Sections cylindriquesEdit
Une section cylindrique est l’intersection de la surface d’un cylindre avec un plan. Elles sont, en général, des courbes et sont des types particuliers de sections planes. La section cylindrique par un plan qui contient deux éléments d’un cylindre est un parallélogramme. Une telle section cylindrique d’un cylindre droit est un rectangle.
Une section cylindrique dans laquelle le plan d’intersection coupe et est perpendiculaire à tous les éléments du cylindre est appelée section droite. Si une section droite d’un cylindre est un cercle, alors le cylindre est un cylindre circulaire. De manière plus générale, si une section droite d’un cylindre est une section conique (parabole, ellipse, hyperbole) alors le cylindre plein est dit parabolique, elliptique et hyperbolique, respectivement.
Pour un cylindre circulaire droit, il y a plusieurs façons dont les plans peuvent rencontrer un cylindre. Tout d’abord, les plans qui coupent une base en au plus un point. Un plan est tangent au cylindre s’il rencontre le cylindre en un seul élément. Les sections droites sont des cercles et tous les autres plans coupent la surface cylindrique en une ellipse. Si un plan coupe une base du cylindre en deux points exactement, alors le segment de droite joignant ces points fait partie de la section cylindrique. Si un tel plan contient deux éléments, il a un rectangle comme section cylindrique, sinon les côtés de la section cylindrique sont des portions d’une ellipse. Enfin, si un plan contient plus de deux points d’une base, il contient la base entière et la section cylindrique est un cercle.
Dans le cas d’un cylindre circulaire droit dont la section cylindrique est une ellipse, l’excentricité e de la section cylindrique et le demi-grand axe a de la section cylindrique dépendent du rayon du cylindre r et de l’angle α entre le plan sécant et l’axe du cylindre, de la manière suivante :
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}
VolumeEdit
Si la base d’un cylindre circulaire a un rayon r et que le cylindre a une hauteur h, alors son volume est donné par
V = πr2h.
Cette formule est valable que le cylindre soit un cylindre droit ou non.
Cette formule peut être établie en utilisant le principe de Cavalieri.
De manière plus générale, par le même principe, le volume de tout cylindre est le produit de l’aire d’une base et de la hauteur. Par exemple, un cylindre elliptique dont la base a un demi-grand axe a, un demi-petit axe b et une hauteur h a un volume V = Ah, où A est l’aire de l’ellipse de base (= πab). Ce résultat pour les cylindres elliptiques droits peut également être obtenu par intégration, où l’axe du cylindre est pris comme l’axe x positif et A(x) = A l’aire de chaque section elliptique, ainsi :
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
En utilisant les coordonnées cylindriques, le volume d’un cylindre circulaire droit peut être calculé par intégration sur
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}
Aire de surfaceEdit
Ayant un rayon r et une altitude (hauteur) h, l’aire de surface d’un cylindre circulaire droit, orienté de telle sorte que son axe soit vertical, se compose de trois parties :
- l’aire de la base supérieure : πr2
- l’aire de la base inférieure : πr2
- l’aire du côté : 2πrh
L’aire des bases supérieure et inférieure est la même et s’appelle l’aire de base, B. L’aire du côté est appelée aire latérale, L.
Un cylindre ouvert ne comprend ni élément supérieur ni élément inférieur, et a donc une aire de surface (aire latérale)
L = 2πrh.
L’aire de surface du cylindre circulaire droit plein est constituée par la somme des trois éléments : supérieur, inférieur et latéral. Sa surface est donc,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
où d = 2r est le diamètre du sommet ou du fond circulaire.
Pour un volume donné, le cylindre circulaire droit ayant la plus petite surface a h = 2r. De façon équivalente, pour une surface donnée, le cylindre circulaire droit ayant le plus grand volume a h = 2r, c’est-à-dire que le cylindre s’insère parfaitement dans un cube de longueur de côté = altitude ( = diamètre du cercle de base).
L’aire latérale, L, d’un cylindre circulaire, qui n’est pas nécessairement un cylindre droit, est plus généralement donnée par :
L = e × p,
où e est la longueur d’un élément et p est le périmètre d’une section droite du cylindre. On obtient ainsi la formule précédente pour la surface latérale lorsque le cylindre est un cylindre circulaire droit.
Cylindre creux circulaire droit (enveloppe cylindrique)Edit
Un cylindre creux circulaire droit (ou enveloppe cylindrique) est une région tridimensionnelle délimitée par deux cylindres circulaires droits ayant le même axe et deux bases annulaires parallèles perpendiculaires à l’axe commun des cylindres, comme dans le schéma.
Disons que la hauteur est h, le rayon interne r et le rayon externe R. Le volume est donné par
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}
.
Donc, le volume d’une coque cylindrique est égal à 2π(rayon moyen)(altitude)(épaisseur).
La surface, incluant le haut et le bas, est donnée par
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Les coques cylindriques sont utilisées dans une technique d’intégration courante pour trouver les volumes des solides de révolution.
Sur la sphère et le cylindreEdit
Dans le traité de ce nom, écrit vers 225 avant notre ère, Archimède obtient le résultat dont il était le plus fier, à savoir l’obtention des formules du volume et de l’aire d’une sphère en exploitant la relation entre une sphère et son cylindre circulaire droit circonscrit de même hauteur et de même diamètre. La sphère a un volume égal aux deux tiers de celui du cylindre circonscrit et une surface égale aux deux tiers de celle du cylindre (bases comprises). Comme les valeurs pour le cylindre étaient déjà connues, il a obtenu, pour la première fois, les valeurs correspondantes pour la sphère. Le volume d’une sphère de rayon r est 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). La surface de cette sphère est de 4πr2 = 2/3 (6πr2). Une sphère et un cylindre sculptés ont été placés sur la tombe d’Archimède à sa demande.