Cadran solaire

Les cadrans solaires les plus couramment observés sont ceux dont le style de projection d’ombre est fixe en position et aligné avec l’axe de rotation de la Terre, étant orienté avec le Nord et le Sud réels, et faisant un angle avec l’horizontale égal à la latitude géographique. Cet axe est aligné avec les pôles célestes, qui sont étroitement, mais pas parfaitement, alignés avec l’étoile polaire Polaris. À titre d’illustration, l’axe céleste pointe verticalement au véritable pôle Nord, alors qu’il pointe horizontalement sur l’équateur. À Jaipur, où se trouve le plus grand cadran solaire du monde, les gnomons sont élevés à 26°55″ au-dessus de l’horizontale, reflétant la latitude locale.

Tout jour donné, le Soleil semble tourner uniformément autour de cet axe, à environ 15° par heure, faisant un circuit complet (360°) en 24 heures. Un gnomon linéaire aligné sur cet axe projette une feuille d’ombre (un demi-plan) qui, tombant à l’opposé du Soleil, tourne également autour de l’axe céleste à 15° par heure. L’ombre est vue en tombant sur une surface réceptrice généralement plate, mais qui peut être sphérique, cylindrique, conique ou d’autres formes. Si l’ombre tombe sur une surface symétrique par rapport à l’axe céleste (comme dans le cas d’une sphère armillaire ou d’un cadran équatorial), la surface-ombre se déplace également de manière uniforme ; les lignes horaires du cadran solaire sont également espacées. Cependant, si la surface réceptrice n’est pas symétrique (comme dans la plupart des cadrans solaires horizontaux), l’ombre de la surface se déplace généralement de manière non uniforme et les lignes horaires ne sont pas également espacées ; une exception est le cadran de Lambert décrit ci-dessous.

Certains types de cadrans solaires sont conçus avec un gnomon fixe qui n’est pas aligné avec les pôles célestes comme un obélisque vertical. De tels cadrans solaires sont traités ci-dessous dans la section « Cadrans solaires à base de nodus ».

Marquage empirique de la ligne des heuresEdit

Les formules présentées dans les paragraphes ci-dessous permettent de calculer les positions des lignes horaires pour différents types de cadrans solaires. Dans certains cas, les calculs sont simples, dans d’autres ils sont extrêmement compliqués. Il existe une autre méthode simple pour trouver les positions des lignes horaires qui peut être utilisée pour de nombreux types de cadrans et qui permet d’économiser beaucoup de travail dans les cas où les calculs sont complexes. Il s’agit d’une procédure empirique dans laquelle la position de l’ombre du gnomon d’un vrai cadran solaire est marquée à intervalles d’une heure. L’équation du temps doit être prise en compte pour s’assurer que les positions des lignes horaires sont indépendantes de la période de l’année où elles sont marquées. Pour ce faire, il suffit de régler une horloge ou une montre de manière à ce qu’elle indique « l’heure du cadran », c’est-à-dire l’heure normale, plus l’équation du temps du jour en question. Les lignes horaires du cadran solaire sont marquées pour montrer les positions de l’ombre du style lorsque cette horloge indique des nombres entiers d’heures, et sont étiquetées avec ces nombres d’heures. Par exemple, lorsque l’horloge indique 5:00, l’ombre du style est marquée et étiquetée « 5 » (ou « V » en chiffres romains). Si les lignes d’heures ne sont pas toutes marquées en un seul jour, l’horloge doit être ajustée tous les jours ou tous les deux jours pour tenir compte de la variation de l’équation du temps.

Cadrans solaires équatoriauxEdit

La caractéristique distinctive du cadran équatorial (également appelé cadran équinoxial) est la surface plane qui reçoit l’ombre, qui est exactement perpendiculaire au style du gnomon. Ce plan est appelé équatorial, car il est parallèle à l’équateur de la Terre et de la sphère céleste. Si le gnomon est fixe et aligné sur l’axe de rotation de la Terre, la rotation apparente du soleil autour de la Terre projette une feuille d’ombre en rotation uniforme à partir du gnomon ; cela produit une ligne d’ombre en rotation uniforme sur le plan équatorial. Comme le soleil tourne sur 360° en 24 heures, les lignes horaires d’un cadran équatorial sont toutes espacées de 15° (360/24).

