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Section 7-7 : Types d’infini
La plupart des étudiants ont rencontré l’infini à un moment donné avant un cours de calcul. Cependant, lorsqu’ils y ont eu affaire, il s’agissait simplement d’un symbole utilisé pour représenter un nombre positif ou négatif vraiment, vraiment grand, et c’est tout. Une fois qu’ils entrent dans un cours de calcul, les étudiants doivent faire de l’algèbre de base avec l’infini et c’est là qu’ils ont des problèmes. L’infini n’est PAS un nombre et, dans la plupart des cas, il ne se comporte pas comme un nombre. Malgré cela, nous allons considérer l’infini dans cette section comme un nombre très, très, très grand, si grand qu’il n’existe pas d’autre nombre plus grand que lui. Ce n’est pas correct, bien sûr, mais cela peut faciliter la discussion dans cette section. Notez également que tout ce dont nous allons parler dans cette section ne s’applique qu’aux nombres réels. Si vous passez aux nombres complexes par exemple, les choses peuvent changer et changent effectivement.
Alors, commençons à penser à l’addition avec l’infini. Lorsque vous ajoutez deux nombres non nuls, vous obtenez un nouveau nombre. Par exemple, \(4 + 7 = 11\). Avec l’infini, ce n’est pas vrai. En d’autres termes, un très, très grand nombre positif (\(\infty \)) plus un nombre positif quelconque, quelle que soit sa taille, est toujours un très, très grand nombre positif. De même, vous pouvez ajouter un nombre négatif (c’est-à-dire \(a < 0\)) à un nombre positif vraiment, vraiment grand et rester vraiment, vraiment grand et positif. Ainsi, l’addition impliquant l’infini peut être traitée de manière intuitive si l’on fait attention. Notez également que le \(a\) ne doit PAS être un infini négatif. Si c’est le cas, il y a quelques problèmes sérieux que nous devons traiter comme nous le verrons dans un peu.
La soustraction avec l’infini négatif peut également être traitée d’une manière intuitive dans la plupart des cas aussi. Un nombre négatif vraiment, vraiment grand moins un nombre positif quelconque, quelle que soit sa taille, est toujours un nombre négatif vraiment, vraiment grand. La soustraction d’un nombre négatif (c’est-à-dire \(a < 0\)) d’un très, très grand nombre négatif sera toujours un très, très grand nombre négatif. Ou,
\
Encore, \(a\) ne doit pas être l’infini négatif pour éviter certaines difficultés potentiellement graves.
La multiplication peut être traitée assez intuitivement aussi. Un très, très grand nombre (positif, ou négatif) multiplié par n’importe quel nombre, quelle que soit sa taille, est toujours un très, très grand nombre qu’il faudra juste faire attention aux signes. Dans le cas de la multiplication, nous avons
\
Ce que vous savez sur les produits de nombres positifs et négatifs est toujours vrai ici.
Certaines formes de division peuvent être traitées intuitivement aussi. Un très, très grand nombre divisé par un nombre qui n’est pas trop grand est toujours un très, très grand nombre.
La division d’un nombre par l’infini est quelque peu intuitive, mais il y a quelques subtilités dont vous devez être conscient. Quand on parle de division par l’infini, on parle en fait d’un processus de limitation dans lequel le dénominateur va vers l’infini. Ainsi, un nombre qui n’est pas trop grand divisé par un nombre de plus en plus grand est un nombre de plus en plus petit. En d’autres termes, à la limite, nous avons,
\
Donc, nous avons traité presque toutes les opérations algébriques de base impliquant l’infini. Il y a deux cas que nous n’avons pas encore traités. Ce sont
\
Le problème avec ces deux cas est que l’intuition ne nous aide pas vraiment ici. Un nombre vraiment, vraiment grand moins un nombre vraiment, vraiment grand peut être n’importe quoi (\( – \infty \), une constante, ou \(\infty \)). De même, un très, très grand nombre divisé par un très, très grand nombre peut aussi être n’importe quoi (\( \pm \infty \) – cela dépend des questions de signe, 0, ou une constante non nulle).
Ce qu’il faut retenir ici, c’est qu’il y a des très, très grands nombres et puis il y a des très, très, très grands nombres. En d’autres termes, certains infinis sont plus grands que d’autres infinis. Avec l’addition, la multiplication et les premières séries de divisions que nous avons travaillées, ce n’était pas un problème. La taille générale de l’infini n’affecte pas la réponse dans ces cas-là. Cependant, avec les cas de soustraction et de division énumérés ci-dessus, cela a de l’importance comme nous allons le voir.
