Calculateur de valeur future

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Utilisation du calculateur

La formule de la valeur future est FV=PV(1+i)n, où la valeur actuelle PV augmente pour chaque période dans le futur par un facteur de 1 + i.

Le calculateur de valeur future utilise plusieurs variables dans le calcul de la VF :

  • La somme de la valeur actuelle
  • Le nombre de périodes de temps, généralement des années
  • Le taux d’intérêt
  • La fréquence de composition
  • Les paiements de flux de trésorerie
  • Les annuités croissantes et les perpétuités

La valeur future d’une somme d’argent est la valeur de la somme actuelle à une date future.

Vous pouvez utiliser cette calculatrice de valeur future pour déterminer combien votre investissement vaudra à un moment donné dans le futur en raison des intérêts accumulés et des flux de trésorerie potentiels.

Vous pouvez entrer 0 pour toute variable que vous souhaitez exclure lorsque vous utilisez cette calculatrice. Nos autres calculatrices de valeur future fournissent des options pour des calculs de valeur future plus spécifiques.

Ce que contient le calcul de la valeur future

La calculatrice de valeur future utilise les variables suivantes pour trouver la valeur future FV d’une somme actuelle plus les paiements d’intérêts et de flux de trésorerie :

Valeur actuelle PV Valeur actuelle d’une somme d’argent Nombre de périodes de temps t – Les périodes de temps sont généralement un nombre d’années
– Assurez-vous que toutes vos entrées utilisent la même unité de période de temps (années, mois, etc.)
– Entrez p ou perpetuity pour une rente perpétuelle Taux d’intérêt R Le taux d’intérêt nominal ou le taux déclaré, en pourcentage Capitalisation m – Le nombre de fois où la capitalisation a lieu par période
– Saisissez 1 pour une capitalisation annuelle qui est une fois par an
– Saisissez 4 pour une capitalisation trimestrielle
– Saisissez 12 pour une capitalisation mensuelle
– Saisissez 365 pour une capitalisation quotidienne
– Saisissez c ou continu pour une capitalisation continue Montant du paiement de la rente en espèces PMT Le montant du paiement de chaque période Taux de croissance G Le taux de croissance des paiements de la rente par période saisi en pourcentage Nombre de paiements q par période – Fréquence de paiement
– Saisissez 1 pour les paiements annuels. qui est une fois par an
– Entrer 4 pour des paiements trimestriels
– Entrer 12 pour des paiements mensuels
– Entrer 365 pour des paiements quotidiens Quand les paiements de la rente ont-ils lieu T – Sélectionner la fin qui est une rente ordinaire avec des paiements reçus à la fin de la période

– Sélectionner le début lorsque les paiements sont dus au début de la période Valeur future FV Le résultat du calcul de la FV est la valeur future de toute somme de valeur actuelle plus les intérêts et les flux de trésorerie futurs ou les paiements de rente

Les sections ci-dessous montrent comment dériver mathématiquement les formules de valeur future. Pour une liste des formules présentées ici, voir notre page Formules de valeur future.

Dérivation des formules de valeur future

La valeur future (VF) d’une somme de valeur actuelle (VA) qui accumule des intérêts au taux i sur une seule période de temps est la valeur actuelle plus les intérêts gagnés sur cette somme. L’équation mathématique utilisée dans le calculateur de valeur future est

\( FV=PV+PVi \)

ou

\( FV=PV(1+i) \)

Pour chaque période dans le futur, la valeur accumulée augmente d’un facteur supplémentaire (1 + i). Par conséquent, la valeur future accumulée sur, disons 3 périodes, est donnée par

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \)

ou généralement

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}\tag{1a} \)

et de la même manière, nous pouvons résoudre PV pour obtenir

\( PV_{n}=\dfrac{FV_{n}}{(1+i)^n}\tag{1b}} \)

Les équations que nous avons sont (1a) la valeur future d’une somme présente et (1b) la valeur actuelle d’une somme future à un taux d’intérêt périodique i où n est le nombre de périodes dans le futur. Cette équation est généralement appliquée avec des périodes correspondant à des années, mais il est moins restrictif de penser en termes plus larges de périodes. En supprimant les indices de (1b), nous avons :

Valeur future d’une somme présente

\( FV=PV(1+i)^{n}\tag{1} \)

Dérivation de la formule de la valeur future de l’annuité

Une annuité est une somme d’argent versée périodiquement, (à intervalles réguliers). Supposons que nous ayons une série de valeurs actuelles égales que nous appellerons paiements (PMT) et qui sont payés une fois par période pendant n périodes à un taux d’intérêt constant i. La calculatrice de valeur future calculera la FV de la série de paiements 1 à n en utilisant la formule (1) pour additionner les valeurs futures individuelles.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a} \)

