Dans mon précédent billet sur une Saturne flottante, j’ai laissé entendre que je pourrais écrire sur les méthodes que nous pouvons utiliser pour trouver la densité de Saturne. Oh, et encore une fois, la densité de Saturne est inférieure à la densité de l’eau sur Terre – mais elle ne flotterait pas.
Pour rappel, nous définissons la densité comme :
Cela signifie que nous devons vraiment déterminer deux choses. Premièrement, nous avons besoin de la masse de Saturne. Deuxièmement, nous avons besoin du volume. Nous pouvons obtenir le volume si nous connaissons le rayon de Saturne.
Volume
Techniquement, Saturne n’est pas parfaitement sphérique. La distance entre le centre et l’équateur est plus grande que la distance entre le centre et le pôle. C’est parce que Saturne tourne et qu’elle n’est pas un objet rigide. Pensez à une pâte à pizza qui tourne – c’est la même chose, sauf que c’est Saturne. Vous pouvez en fait mesurer à la fois le rayon polaire et équatorial en utilisant la même idée – mais je vais juste prétendre que Saturne est une sphère.
Si c’est une sphère, alors le volume serait :
Mais comment obtenir le rayon (ou diamètre). La première étape consiste à regarder la taille angulaire. Si vous connaissez la taille angulaire d’un objet et la distance à cet objet, vous pouvez trouver la taille. Voici une image que j’ai utilisée plusieurs fois et qui montre cette relation.
Donc, si l’objet est assez loin ou assez petit, alors la hauteur (ou la longueur) sera approximativement la longueur de l’arc d’un cercle dont le rayon est le même que la distance. La taille de l’objet sera juste la taille angulaire multipliée par la distance l’objet.
Mais comment mesure-t-on même la taille angulaire ? Eh bien, si vous avez une photo, vous devez connaître le champ de vision angulaire de votre appareil photo – je l’ai fait expérimentalement avec un iPhone. Avant l’arrivée des appareils photo, il suffisait d’utiliser un télescope. Il n’est pas très difficile de mesurer la taille angulaire d’un objectif. Il suffit de déterminer le champ de vision angulaire de l’objectif, puis de mettre des marques dessus pour pouvoir estimer la fraction du champ pour la taille angulaire de l’objet.
C’est génial, mais cela dépend d’une chose assez importante. A quelle distance se trouve Saturne ? C’est là que Johannes Kepler entre en scène. En utilisant les données disponibles, Kepler a proposé trois modèles pour le mouvement des objets dans le système solaire.
- La trajectoire d’un objet dans le système solaire est une ellipse avec le Soleil au foyer.
- Lorsqu’un objet se rapproche du Soleil, il va plus vite. Kepler est allé encore plus loin en affirmant que pour un intervalle de temps donné, l’objet balaie la même surface quel que soit l’endroit où il se trouve sur son orbite.
- La période orbitale est liée à la distance orbitale (demi-grand axe). En fait, le carré de la période est proportionnel (mais pas égal) au cube du demi-grand axe.
Les lois de Kepler sur le mouvement planétaire ne sont pas une nouvelle physique. Si vous voulez, vous pourriez obtenir le même ensemble de lois en utilisant le principe du momentum et la force gravitationnelle qui est proportionnelle à un sur la distance au carré. Cependant, les lois fonctionnent et c’est la dernière loi qui est utile ici. Si je connais la période orbitale de Saturne et de la Terre, alors je peux écrire :
Le T est le symbole commun en physique pour la période et les unités de temps n’ont pas vraiment d’importance. La constante de proportionnalité, k s’annule lorsque je divise une équation par l’autre. Au final, j’ai une expression pour le demi-grand axe de Saturne. Si Saturne était sur une orbite circulaire, cela correspondrait au rayon et à la distance au Soleil. Ah ha ! Mais je n’ai pas vraiment la distance entre la Terre et Saturne. Je peux obtenir la distance à Saturne en fonction de la distance entre le Soleil et la Terre. Pour faciliter les choses, nous appelons cette distance Terre-Soleil une unité astronomique (UA). C’est très bien, mais si j’utilise cette unité (UA) pour la taille de Saturne, j’obtiendrai la densité dans des unités bizarres – kg/AU3. Afin de comparer la densité de Saturne à celle de l’eau, nous avons besoin de la distance en quelque chose d’utile – comme des mètres ou peut-être des mètres.