H E = 15 ∘ × t (heures) . {\displaystyle H_{E}=15^{\circ }\times t{\text{ (hours)}}.}

L’uniformité de leur espacement rend ce type de cadran solaire facile à construire. Si le matériau de la plaque de cadran est opaque, les deux côtés du cadran équatorial doivent être marqués, car l’ombre sera projetée par le bas en hiver et par le haut en été. Avec des plaques de cadran translucides (par exemple en verre), les angles des heures ne doivent être marqués que sur le côté faisant face au soleil, bien que les numérotations des heures (si elles sont utilisées) doivent être faites sur les deux côtés du cadran, en raison du schéma des heures différent sur les côtés faisant face au soleil et faisant dos au soleil.

Un autre avantage majeur de ce cadran est que les corrections de l’équation du temps (EoT) et de l’heure d’été (DST) peuvent être faites en tournant simplement la plaque de cadran de l’angle approprié chaque jour. Cela est dû au fait que les angles des heures sont également espacés autour du cadran. Pour cette raison, un cadran équatorial est souvent un choix utile lorsque le cadran est destiné à être exposé au public et qu’il est souhaitable qu’il indique l’heure locale réelle avec une précision raisonnable. La correction de l’EoT se fait via la relation

Correction ∘ = EoT (minutes) + 60 × Δ DST (heures) 4 . {\displaystyle {\text{Correction}}^{\circ }={\frac {{\text{EoT (minutes)}}+60\times \Delta {\text{DST (heures)}}}{4}.}.}

A proximité des équinoxes de printemps et d’automne, le soleil se déplace sur un cercle qui est presque le même que le plan équatorial ; par conséquent, aucune ombre nette n’est produite sur le cadran équatorial à ces moments de l’année, un inconvénient de la conception.

Un nodus est parfois ajouté aux cadrans solaires équatoriaux, ce qui permet au cadran de dire l’heure de l’année. Pour un jour donné, l’ombre du nodus se déplace sur un cercle du plan équatorial, et le rayon du cercle mesure la déclinaison du soleil. Les extrémités de la barre du gnomon peuvent être utilisées comme nodus, ou un élément de sa longueur. Une variante ancienne du cadran solaire équatorial n’a qu’un nodus (pas de style) et les lignes horaires circulaires concentriques sont disposées pour ressembler à une toile d’araignée.

Cadrans solaires horizontauxEdit

Dans le cadran solaire horizontal (aussi appelé cadran solaire de jardin), le plan qui reçoit l’ombre est aligné horizontalement, plutôt que d’être perpendiculaire au style comme dans le cadran équatorial. Par conséquent, la ligne d’ombre ne tourne pas uniformément sur la face du cadran ; les lignes des heures sont plutôt espacées selon la règle.

tan H H = sin L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{H}=\sin L\tan(15^{\circ }\times t)}.

Ou en d’autres termes:

H H H = tan – 1 {\displaystyle \ H_{H}=\tan ^{-1}}

où L est la latitude géographique du cadran (et l’angle que fait le gnomon avec la plaque du cadran), H H {\displaystyle H_{H}} est l’angle entre une ligne horaire donnée et la ligne horaire de midi (qui pointe toujours vers le Nord vrai) sur le plan, et t est le nombre d’heures avant ou après midi. Par exemple, l’angle H H {\displaystyle H_{H}} de la ligne horaire de 15 heures est égal à l’arctangente de sin L, puisque tan 45° = 1. Lorsque L est égal à 90° (au pôle Nord), le cadran horizontal devient un cadran équatorial ; le style pointe droit vers le haut (verticalement) et le plan horizontal est aligné avec le plan équatorial ; la formule de la ligne horaire devient H H {\displaystyle H_{H}} = 15° × t, comme pour un cadran équatorial. Un cadran horizontal à l’équateur terrestre, où L est égal à 0°, nécessiterait un style horizontal (surélevé) et serait un exemple de cadran polaire (voir ci-dessous).