Dans la formule (2a), les paiements sont effectués à la fin des périodes. Le premier terme du côté droit de l’équation, PMT, est le dernier paiement de la série effectué à la fin de la dernière période qui est au même moment que la valeur future. Par conséquent, aucun intérêt n’est appliqué à ce paiement. Le dernier terme du côté droit de l’équation, PMT(1+i)n-1, est le premier paiement de la série effectué à la fin de la première période qui est seulement à n-1 périodes du moment de notre valeur future.

multiplier les deux côtés de cette équation par (1 + i) pour obtenir

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}\tag{2b} \)

en soustrayant l’équation (2a) de (2b) la plupart des termes s’annulent et il nous reste

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

en retirant les termes semblables des deux côtés

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

en annulant les 1 à gauche puis en divisant par i, la valeur future d’une rente ordinaire, versée à la fin de chaque période, est

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} \)

Pour une annuité due, les paiements effectués au début de chaque période au lieu de la fin, donc les paiements sont maintenant 1 période plus loin de la FV. Nous devons augmenter la formule par 1 période de croissance des intérêts. Cela pourrait s’écrire comme suit :

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)} \)

mais en factorisant le (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Donc, en multipliant chaque paiement dans l’équation (2a), ou le côté droit de l’équation (2c), par le facteur (1 + i), on obtient l’équation de FV pour une annuité due. Cela peut être écrit plus généralement comme

Valeur future d’une annuité

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{2} \)

où T représente le type. (similaire aux formules Excel) Si les paiements sont en fin de période c’est une annuité ordinaire et on met T = 0. Si les paiements sont en début de période c’est une annuité due et on met T = 1.

Valeur future d’une annuité ordinaire

si T = 0, les paiements sont à la fin de chaque période et nous avons la formule de la valeur future d’une annuité ordinaire

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1} \)

Valeur future d’une annuité due

si T = 1, les paiements se font au début de chaque période et on a la formule de la valeur future d’une annuité due

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2}. \)

Dérivation de la formule de la valeur future de la rente croissante

Vous pouvez également calculer une rente croissante avec cette calculatrice de valeur future. Dans une annuité croissante, chaque valeur future résultante, après la première, augmente d’un facteur (1 + g) où g est le taux de croissance constant. En modifiant l’équation (2a) pour inclure la croissance, on obtient

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a} \)

Dans la formule (3a), les paiements sont effectués à la fin des périodes. Le premier terme du côté droit de l’équation, PMT(1+g)n-1, était le dernier paiement de la série effectué à la fin de la dernière période qui est au même moment que la valeur future. Lorsque nous multiplions par (1 + g) cette période, l’augmentation de la croissance est appliquée (n – 1) fois. Le dernier terme du côté droit de l’équation, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, est le premier paiement de la série effectué à la fin de la première période et la croissance n’est pas appliquée au premier PMT ou (n-n) fois.

Multiplier FV par (1+i)/(1+g) pour obtenir

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b} \N-)

En soustrayant l’équation (3a) de (3b), la plupart des termes s’annulent et il nous reste

\N( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

avec quelques manipulations algébriques, en multipliant les deux côtés par (1 + g), nous avons

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \N-

Tirer les termes similaires des deux côtés

\N( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n})) \N-)

en annulant les 1 de gauche puis en divisant par (i-g) on obtient finalement

Valeur future d’une rente croissante (g ≠ i)

\N( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

Similaire à l’équation (2), pour tenir compte du fait que nous avons une annuité croissante due ou une annuité ordinaire croissante, nous multiplions par le facteur (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3} \)

Valeur future d’une rente croissante (g = i)

Si g = i, nous pouvons remplacer g par i et vous remarquerez que si nous remplaçons les termes (1 + g) de l’équation (3a) par (1 + i), nous obtenons

\ FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \)

En combinant les termes nous avons

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

puisque nous avons maintenant n instances de PMT(1+i)n-1 nous pouvons réduire l’équation. Comptabilisant également une annuité due ou une annuité ordinaire, on multiplie par (1 + iT), et on obtient

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4} \)

Valeur future d’une perpétuité ou d’une perpétuité croissante (t → ∞)

Pour g < i, pour une perpétuité, une rente perpétuelle ou une perpétuité croissante, le nombre de périodes t va à l’infini donc n va à l’infini et, logiquement, la valeur future dans les équations (2), (3) et (4) va à l’infini donc aucune équation n’est fournie. La valeur future de toute perpétuité va à l’infini.

Formule de valeur future pour une somme de valeur future et un flux de trésorerie combinés (rente):

Nous pouvons combiner les équations (1) et (2) pour avoir une formule de valeur future qui comprend à la fois une somme forfaitaire de valeur future et une rente. Cette équation est comparable aux équations sous-jacentes de la valeur temporelle de l’argent dans Excel.