Comment trouver la valeur de 1 UA en mètres ? Il y a plusieurs façons. Une façon de trouver cette distance est la méthode grecque. Oui, les astronomes grecs l’ont fait aux alentours de 500 avant J-C. Voici une version courte de la façon dont ils l’ont fait:
- Utiliser les ombres à différents endroits sur la Terre pour déterminer le rayon de la Terre.
- Supposer que la lune se déplace dans un cercle autour de la Terre. Déterminez la différence entre la position calculée (basée sur le centre de la Terre) et la position réelle (mesurée depuis la surface) pour déterminer la distance (et la taille) de la lune.
- Mesurez l’angle entre le Soleil et la lune lorsque la phase de la lune est un quart. Cela forme un triangle rectangle. Avec la distance de la Terre à la lune déjà connue, vous pouvez obtenir la distance (et la taille) de la lune.
Voici un ancien post qui montre plus de détails dans ces mesures. Peut-être pouvez-vous déjà voir le problème avec cette méthode. Si vos mesures sont fausses pour la taille de la Terre, alors tout le reste est faux. La détermination de la distance au Soleil par les Grecs n’était pas très précise.
Une meilleure façon d’obtenir la distance Terre-Soleil est d’utiliser un transit de Vénus. Au cours de cet événement, Vénus passe entre la Terre et le Soleil. Si vous mesurez l’heure de début et de fin à partir de différents endroits sur la Terre, vous pouvez obtenir une valeur pour la distance Terre-Soleil. Voici un exemple avec des données modernes.
J’aime les façons ci-dessus de trouver la distance à Saturne parce que théoriquement, vous pourriez le faire vous-même. Bien sûr, il existe des moyens encore meilleurs (plus précis) pour trouver cela, mais le point est que vous pourriez effectivement trouver la distance à Saturne et donc la taille. Avec le rayon, vous pourriez trouver le volume.
Masse
Nous ne pouvons pas simplement utiliser les lois de Kepler pour trouver la masse. Non, nous devons utiliser une physique plus fondamentale. En bref, nous pouvons trouver la masse de Saturne en regardant l’une des lunes de Saturne. Si nous connaissons la distance orbitale et la période orbitale de l’un de ces satellites, nous pouvons déterminer sa masse. Remarquez que cette méthode est différente de celle utilisée ci-dessus pour déterminer le volume. Dans ce cas, nous avions utilisé la période orbitale de Saturne, qui se déplaçait autour du Soleil, pour trouver la distance. Ici, nous avons besoin à la fois de la distance et de la période de la lune.
Commençons par un peu de physique de base. Voici un diagramme de la plus grande lune de Saturne, Titan, en orbite.
La force gravitationnelle dépend à la fois de la masse de Saturne et de Titan ainsi que de la distance qui les sépare. La magnitude peut être écrite comme:
Où G est juste la constante gravitationnelle universelle. Le principe de quantité de mouvement dit que cette force gravitationnelle modifie la quantité de mouvement. Puisque cette force est perpendiculaire à l’élan (p), alors la force change juste la direction de l’élan et non sa magnitude. Il s’avère que je peux écrire le principe du momentum en termes de force gravitationnelle et de vitesse angulaire de Titan lorsqu’il orbite.
Je sais que j’ai sauté quelques étapes mais le point est qu’il y a une relation entre la masse de Saturne, la taille de l’orbite et la vitesse orbitale. Si je mets la période au lieu de la vitesse angulaire (période = 2π/ω), je peux résoudre la masse de Saturne.
Maintenant, vous avez juste besoin de trois choses : G, la taille de l’orbite, et la période de l’orbite de Titan. La période est assez facile. Il suffit d’observer la planète à travers un télescope pendant un certain temps et de compter les jours jusqu’à ce que Titan fasse un voyage complet autour de la planète Saturne (environ 16 jours). La taille de l’orbite n’est pas trop difficile à obtenir non plus. Essentiellement, vous faites la même chose pour cela que pour la taille de Saturne – utilisez la distance et la taille angulaire.
La constante gravitationnelle peut être trouvée avec l’expérience de Cavendish. Fondamentalement, certaines petites masses sur une tige en rotation sont attirées par des masses stationnaires plus grandes. En regardant la torsion de la tige, vous pouvez déterminer la force gravitationnelle et donc G.
Et c’est tout. Une fois que vous avez la masse et le volume, vous pouvez calculer la densité. Vous voyez, c’est simple.