Les principaux avantages du cadran solaire horizontal sont qu’il est facile à lire et que la lumière du soleil éclaire la face tout au long de l’année. Toutes les lignes horaires se croisent au point où le style du gnomon croise le plan horizontal. Comme le style est aligné sur l’axe de rotation de la Terre, il pointe vers le Nord et son angle avec l’horizontale est égal à la latitude géographique L du cadran. Un cadran conçu pour une latitude donnée peut être adapté à une autre latitude en inclinant sa base vers le haut ou vers le bas d’un angle égal à la différence de latitude. Par exemple, un cadran solaire conçu pour une latitude de 40° peut être utilisé à une latitude de 45°, si le plan du cadran est incliné vers le haut de 5°, alignant ainsi le style avec l’axe de rotation de la Terre.

De nombreux cadrans solaires ornementaux sont conçus pour être utilisés à 45 degrés nord. Certains cadrans solaires de jardin produits en série ne parviennent pas à calculer correctement les lignes horaires et ne peuvent donc jamais être corrigés. Un fuseau horaire standard local a une largeur nominale de 15 degrés, mais peut être modifié pour suivre des frontières géographiques ou politiques. Un cadran solaire peut être tourné autour de son style (qui doit rester orienté vers le pôle céleste) pour s’adapter au fuseau horaire local. Dans la plupart des cas, une rotation comprise entre 7,5 degrés Est et 23 degrés Ouest suffit. Cela introduira une erreur dans les cadrans solaires qui n’ont pas des angles horaires égaux. Pour corriger l’heure d’été, un cadran a besoin de deux jeux de chiffres ou d’une table de correction. Une norme informelle consiste à utiliser des chiffres de couleur chaude pour l’été et de couleur froide pour l’hiver. Les angles des heures n’étant pas uniformément espacés, les corrections de l’équation du temps ne peuvent être effectuées en faisant tourner la plaque du cadran autour de l’axe du gnomon. Ces types de cadrans comportent généralement un tableau de correction de l’équation du temps gravé sur leur socle ou à proximité. Les cadrans horizontaux sont couramment vus dans les jardins, les cimetières et dans les lieux publics.

Cadrans solaires verticauxEdit

Dans le cadran vertical commun, le plan récepteur d’ombre est aligné verticalement ; comme d’habitude, le style du gnomon est aligné avec l’axe de rotation de la Terre. Comme dans le cadran horizontal, la ligne d’ombre ne se déplace pas uniformément sur la face ; le cadran n’est pas équiangulaire. Si la face du cadran vertical est orientée directement vers le sud, l’angle des lignes horaires est plutôt décrit par la formule

tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{V}=\cos L\tan(15^{\circ }\times t)}

où L est la latitude géographique du cadran, H V {\displaystyle H_{V}} est l’angle entre une ligne horaire donnée et la ligne horaire de midi (qui pointe toujours vers le nord) sur le plan, et t est le nombre d’heures avant ou après midi. Par exemple, l’angle H V {\displaystyle H_{V}} de la ligne horaire de 15 heures serait égal à l’arctangente de cos L, puisque tan 45° = 1. L’ombre se déplace dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sur un cadran vertical orienté vers le sud, alors qu’elle court dans le sens des aiguilles d’une montre sur les cadrans horizontaux et équatoriaux orientés vers le nord.