Valeur future

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{5} \)

Comme dans la formule (2.1) si T = 0, paiements à la fin de chaque période, on a la formule de la valeur future avec une annuité ordinaire

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Comme dans la formule (2.2) si T = 1, paiements au début de chaque période, on a la formule de la valeur future avec une annuité due

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Valeur future quand i = 0

Dans le cas où i = 0, g doit aussi être 0, et nous reprenons les équations (1) et (2a) pour voir que la formule de valeur future combinée peut se réduire à

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

.

Valeur future avec annuité croissante (g < i)

récrite à partir de la formule (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \)

Valeur future avec annuité croissante (g = i)

récrite à partir de la formule (4)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7}) \)

Note sur la capitalisation m, le temps t et le taux r

La formule (5) peut être développée pour tenir compte de la capitalisation.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

où n = mt et i = r/m. t est le nombre de périodes, m est l’intervalle de capitalisation par période et r est le taux par période t. (ceci est facilement compris lorsqu’il est appliqué avec t en années, r le taux nominal par année et m les intervalles de capitalisation par année) Lorsqu’il est écrit en termes de i et n, i est le taux par intervalle de capitalisation et n est le total des intervalles de capitalisation bien que cela puisse encore être énoncé comme « i est le taux par période et n est le nombre de périodes » où période = intervalle de capitalisation. « Période » est un terme général.

Relativement aux entrées de la calculatrice, r = R/100 et g = G/100. Si les fréquences de composition et de paiement ne coïncident pas dans ces calculs, r et g sont convertis en un taux équivalent pour coïncider avec les paiements puis n et i sont recalculés en fonction de la fréquence de paiement, q. La première partie de l’équation est la valeur future d’une somme actuelle et la seconde partie est la valeur future d’une rente.

Valeur future à perpétuité ou à perpétuité croissante (t → ∞ et n = mt → ∞)

Pour une perpétuité, une annuité perpétuelle, le nombre de périodes t va à l’infini donc n va à l’infini et, logiquement, la valeur future dans l’équation (5) va à l’infini donc aucune équation n’est fournie. La valeur future de toute perpétuité va à l’infini.

Compoundage continu (m → ∞)

Calcul de la valeur future avec un compoundage continu, en regardant à nouveau la formule (8) pour la valeur actuelle où m est le compoundage par période t, t est le nombre de périodes et r est le taux composé avec i = r/m et n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

Le taux effectif est ieff = ( 1 + ( r / m )m – 1 pour un taux r composé m fois par période. On peut prouver mathématiquement que lorsque m → ∞, le taux effectif de r à capitalisation continue atteint la limite supérieure égale à er – 1. En supprimant le m et en remplaçant r par le taux effectif de r, er – 1 :

la formule (5) ou (8) devient

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T)). \)

en éliminant les 1 lorsque cela est possible, nous obtenons la formule finale de la valeur future avec capitalisation continue

Valeur future avec capitalisation continue (m → ∞)

( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9}. \)

pour une rente ordinaire

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1} \)

pour une rente due

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2} \)

Valeur future d’une rente croissante (g ≠ i) et capitalisation continue (m → ∞)

On peut modifier l’équation (3a) pour la capitalisation continue, en remplaçant les i par er – 1 et on obtient :

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Multipliant (10a) par er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+…+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

En soustrayant (10a) de (10b), la plupart des termes s’annulent, laissant

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

multipliant par (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n}

En éliminant les termes semblables des deux côtés, puis en résolvant FV en divisant les deux côtés par (er – (1 + g)), nous avons

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n}) \)

En ajoutant le terme pour tenir compte du fait que nous avons une annuité croissante due ou une annuité ordinaire croissante, nous multiplions par le facteur (1 + (er-1)T).

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10} \)

Valeur future d’une rente croissante (g = i) et capitalisation continue (m → ∞)

En partant de l’équation (4) en remplaçant les i par er – 1 et en simplifiant, on obtient :

\ FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11}. \)

Exemple de calcul de la valeur future:

Un exemple que vous pouvez utiliser dans le calculateur de valeur future. Vous disposez d’une épargne de 15 000 $ et vous allez commencer à épargner 100 $ par mois sur un compte dont le rendement est de 1,5 % par an composé mensuellement. Vous effectuerez vos dépôts à la fin de chaque mois. Vous voulez connaître la valeur de votre investissement dans 10 ans ou, la valeur future de votre compte d’épargne.

  • 1 Période = 1 an
  • Valeur actuelle de l’investissement PV = 15 000
  • Nombre de périodes t = 10 (années)
  • Taux par période R = 1.5% (r = 0,015)
  • Compounding 12 fois par période (mensuel) m = 12
  • Taux de croissance par période G = 0
  • Montant du paiement PMT = 100,00
  • Paiements par période q = 12 (mensuel)

En utilisant l’équation (7) nous avons

.

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