente llegaremos al mayor de los dos enteros que elegiste.
Dependiendo del tamaño relativo de los dos enteros podría tomar un tiempo muy, muy largo para enumerar todos los enteros entre ellos y no hay realmente un propósito para hacerlo. Pero, se podría hacer si quisiéramos y esa es la parte importante.
Porque podríamos enumerar todos estos enteros entre dos enteros elegidos al azar decimos que los enteros son contablemente infinitos. De nuevo, no hay ninguna razón real para hacer esto, es simplemente algo que se puede hacer si decidimos hacerlo.
En general, un conjunto de números se llama contablemente infinito si podemos encontrar una manera de enumerarlos todos. En un entorno matemático más preciso esto se hace generalmente con un tipo especial de función llamada biyección que asocia cada número del conjunto con exactamente uno de los enteros positivos. Para ver más detalles de esto ver el pdf dado anteriormente.
También se puede demostrar que el conjunto de todas las fracciones son también contablemente infinitas, aunque esto es un poco más difícil de demostrar y no es realmente el propósito de esta discusión. Para ver una prueba de esto ver el pdf dado arriba. Tiene una prueba muy bonita de este hecho.
Contrastémoslo tratando de averiguar cuántos números hay en el intervalo \_Izquierda(0,1\ derecha) \N. Por números me refiero a todas las fracciones posibles que están entre el cero y el uno, así como a todos los decimales posibles (que no son fracciones) que están entre el cero y el uno. Lo que sigue es similar a la prueba dada en el pdf de arriba, pero era lo suficientemente agradable y fácil (espero) que quería incluirlo aquí.
Para empezar vamos a suponer que todos los números en el intervalo \\ ~ izquierda (0,1\ derecha) \ ~ son contablemente infinito. Esto significa que debería haber una forma de enumerarlos todos. Podríamos tener algo como lo siguiente,
\
Ahora, seleccione el \(i\) decimal de \({x_i}\) como se muestra a continuación
\
y formar un nuevo número con estos dígitos. Así, para nuestro ejemplo tendríamos el número
\
En este nuevo decimal sustituimos todos los 3 por un 1 y sustituimos todos los demás números por un 3. En el caso de nuestro ejemplo esto daría como resultado el nuevo número
\
Nota que este número está en el intervalo \( \left(0,1\right) \) y también nota que dado como elegimos los dígitos del número este número no será igual al primer número de nuestra lista, \({x_1\}), porque el primer dígito de cada uno está garantizado que no es el mismo. Del mismo modo, este nuevo número no obtendrá el mismo número que el segundo de nuestra lista, \({x_2}\), porque el segundo dígito de cada uno está garantizado que no es el mismo. Continuando de esta manera podemos ver que este nuevo número que construimos, \(\ sobre x \), está garantizado que no está en nuestro listado. Pero esto contradice la suposición inicial de que podíamos enumerar todos los números del intervalo \a izquierda(0,1\a derecha) \a). Por lo tanto, no debe ser posible enumerar todos los números del intervalo \( \left(0,1\right) \).
Los conjuntos de números, como todos los números de \( \left(0,1\right) \), que no podemos escribir en una lista se llaman incontablemente infinitos.
La razón para repasar esto es la siguiente. Un infinito que es incontablemente infinito es significativamente mayor que un infinito que sólo es contablemente infinito. Por lo tanto, si tomamos la diferencia de dos infinitos tenemos un par de posibilidades.
Nota que no hemos puesto una diferencia de dos infinitos del mismo tipo. Dependiendo del contexto todavía podría haber cierta ambigüedad sobre cuál sería la respuesta en este caso, pero eso es un tema completamente diferente.
También podríamos hacer algo similar para cocientes de infinitos.
De nuevo, evitamos un cociente de dos infinitos del mismo tipo ya que, de nuevo dependiendo del contexto, todavía podría haber ambigüedades sobre su valor.
Así que, eso es todo y espero que hayas aprendido algo de esta discusión. El infinito simplemente no es un número y debido a que hay diferentes tipos de infinito, generalmente no se comporta como un número. Tengan cuidado cuando traten con el infinito.