Les cadrans dont les faces sont perpendiculaires au sol et qui sont directement orientés vers le sud, le nord, l’est ou l’ouest sont appelés cadrans verticaux directs. On croit généralement, et on l’affirme dans des publications respectables, qu’un cadran vertical ne peut recevoir plus de douze heures de soleil par jour, quel que soit le nombre d’heures de jour. Il existe toutefois une exception. Les cadrans solaires verticaux des tropiques qui sont orientés vers le pôle le plus proche (par exemple, orientés vers le nord dans la zone située entre l’équateur et le tropique du Cancer) peuvent en fait recevoir la lumière du soleil pendant plus de 12 heures, du lever au coucher du soleil, pendant une courte période autour du solstice d’été. Par exemple, à la latitude 20 degrés Nord, le 21 juin, le soleil brille sur un mur vertical orienté vers le nord pendant 13 heures et 21 minutes. Les cadrans verticaux qui ne sont pas directement orientés vers le sud (dans l’hémisphère nord) peuvent recevoir beaucoup moins de douze heures de soleil par jour, selon la direction vers laquelle ils sont orientés et selon la période de l’année. Par exemple, un cadran vertical orienté vers l’est ne peut donner l’heure que le matin ; l’après-midi, le soleil ne brille pas sur sa face. Les cadrans verticaux orientés vers l’est ou l’ouest sont des cadrans polaires, qui seront décrits plus loin. Les cadrans verticaux orientés vers le nord sont rares, car ils ne donnent l’heure que pendant le printemps et l’été et n’indiquent pas les heures de midi, sauf sous les latitudes tropicales (et même là, seulement au milieu de l’été). Pour les cadrans verticaux non directs – ceux qui sont orientés dans des directions non cardinales – les mathématiques de la disposition du style et des lignes horaires deviennent plus compliquées ; il peut être plus facile de marquer les lignes horaires par observation, mais le placement du style, au moins, doit être calculé d’abord ; on dit que ces cadrans sont des cadrans déclinants.

Les cadrans verticaux sont couramment montés sur les murs des bâtiments, tels que les mairies, les coupoles et les clochers, où ils sont faciles à voir de loin. Dans certains cas, les cadrans verticaux sont placés sur les quatre côtés d’une tour rectangulaire, donnant l’heure tout au long de la journée. Le cadran peut être peint sur le mur ou incrusté dans la pierre ; le gnomon est souvent une barre métallique unique ou un trépied de barres métalliques pour la rigidité. Si le mur du bâtiment est orienté vers le sud, mais pas plein sud, le gnomon ne sera pas situé le long de la ligne de midi, et les lignes horaires doivent être corrigées. Comme le style du gnomon doit être parallèle à l’axe de la Terre, il « pointe » toujours vers le vrai Nord et son angle avec l’horizontale sera égal à la latitude géographique du cadran solaire ; sur un cadran orienté plein Sud, son angle avec la face verticale du cadran sera égal à la colatitude, ou 90° moins la latitude.

Cadrans polairesEdit

Dans les cadrans polaires, le plan récepteur de l’ombre est aligné parallèlement au style gnomon.Ainsi, l’ombre glisse latéralement sur la surface, se déplaçant perpendiculairement à elle-même lorsque le Soleil tourne autour du style. Comme pour le gnomon, les lignes horaires sont toutes alignées avec l’axe de rotation de la Terre. Lorsque les rayons du Soleil sont presque parallèles au plan, l’ombre se déplace très rapidement et les lignes des heures sont très espacées. Les cadrans orientés directement vers l’est et l’ouest sont des exemples de cadran polaire. Cependant, la face d’un cadran polaire ne doit pas nécessairement être verticale ; elle doit seulement être parallèle au gnomon. Ainsi, un plan incliné à l’angle de la latitude (par rapport à l’horizontale) sous le gnomon également incliné sera un cadran polaire. L’espacement perpendiculaire X des lignes horaires dans le plan est décrit par la formule

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle X=H\tan(15^{\circ }\times t)}.

où H est la hauteur du style au-dessus du plan, et t est le temps (en heures) avant ou après l’heure centrale pour le cadran polaire. L’heure centrale est l’heure à laquelle l’ombre du style tombe directement sur le plan ; pour un cadran orienté vers l’Est, l’heure centrale sera 6 heures du matin, pour un cadran orienté vers l’Ouest, ce sera 6 heures du soir, et pour le cadran incliné décrit ci-dessus, ce sera midi. Lorsque t s’éloigne de ±6 heures de l’heure centrale, l’espacement X diverge vers +∞ ; cela se produit lorsque les rayons du Soleil deviennent parallèles au plan.

