Kalkulator wartości przyszłej

Posted on

Użycie kalkulatora

Wzór na wartość przyszłą to FV=PV(1+i)n, gdzie wartość obecna PV wzrasta dla każdego okresu w przyszłości o współczynnik 1 + i.

Kalkulator wartości przyszłej wykorzystuje wiele zmiennych w obliczeniach FV:

  • Suma wartości bieżącej
  • Liczba okresów czasowych, zwykle lat
  • Stopa procentowa
  • Częstotliwość składnia
  • Płatności przepływów pieniężnych
  • Renty rosnące i perpetuity

Przyszła wartość sumy pieniędzy to wartość bieżącej sumy w przyszłej dacie.

Możesz użyć tego kalkulatora wartości przyszłej, aby określić, ile Twoja inwestycja będzie warta w pewnym momencie w przyszłości ze względu na skumulowane odsetki i potencjalne przepływy pieniężne.

Możesz wprowadzić 0 dla każdej zmiennej, którą chcesz wykluczyć podczas korzystania z tego kalkulatora. Nasze inne kalkulatory wartości przyszłej zapewniają opcje dla bardziej szczegółowych obliczeń wartości przyszłej.

What’s in the Future Value Calculation

Kalkulator wartości przyszłej używa następujących zmiennych, aby znaleźć przyszłą wartość FV obecnej sumy plus odsetki i płatności przepływów pieniężnych:

Present Value PV Present value of a sum of money Number of time periods t – Time periods is typically a number of years
– Upewnij się, że wszystkie twoje dane wejściowe używają tej samej jednostki okresu czasu (lata, miesiące, itp.)
– Wprowadź p lub perpetuity dla renty wieczystej Stopa procentowa R Nominalna stopa procentowa lub podana stopa procentowa, Wprowadź 1 dla rocznego okresu składowego, który jest raz w roku
– Wprowadź 4 dla kwartalnego okresu składowego
– Wprowadź 12 dla miesięcznego okresu składowego
– Wprowadź 365 dla dziennego okresu składowego
– Wprowadź c lub continuous dla ciągłego okresu składowego PMT Kwota płatności w każdym okresie Stopa wzrostu G Stopa wzrostu płatności renty na okres wprowadzona jako procent Liczba płatności q na okres – Częstotliwość płatności
– Wprowadź 1 dla rocznych płatności Wprowadź 1 dla płatności rocznych
– Wprowadź 4 dla płatności kwartalnych
– Wprowadź 12 dla płatności miesięcznych
– Wprowadź 365 dla płatności dziennych Kiedy następują płatności renty T – Wybierz koniec, co jest zwykłą rentą z płatnościami otrzymywanymi na koniec okresu
– Wybierz początek gdy płatności są należne na początku okresu Wartość przyszła FV Wynikiem obliczeń FV jest przyszła wartość dowolnej sumy wartości bieżącej powiększonej o odsetki i przyszłe przepływy pieniężne lub płatności rentowe

Poniższe sekcje pokazują, jak matematycznie wyprowadzić wzory na wartość przyszłą. Lista przedstawionych tu wzorów znajduje się na stronie Wzory na wartość przyszłą.

Wyznaczanie wzorów na wartość przyszłą

Wartość przyszła (FV) sumy wartości bieżącej (PV), która akumuluje odsetki według stopy i przez jeden okres czasu, jest wartością bieżącą plus odsetki uzyskane od tej sumy. Równanie matematyczne stosowane w kalkulatorze wartości przyszłej to

( FV=PV+PVi \)

lub

( FV=PV(1+i) \)

Dla każdego okresu w przyszłości skumulowana wartość wzrasta o dodatkowy czynnik (1 + i). Dlatego przyszła wartość skumulowana w ciągu, powiedzmy, 3 okresów jest dana przez

( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \)

albo ogólnie

( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}tag{1a}

i podobnie możemy rozwiązać dla PV, aby otrzymać

( PV_{n}=PV_{n}}{(1+i)^{n}\tag{1b} \Równania, które mamy, to (1a) przyszła wartość obecnej sumy i (1b) obecna wartość przyszłej sumy przy okresowej stopie procentowej i, gdzie n jest liczbą okresów w przyszłości. Zwykle równanie to stosuje się z okresami oznaczającymi lata, ale mniej restrykcyjne jest myślenie w szerszych kategoriach okresów. Odrzucając indeksy z (1b) mamy:

Przyszła wartość sumy teraźniejszej

( FV=PV(1+i)^{n} ^tag{1}

Future Value Annuity Formula Derivation

Renta jest sumą pieniędzy wypłacaną okresowo, (w regularnych odstępach czasu). Załóżmy, że mamy serię równych wartości bieżących, które będziemy nazywać płatnościami (PMT) i są wypłacane raz na okres przez n okresów przy stałej stopie procentowej i. Kalkulator wartości przyszłej obliczy FV serii płatności od 1 do n przy użyciu wzoru (1), aby zsumować poszczególne wartości przyszłe.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a}

We wzorze (2a) płatności są dokonywane na koniec okresów. Pierwszy człon po prawej stronie równania, PMT, jest ostatnią płatnością serii dokonaną na koniec ostatniego okresu, który jest w tym samym czasie co wartość przyszła. W związku z tym od tej płatności nie nalicza się odsetek. Ostatni człon po prawej stronie równania, PMT(1+i)n-1, jest pierwszą płatnością z serii dokonaną na koniec pierwszego okresu, który jest tylko n-1 okresów od czasu naszej przyszłej wartości.

mnożymy obie strony tego równania przez (1 + i), aby otrzymać

( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}}.

odejmując równanie (2a) od (2b) większość wyrażeń się anuluje i zostaje nam

( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

wyciągając podobne wyrażenia po obu stronach

( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

anulując 1 po lewej stronie, a następnie dzieląc przez i, przyszła wartość zwykłej renty, płatności dokonywane na koniec każdego okresu, wynosi

( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} \W przypadku renty dożywotniej płatności dokonywane są na początku każdego okresu, a nie na końcu, dlatego płatności są teraz o 1 okres dalej od FV. Musimy zwiększyć formułę o 1 okres wzrostu odsetek. Można to zapisać jako

( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)} \)

ale pomnożenie (1 + i)

( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Tak więc pomnożenie każdej płatności w równaniu (2a) lub prawej strony równania (2c) przez czynnik (1 + i) da nam równanie FV dla należnej renty rocznej. Można to zapisać bardziej ogólnie jako

Future Value of an Annuity

( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)^n-1)(1+iT)^tag{2}

gdzie T reprezentuje typ. (podobnie jak w formułach Excela) Jeśli płatności są na koniec okresu, jest to zwykła renta roczna i ustawiamy T = 0. Jeśli płatności są na początku okresu, jest to renta roczna należna i ustawiamy T = 1.

Future Value of an Ordinary Annuity

jeżeli T = 0, płatności są na koniec każdego okresu i mamy wzór na przyszłą wartość renty zwykłej

( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1}

Future Value of an Annuity Due

jeśli T = 1, płatności są na początku każdego okresu i mamy wzór na przyszłą wartość należnej renty

( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2}

Future Value Growing Annuity Formula Derivation

Możesz również obliczyć rosnącą rentę za pomocą tego kalkulatora wartości przyszłej. W rosnącej rencie każda wynikowa wartość przyszła, po pierwszej, wzrasta o czynnik (1 + g), gdzie g jest stałą stopą wzrostu. Modyfikując równanie (2a), aby uwzględnić wzrost, otrzymujemy

( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}}tag{3a}

We wzorze (3a) płatności są dokonywane na koniec okresów. Pierwszy człon po prawej stronie równania, PMT(1+g)n-1, to ostatnia płatność z serii dokonana na koniec ostatniego okresu, czyli w tym samym czasie co wartość przyszła. Po przemnożeniu przez (1 + g) okres ten ma zastosowany przyrost wzrostu (n – 1) razy. Ostatni człon po prawej stronie równania, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, jest pierwszą płatnością serii dokonaną na koniec pierwszego okresu i wzrost nie jest stosowany do pierwszego PMT lub (n-n) razy.

