La construction de base de cette section est le produit scalaire, qui mesure les angles entre les vecteurs et calcule la longueur d’un vecteur.
Définition
Le produit scalaire de deux vecteurs x,y dans Rn est
En pensant que x,y sont des vecteurs colonnes, cela revient à xTy.
Par exemple,
Notez que le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.
Vous pouvez faire de l’arithmétique avec des produits scalaires presque comme d’habitude, tant que vous vous rappelez que vous ne pouvez que faire le point de deux vecteurs ensemble, et que le résultat est un scalaire.
Propriétés du produit scalaire
Détendez x,y,z des vecteurs dans Rn et laissez c être un scalaire.
- Commutativité : x-y=y-x.
- Distributivité avec addition : (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivité avec la multiplication scalaire : (cx)-y=c(x-y).
Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est un cas particulier important :
Par conséquent, pour tout vecteur x, on a :
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Cela conduit à une bonne définition de la longueur.
Fait
La longueur d’un vecteur x dans Rn est le nombre
Il est facile de voir pourquoi ceci est vrai pour les vecteurs dans R2, par le théorème de Pythagore.
Pour les vecteurs dans R3, on peut vérifier que AxA est vraiment la longueur de x, bien que maintenant cela nécessite deux applications du théorème de Pythagore.
Notez que la longueur d’un vecteur est la longueur de la flèche ; si nous pensons en termes de points, alors la longueur est sa distance à l’origine.
Fact
Si x est un vecteur et c un scalaire, alors AcxA=|c|-AxA.
Cela dit que la mise à l’échelle d’un vecteur par c met à l’échelle sa longueur par |c|. Par exemple,
Maintenant que nous avons une bonne notion de longueur, nous pouvons définir la distance entre des points dans Rn. Rappelons que la différence entre deux points x,y est naturellement un vecteur, à savoir le vecteur y-x pointant de x à y.
Définition
La distance entre deux points x,y dans Rn est la longueur du vecteur de x à y:
Les vecteurs de longueur 1 sont très courants dans les applications, nous leur donnons donc un nom.
Définition
Un vecteur unitaire est un vecteur x de longueur AxA=Bx-x=1.
Les vecteurs de coordonnées standard e1,e2,e3,…. sont des vecteurs unitaires:
Pour tout vecteur x non nul, il existe un vecteur unitaire unique pointant dans la même direction. On l’obtient en divisant par la longueur de x.
Fact
Disons que x est un vecteur non nul dans Rn. Le vecteur unitaire dans la direction de x est le vecteur x/AxA.
C’est en fait un vecteur unitaire (en notant que AxA est un nombre positif, donc CC1/AxACC=1/AxA):