Cadrans verticaux déclinantsEdit

Un cadran déclinant est tout cadran plan non horizontal qui n’est pas orienté dans une direction cardinale, comme le (vrai) Nord, le Sud, l’Est ou l’Ouest. Comme d’habitude, le style du gnomon est aligné avec l’axe de rotation de la Terre, mais les lignes horaires ne sont pas symétriques autour de la ligne horaire de midi. Pour un cadran vertical, l’angle H VD {\displaystyle H_{\text{VD}} entre la ligne des heures de midi et une autre ligne des heures est donné par la formule ci-dessous. Notez que H VD {\displaystyle H_{\text{VD}} est défini comme positif dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à l’angle vertical supérieur de l’heure ; et que sa conversion en heure solaire équivalente nécessite un examen attentif du quadrant du cadran auquel il appartient.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {\displaystyle \tan H_{\text{VD}}={\frac {\cos L}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin L\sin D}}} tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{\text{V}}=\cos L\tan(15^{\circ }\times t)}

Lorsqu’un cadran solaire n’est pas aligné sur une direction cardinale, le sous-type de son gnomon n’est pas aligné sur la ligne des heures de midi. L’angle B {\displaystyle B} entre le substyle et la ligne des heures de midi est donné par la formule

tan B = sin D cot L {\displaystyle \tan B=\sin D\cot L}.

La hauteur du gnomon, c’est-à-dire l’angle que fait le style avec la plaque, G {\displaystyle G}. est donnée par :

sin G = cos D cos L {\displaystyle \sin G=\cos D\cos L}

Cadrans inclinésEdit

Les cadrans solaires décrits ci-dessus ont des gnomons qui sont alignés avec l’axe de rotation de la Terre et projettent leur ombre sur un plan. Si le plan n’est ni vertical, ni horizontal, ni équatorial, on dit que le cadran solaire est couché ou incliné. Un tel cadran peut être placé sur un toit orienté au sud, par exemple. Les lignes horaires d’un tel cadran peuvent être calculées en corrigeant légèrement la formule horizontale ci-dessus

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\cos(L+R)\tan(15^{\circ }\times t)}

où R {\displaystyle R} est l’angle d’inclinaison souhaité par rapport à la verticale locale, L est la latitude géographique du cadran, H R V {\displaystyle H_{RV}} est l’angle entre une ligne horaire donnée et la ligne horaire de midi (qui pointe toujours vers le nord) sur le plan, et t est le nombre d’heures avant ou après midi. Par exemple, l’angle H R V {\displaystyle H_{RV}} de la ligne horaire de 15 heures est égal à l’arctangente de cos(L + R), puisque tan 45° = 1. Lorsque R est égal à 0° (autrement dit, un cadran vertical orienté vers le Sud), on obtient la formule du cadran vertical ci-dessus.

Certains auteurs utilisent une nomenclature plus spécifique pour décrire l’orientation du plan récepteur d’ombre. Si la face du plan est orientée vers le bas en direction du sol, on dit qu’il est procliné ou incliné, alors qu’un cadran est dit incliné lorsque la face du cadran est orientée à l’opposé du sol. De nombreux auteurs désignent également souvent les cadrans inclinés, proclinés et inclinés en général comme des cadrans inclinés. Il est également courant dans ce dernier cas de mesurer l’angle d’inclinaison par rapport au plan horizontal du côté soleil du cadran.Dans ces textes, puisque I = 90° + R, on verra souvent la formule de l’angle horaire s’écrire :

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\sin(L+I)\tan(15^{\circ }\times t)}.

L’angle entre le style gnomon et la plaque du cadran, B, dans ce type de cadran solaire est :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {\displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}

Or :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {\displaystyle B=180^{\circ }-(L+I)}

Cadrans déclinants-inclinés/ Cadrans déclinants-inclinésEdit

Certains cadrans solaires sont à la fois déclinants et inclinés, en ce sens que leur plan de réception de l’ombre n’est pas orienté avec une direction cardinale (comme le nord vrai ou le sud vrai) et n’est ni horizontal ni vertical ni équatorial. Par exemple, un tel cadran solaire pourrait être trouvé sur un toit qui n’était pas orienté dans une direction cardinale.