Mnożymy FV przez (1+i)/(1+g), aby otrzymać

( FV = FVdfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1} \)

odejmując równanie (3a) od (3b) większość wyrażeń się anuluje i zostaje nam

( FVdfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

przy pewnej manipulacji algebraicznej, mnożąc obie strony przez (1 + g) mamy

( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n}

wyciągając podobne wyrażenia po obu stronach

( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n})

anulując jedynki po lewej stronie, a następnie dzieląc przez (i-g) otrzymujemy

Future Value of a Growing Annuity (g ≠ i)

FV=dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})

Podobnie jak w równaniu (2), aby uwzględnić to, czy mamy rosnącą rentę należną czy rosnącą rentę zwykłą, mnożymy przez współczynnik (1 + iT)

( FV=dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3}

Future Value of a Growing Annuity (g = i)

Jeśli g = i możemy zastąpić g przez i i zauważymy, że jeśli zastąpimy (1 + g) terminy w równaniu (3a) przez (1 + i) otrzymamy

( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n}

łącząc pojęcia mamy

( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

ponieważ mamy teraz n przypadków PMT(1+i)n-1 możemy zredukować równanie. Uwzględniając również rentę należną lub zwykłą, mnożymy przez (1 + iT) i otrzymujemy

( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)^tag{4}

Future Value of a Perpetuity or Growing Perpetuity (t → ∞)

Dla g < i, dla perpetuity, perpetuity annuity lub perpetuity rosnącej, liczba okresów t zmierza do nieskończoności, zatem n zmierza do nieskończoności i, logicznie rzecz biorąc, wartość przyszła w równaniach (2), (3) i (4) zmierza do nieskończoności, więc nie podajemy żadnych równań. Wartość przyszła każdego perpetuity zmierza do nieskończoności.

Future Value Formula for Combined Future Value Sum and Cash Flow (Annuity):

Możemy połączyć równania (1) i (2), aby mieć formułę wartości przyszłej, która zawiera zarówno ryczałt wartości przyszłej, jak i rentę. Równanie to jest porównywalne z podstawowymi równaniami wartości pieniądza w czasie w programie Excel.

Wartość przyszła

( FV=PV(1+i)^{n}+dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)^n-1)(1+iT)^tag{5}

Jak we wzorze (2.1), jeśli T = 0, płatności na koniec każdego okresu, mamy wzór na wartość przyszłą ze zwykłą rentą

( FV=PV(1+i)^{n}+dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Jak we wzorze (2.2), jeśli T = 1, płatności na początku każdego okresu, mamy wzór na wartość przyszłą z należną rentą

( FV=PV(1+i)^{n}+dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Wartość przyszła, gdy i = 0

W przypadku, gdy i = 0, g również musi wynosić 0, i patrzymy z powrotem na równania (1) i (2a), aby zobaczyć, że połączona formuła wartości przyszłej może być zredukowana do

( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

.

Future Value with Growing Annuity (g < i)

odpisany ze wzoru (3)

( FV=PV(1+i)^{n}+dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6}

Future Value with Growing Annuity (g = i)

przepisane ze wzoru (4)

( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7}

Uwaga o składaniu m, czasie t, i stopie r

Wzór (5) można rozszerzyć, aby uwzględnić składanie.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8}

gdzie n = mt i i = r/m. t jest liczbą okresów, m jest interwałami składanymi w okresie, a r jest stopą na okres t. (jest to łatwo zrozumiałe, gdy stosuje się t w latach, r nominalną stopą na rok i m interwałami składanymi na rok) Kiedy zapisane w kategoriach i i n, i jest stopą na interwał składany, a n jest całkowitymi interwałami składanymi, chociaż nadal można to określić jako „i jest stopą na okres, a n jest liczbą okresów”, gdzie okres = interwał składany. „Okres” jest szerokim pojęciem.