Voici une façon de penser à cette idée que certains infinis sont plus grands que d’autres. C’est une façon assez sèche et technique de penser à cela et vos problèmes de calcul n’utiliseront probablement jamais ce genre de choses, mais c’est une façon agréable de voir les choses. Notez également que je n’essaie pas d’apporter une preuve précise de quoi que ce soit ici. J’essaie simplement de vous donner un aperçu des problèmes liés à l’infini et de la façon dont certains infinis peuvent être considérés comme plus grands que d’autres. Pour une bien meilleure (et définitivement plus précise) discussion voir,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Commençons par regarder combien d’entiers il y a. Clairement, je l’espère, il y en a un nombre infini, mais essayons de mieux saisir la « taille » de cet infini. Choisissez donc deux entiers au hasard. Commencez par le plus petit des deux et énumérez, dans un ordre croissant, tous les nombres entiers qui suivent. Finalement, nous atteindrons le plus grand des deux entiers que vous avez choisis.
Selon la taille relative des deux entiers, cela pourrait prendre un très, très long moment pour énumérer tous les entiers entre eux et il n’y a pas vraiment de but à le faire. Mais, cela pourrait être fait si nous le voulions et c’est la partie importante.
Parce que nous pourrions énumérer tous ces entiers entre deux entiers choisis au hasard, nous disons que les entiers sont comptablement infinis. Encore une fois, il n’y a pas de véritable raison de le faire réellement, c’est simplement quelque chose qui peut être fait si nous devions choisir de le faire.
En général, un ensemble de nombres est dit comptablement infini si nous pouvons trouver un moyen de les énumérer tous. Dans un cadre mathématique plus précis, cela se fait généralement avec un type spécial de fonction appelé bijection qui associe chaque nombre de l’ensemble à exactement un des entiers positifs. Pour voir quelques détails supplémentaires à ce sujet, voir le pdf donné ci-dessus.
On peut également montrer que l’ensemble de toutes les fractions sont aussi comptablement infinies, bien que cela soit un peu plus difficile à montrer et ne soit pas vraiment le but de cette discussion. Pour voir une preuve de cela, voir le pdf donné ci-dessus. Il contient une très belle preuve de ce fait.
Contrastez cela en essayant de déterminer combien de nombres il y a dans l’intervalle \( \left(0,1\right) \). Par nombres, j’entends toutes les fractions possibles comprises entre zéro et un, ainsi que toutes les décimales possibles (qui ne sont pas des fractions) comprises entre zéro et un. Ce qui suit est similaire à la preuve donnée dans le pdf ci-dessus mais était suffisamment agréable et facile (j’espère) pour que je veuille l’inclure ici.
Pour commencer, supposons que tous les nombres dans l’intervalle \( \left(0,1\right) \) sont comptablement infinis. Cela signifie qu’il devrait y avoir un moyen de les énumérer tous. Nous pourrions avoir quelque chose comme ce qui suit :
\
Maintenant, sélectionnez la \(i\)ième décimale de \({x_i}\) comme indiqué ci-dessous
\
et formez un nouveau nombre avec ces chiffres. Ainsi, pour notre exemple, nous aurions le nombre
\
Dans cette nouvelle décimale, remplacer tous les 3 par un 1 et remplacer tous les autres chiffres par un 3. Dans le cas de notre exemple, cela donnerait le nouveau nombre
\
Notez que ce nombre est dans l’intervalle \( \left(0,1\right) \) et remarquez également que, étant donné la façon dont nous choisissons les chiffres du nombre, ce nombre ne sera pas égal au premier nombre de notre liste, \({x_1}\), car le premier chiffre de chacun est garanti différent. De même, ce nouveau nombre ne sera pas égal au deuxième de notre liste, \({x_2}\), car le deuxième chiffre de chacun est garanti différent. En continuant de cette manière, nous pouvons voir que ce nouveau nombre que nous avons construit, \(\overline x \), est garanti de ne pas être dans notre liste. Mais cela contredit l’hypothèse initiale selon laquelle nous pouvons énumérer tous les nombres dans l’intervalle \( \left(0,1\right) \). Par conséquent, il ne doit pas être possible d’énumérer tous les nombres dans l’intervalle \( \left(0,1\right) \).
Les ensembles de nombres, tels que tous les nombres dans \( \left(0,1\right) \), que nous ne pouvons pas écrire dans une liste sont appelés infinis indénombrables.
La raison pour laquelle nous devons revenir sur ce point est la suivante. Un infini indénombrable est nettement plus grand qu’un infini qui n’est que dénombrable. Donc, si on prend la différence de deux infinis, on a deux possibilités.
Notez que nous n’avons pas mis une différence de deux infinis du même type. Selon le contexte, il pourrait encore y avoir une certaine ambiguïté sur juste ce que la réponse serait dans ce cas, mais c’est un tout autre sujet.
Nous pourrions également faire quelque chose de similaire pour les quotients d’infinis.
\2124>Encore, nous avons évité un quotient de deux infinis du même type puisque, encore une fois selon le contexte, il pourrait encore y avoir des ambiguïtés sur sa valeur.
Alors, c’est tout et j’espère que vous avez appris quelque chose de cette discussion. L’infini n’est tout simplement pas un nombre et parce qu’il existe différents types d’infini, il ne se comporte généralement pas comme un nombre. Soyez prudent lorsque vous traitez avec l’infini.