Les formules décrivant l’espacement des lignes horaires sur de tels cadrans sont plutôt plus compliquées que celles des cadrans plus simples.

Il existe diverses approches de solution, dont certaines utilisent les méthodes des matrices de rotation, et d’autres font un modèle 3D du plan incliné-décliné et de son contre-plan vertical décliné, en extrayant les relations géométriques entre les composantes de l’angle horaire sur ces deux plans, puis en réduisant l’algèbre trigonométrique.

Un système de formules pour les cadrans solaires inclinés-déclinés : (comme indiqué par Fennewick)

L’angle H RD {\displaystyle H_{\text{RD}} entre la ligne des heures de midi et une autre ligne des heures est donné par la formule ci-dessous. Notez que H RD {\displaystyle H_{\text{RD}} avance dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à l’angle de l’heure zéro pour les cadrans qui sont partiellement orientés vers le sud et dans le sens des aiguilles d’une montre pour ceux qui sont orientés vers le nord.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\cos R\cos L-\sin R\sin L\cos D-s_{o}\sin R\sin D\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\sin L}}

dans les plages de paramètres : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} et – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {\displaystyle -90^{\circ }<R<(90^{\circ }-L)} .

tan H RD = sin I cos L + cos I sin L cos D + s o cos I sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\sin I\cos L+\cos I\sin L\cos D+s_{o}\cos I\sin D\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\sin L}}

dans les plages de paramètres : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} et 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {\displaystyle 0^{\circ }<I<(180^{\circ }-L)} .

Dans ce cas, L {\displaystyle L} est la latitude géographique du cadran solaire ; s o {\displaystyle s_{o}} est le nombre entier du commutateur d’orientation ; t est l’heure en heures avant ou après midi ; et R {\displaystyle R} et D {\displaystyle D} sont les angles d’inclinaison et de déclinaison, respectivement.Notez que R {\displaystyle R} est mesuré par rapport à la verticale. Il est positif lorsque le cadran est incliné vers l’arrière en direction de l’horizon derrière le cadran et négatif lorsque le cadran est incliné vers l’avant en direction de l’horizon du côté du Soleil. L’angle de déclinaison D {\displaystyle D} est défini comme positif lorsque l’on se déplace à l’est du sud vrai. Les cadrans orientés entièrement ou partiellement vers le sud ont une valeur s o {\displaystyle s_{o}} = +1, tandis que ceux orientés partiellement ou entièrement vers le nord ont une valeur s o {\displaystyle s_{o}} de -1.Comme l’expression ci-dessus donne l’angle horaire sous la forme d’une fonction arctan, il faut tenir compte du quadrant du cadran auquel appartient chaque heure avant d’attribuer l’angle horaire correct.

Contrairement au cadran vertical déclinant plus simple, ce type de cadran n’indique pas toujours les angles horaires sur sa face côté soleil pour toutes les déclinaisons entre l’est et l’ouest. Lorsqu’un cadran de l’hémisphère nord partiellement orienté vers le sud s’incline vers l’arrière (c’est-à-dire en s’éloignant du Soleil) par rapport à la verticale, le gnomon devient coplanaire avec la plaque du cadran pour les déclinaisons inférieures à plein est ou plein ouest. Il en va de même pour les cadrans de l’hémisphère sud qui sont partiellement orientés vers le nord. Si ces cadrans étaient inclinés vers l’avant, la plage de déclinaison dépasserait en fait les valeurs de plein est et plein ouest. De la même manière, les cadrans de l’hémisphère nord qui sont partiellement orientés vers le nord et les cadrans de l’hémisphère sud qui sont orientés vers le sud, et qui s’inclinent vers l’avant avec leurs gnomons pointant vers le haut, auront une restriction similaire sur la plage de déclinaison possible pour une valeur d’inclinaison donnée.La déclinaison critique D c {\displaystyle D_{c}} est une contrainte géométrique qui dépend de la valeur de l’inclinaison du cadran et de sa latitude :

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {\displaystyle \cos D_{c}=\tan R\tan L=-\tan L\cot I}