Odnosząc się do danych wejściowych kalkulatora, r = R/100 i g = G/100. Jeśli częstotliwości składania i płatności nie pokrywają się w tych obliczeniach, r i g są przekształcane na równoważną stopę, aby zbiegały się z płatnościami, a następnie n oraz i są ponownie obliczane pod względem częstotliwości płatności, q. Pierwsza część równania to przyszła wartość obecnej sumy, a druga część to przyszła wartość renty.

Wartość przyszła w przypadku bezterminowości lub rosnącej renty bezterminowej (t → ∞ i n = mt → ∞)

W przypadku bezterminowości, renty bezterminowej, liczba okresów t zmierza do nieskończoności, zatem n zmierza do nieskończoności i, logicznie rzecz biorąc, wartość przyszła w równaniu (5) zmierza do nieskończoności, więc nie podaje się równań. Wartość przyszła każdego perpetuity zmierza do nieskończoności.

Składanie ciągłe (m → ∞)

Obliczanie wartości przyszłej z ciągłym składaniem, ponownie patrząc na wzór (8) dla wartości bieżącej, gdzie m jest składaniem na okres t, t jest liczbą okresów, a r jest stopą składaną z i = r/m i n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

Stopa efektywna wynosi ieff = ( 1 + ( r / m )m – 1 dla stopy r składanej m razy na okres. Można udowodnić matematycznie, że gdy m → ∞, efektywna stopa r przy ciągłym składaniu osiąga górną granicę równą er – 1. Usuwając m i zmieniając r na efektywną stopę r, er – 1:

formuła (5) lub (8) staje się

( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T)

odrzucając 1 tam, gdzie to możliwe, otrzymujemy ostateczny wzór na wartość przyszłą z ciągłym składaniem

Future Value with Continuous Compounding (m → ∞)

( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9} \)

dla zwykłej renty dożywotniej

( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1} \)

dla renty należnej

( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2}

Future Value of a Growing Annuity (g ≠ i) and Continuous Compounding (m → ∞)

Możemy zmodyfikować równanie (3a) dla ciągłej składki, zastępując i’s przez er – 1 i otrzymujemy:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Mnożąc (10a) przez er/(1+g)

( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+….+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

odejmując (10a) od (10b) większość wyrażeń anuluje się, pozostawiając

( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

multiplikacja przez (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n} \Po odjęciu podobnych wyrażeń po obu stronach i rozwiązaniu FV poprzez podzielenie obu stron przez (er – (1 + g)) mamy

( FV=dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})

Dodając termin uwzględniający to, czy mamy rosnącą rentę należną czy rosnącą rentę zwykłą, mnożymy przez współczynnik (1 + (er-1)T)

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10}

Future Value of a Growing Annuity (g = i) and Continuous Compounding (m → ∞)

Zaczynając od równania (4) zastępując i’s przez er – 1 i upraszczając otrzymujemy:

( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11}

Przykładowe obliczenia wartości przyszłej:

Przykład, który możesz wykorzystać w kalkulatorze wartości przyszłej. Masz 15 000 $ oszczędności i zaczniesz oszczędzać 100 $ miesięcznie na koncie, które przynosi 1,5% rocznie składane co miesiąc. Będziesz robić swoje depozyty na koniec każdego miesiąca. Chcesz znać wartość swojej inwestycji za 10 lat lub przyszłą wartość swojego konta oszczędnościowego.

  • 1 Okres = 1 Rok
  • Present Value Investment PV = 15,000
  • Number of Periods t = 10 (years)
  • Rate per period R = 1.5% (r = 0.015)
  • Komponowanie 12 razy na okres (miesięcznie) m = 12
  • Stopa wzrostu na okres G = 0
  • Kwota płatności PMT = 100.00
  • Płatności na okres q = 12 (miesięcznie)

Korzystając z równania (7) mamy

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.