La construcción básica de esta sección es el producto punto, que mide ángulos entre vectores y calcula la longitud de un vector.
Definición
El producto punto de dos vectores x,y en Rn es
Pensando en x,y como vectores columna, esto es lo mismo que xTy.
Por ejemplo,
Nota que el producto punto de dos vectores es un escalar.
Puedes hacer aritmética con productos escalares de forma habitual, siempre y cuando recuerdes que sólo puedes unir dos vectores y que el resultado es un escalar.
Propiedades del producto escalar
Sea x,y,z vectores en Rn y sea c un escalar.
- Conmutatividad: x-y=y-x.
- Distributividad con adición: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributividad con multiplicación escalar: (cx)-y=c(x-y).
El producto punto de un vector consigo mismo es un caso especial importante:
Por tanto, para cualquier vector x, tenemos:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Esto nos lleva a una buena definición de longitud.
Hecho
La longitud de un vector x en Rn es el número
Es fácil ver por qué esto es cierto para vectores en R2, por el teorema de Pitágoras.
Para vectores en R3, se puede comprobar que AxA es realmente la longitud de x, aunque ahora esto requiere dos aplicaciones del teorema de Pitágoras.
Nótese que la longitud de un vector es la longitud de la flecha; si pensamos en términos de puntos, entonces la longitud es su distancia al origen.
Hecho
Si x es un vector y c es un escalar, entonces AcxA=|c|-AxA.
Esto dice que al escalar un vector por c se escala su longitud por |c|. Por ejemplo,
Ahora que tenemos una buena noción de longitud, podemos definir la distancia entre puntos en Rn. Recordemos que la diferencia entre dos puntos x,y es naturalmente un vector, a saber, el vector y-x que apunta de x a y.
Definición
La distancia entre dos puntos x,y en Rn es la longitud del vector de x a y:
Los vectores con longitud 1 son muy comunes en las aplicaciones, así que les damos un nombre.
Definición
Un vector unitario es un vector x con longitud AxA=Bx-x=1.
Los vectores de coordenadas estándar e1,e2,e3,… son vectores unitarios:
Para cualquier vector x no nulo, existe un único vector unitario que apunta en la misma dirección. Se obtiene dividiendo por la longitud de x.
Fact
Sea x un vector no nulo en Rn. El vector unitario en la dirección de x es el vector x/AxA.
Este es de hecho un vector unitario (observando que AxA es un número positivo, por lo que CC1/AxACC=1/AxA):