Comme pour le cadran vertical décliné, le substyle du gnomon n’est pas aligné avec la ligne des heures de midi. La formule générale de l’angle B {\displaystyle B} , entre le substyle et la ligne de midi est donnée par :

tan B = sin D sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\displaystyle \tan B={\frac {\sin D}{\sin R\cos D+\cos R\tan L}}={\frac {\sin D}{\cos I\cos D-\sin I\tan L}}}

L’angle G {\displaystyle G} entre le style et la plaque est donné par :

sin G = cos L cos D cos R – sin L sin R = – cos L cos D sin I + sin L cos I {\displaystyle \sin G=\cos L\cos D\cos R-\sin L\sin R=-\cos L\cos D\sin I+\sin L\cos I}

Notez que pour G = 0 ∘ {\displaystyle G=0^{\circ }} c’est-à-dire lorsque le gnomon est coplanaire avec la plaque du cadran, on a :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {\displaystyle \cos D=\tan L\tan R=-\tan L\cot I}

i.e. quand D = D c {\displaystyle D=D_{c}} , la valeur de déclinaison critique.

Méthode empiriqueEdit

En raison de la complexité des calculs ci-dessus, leur utilisation dans le but pratique de concevoir un cadran de ce type est difficile et sujette à erreur. Il a été suggéré qu’il est préférable de localiser les lignes horaires de manière empirique, en marquant les positions de l’ombre d’un style sur un vrai cadran solaire à des intervalles horaires comme indiqué par une horloge et en ajoutant/déduisant l’ajustement de l’équation du temps de ce jour. Voir le marquage empirique des lignes horaires, ci-dessus.

Cadrans solaires sphériquesEdit

La surface recevant l’ombre n’est pas nécessairement plane, mais peut avoir n’importe quelle forme, à condition que le fabricant du cadran solaire veuille bien marquer les lignes des heures. Si le style est aligné avec l’axe de rotation de la Terre, une forme sphérique convient puisque les lignes horaires sont également espacées, comme sur le cadran équatorial ci-dessus ; le cadran solaire est équiangulaire. C’est le principe de la sphère armillaire et du cadran à arc équatorial. Cependant, certains cadrans solaires équiangulaires – comme le cadran de Lambert décrit ci-dessous – sont basés sur d’autres principes.

Dans le cadran solaire à arc équatorial, le gnomon est une barre, une fente ou un fil tendu parallèle à l’axe céleste. La face est un demi-cercle, correspondant à l’équateur de la sphère, avec des marques sur la surface intérieure. Ce motif, construit sur quelques mètres de large à partir d’acier invar à température invariable, a été utilisé pour maintenir les trains à l’heure en France avant la Première Guerre mondiale.

Parmi les cadrans solaires les plus précis jamais réalisés, on trouve deux arcs équatoriaux construits en marbre découverts dans le Yantra mandir. Cette collection de cadrans solaires et d’autres instruments astronomiques a été construite par le Maharaja Jai Singh II dans sa nouvelle capitale de Jaipur, en Inde, entre 1727 et 1733. Le plus grand arc équatorial est appelé le Samrat Yantra (l’instrument suprême) ; se dressant à 27 mètres, son ombre se déplace visiblement à 1 mm par seconde, soit environ une largeur de main (6 cm) toutes les minutes.

Cadrans solaires cylindriques, coniques et autres non planesEdit

D’autres surfaces non planes peuvent être utilisées pour recevoir l’ombre du gnomon.

Comme alternative élégante, le style (qui pourrait être créé par un trou ou une fente dans la circonférence) peut être situé sur la circonférence d’un cylindre ou d’une sphère, plutôt que sur son axe central de symétrie.

Dans ce cas, les lignes horaires sont à nouveau espacées de manière égale, mais à deux fois l’angle habituel, en raison du théorème de l’angle inscrit géométrique. C’est la base de certains cadrans solaires modernes, mais elle était également utilisée dans l’Antiquité;

Dans une autre variation du cylindrique aligné sur l’axe polaire, un cadran cylindrique pourrait être rendu comme une surface en forme de ruban hélicoïdal, avec un gnomon mince situé soit le long de son centre, soit à sa périphérie.