W moim poprzednim poście o pływającym Saturnie, zasugerowałem, że mógłbym napisać o metodach, których możemy użyć do znalezienia gęstości Saturna. Aha, i jeszcze raz, gęstość Saturna jest mniejsza niż gęstość wody na Ziemi – ale nie unosiłby się na wodzie.
Przypominam, że gęstość definiujemy jako:
To oznacza, że tak naprawdę musimy określić dwie rzeczy. Po pierwsze, potrzebujemy masy Saturna. Po drugie, potrzebujemy jego objętości. Możemy uzyskać objętość, jeśli znamy promień Saturna.
Objętość
Technicznie rzecz biorąc, Saturn nie jest idealnie kulisty. Odległość od środka do równika jest większa niż odległość od środka do bieguna. Dzieje się tak dlatego, że Saturn wiruje i nie jest sztywnym obiektem. Pomyśl o wirującym cieście na pizzę – to samo, tyle że to jest Saturn. W rzeczywistości można zmierzyć zarówno promień biegunowy, jak i równikowy, używając tej samej idei – ale będę udawał, że Saturn jest kulą.
Jeśli jest to kula, to objętość wynosiłaby:
Ale jak uzyskać promień (lub średnicę). Pierwszym krokiem jest spojrzenie na rozmiar kątowy. Jeśli znasz rozmiar kątowy obiektu i odległość do tego obiektu, możesz znaleźć rozmiar. Oto obrazek, którego używałem kilka razy, który pokazuje tę zależność.
Tak więc, jeśli obiekt jest wystarczająco daleko lub wystarczająco mały, wtedy wysokość (lub długość) będzie w przybliżeniu długością łuku okręgu o promieniu takim samym jak odległość. Rozmiar obiektu będzie po prostu rozmiar kątowy pomnożony przez odległość obiektu.
Ale jak nawet mierzysz rozmiar kątowy? Cóż, jeśli masz obraz musisz znać kątowe pole widzenia dla twojego aparatu – zrobiłem to eksperymentalnie z iPhonem. W czasach przed kamerami, można było po prostu użyć teleskopu. Nie jest zbyt trudno zmierzyć wielkość kątową za pomocą obiektywu. Musisz tylko określić kątowe pole widzenia obiektywu, a następnie umieścić na nim jakieś oznaczenia, abyś mógł oszacować ułamek pola dla rozmiaru kątowego obiektu.
To jest świetne, ale zależy od czegoś dość ważnego. Jak daleko jest Saturn? W tym miejscu do akcji wkracza Johannes Kepler. Wykorzystując dostępne dane, Kepler wymyślił trzy modele ruchu obiektów w Układzie Słonecznym.
- Ścieżka obiektu w Układzie Słonecznym to elipsa ze Słońcem w punkcie centralnym.
- Jak obiekt zbliża się do Słońca, porusza się szybciej. Kepler poszedł jeszcze dalej i powiedział, że dla danego przedziału czasu, obiekt wymiecie ten sam obszar bez względu na to, gdzie był na swojej orbicie.
- Okres orbitalny jest związany z odległością orbitalną (oś półmajora). W rzeczywistości, kwadrat okresu jest proporcjonalny (ale nie równy) do sześcianu osi półmajora.
Prawa Keplera dotyczące ruchu planet nie są nową fizyką. Jeśli chcesz, możesz uzyskać ten sam zestaw praw używając zasady zachowania pędu i siły grawitacji, która jest proporcjonalna do jednego na odległość podniesioną do kwadratu. Jednak prawa te działają i to właśnie ostatnie prawo jest tutaj przydatne. Jeśli znam okres orbitalny Saturna i Ziemi, to mogę napisać:
T jest wspólnym symbolem fizyki dla okresu, a jednostki czasu nie mają znaczenia. Stała proporcjonalności, k, anuluje się, gdy dzielę jedno równanie przez drugie. W końcu mam wyrażenie dla półosi głównej dla Saturna. Gdyby Saturn był na orbicie kołowej, byłby to promień i odległość do Słońca. Ah ha! Ale tak naprawdę nie mam odległości od Ziemi do Saturna. Mogę uzyskać odległość do Saturna w postaci odległości od Słońca do Ziemi. Aby ułatwić sprawę, odległość Ziemia-Słońce nazywamy 1 jednostką astronomiczną (AU). To świetnie, ale gdybym użył tej jednostki (AU) do określenia rozmiarów Saturna, otrzymałbym gęstość w jakichś dziwnych jednostkach – kg/AU3. Aby porównać gęstość Saturna do wody, potrzebujemy odległości w czymś użytecznym – jak metry czy może metry.
Jak znaleźć wartość 1 AU w metrach? Jest kilka sposobów. Jednym ze sposobów na znalezienie tej odległości jest sposób grecki. Tak, greccy astronomowie zrobili to gdzieś około 500 r. p.n.e. Tutaj jest krótka wersja tego, jak to zrobili:
- Użyj cieni w różnych miejscach na Ziemi, aby określić promień Ziemi.
- Załóż, że księżyc porusza się po okręgu wokół Ziemi. Wyznacz różnicę między obliczonym położeniem (na podstawie środka Ziemi) a rzeczywistym położeniem (mierzonym od powierzchni), aby określić odległość (i wielkość) Księżyca.
- Zmierz kąt między Słońcem a Księżycem, gdy faza Księżyca to kwadra. To tworzy trójkąt prosty. Z odległością od Ziemi do księżyca już znaną, można uzyskać odległość (i rozmiar) księżyca.
Here jest starszy post, który pokazuje więcej szczegółów w tych pomiarach. Być może można już zobaczyć problem z tej metody. Jeżeli twój pomiar być wyłączyć dla the rozmiar the Ziemia, then everything inny być wyłączyć. The Grek’s determinacja the odległość the Słońce być bardzo dokładny.
A lepszy sposób the Ziemia-Słońce odległość być the tranzyt Wenus. Podczas tego wydarzenia, Wenus przechodzi pomiędzy Ziemią a Słońcem. Jeśli zmierzysz czas rozpoczęcia i zakończenia z różnych miejsc na Ziemi, możesz uzyskać wartość dla odległości Ziemia-Słońce. Oto przykład ze współczesnymi danymi.
Podobają mi się powyższe sposoby na znalezienie odległości do Saturna, ponieważ teoretycznie można to zrobić samemu. Oczywiście są jeszcze lepsze (dokładniejsze) sposoby na znalezienie tego, ale chodzi o to, że rzeczywiście można znaleźć odległość do Saturna, a tym samym wielkość. Mając promień, mógłbyś znaleźć objętość.
Masa
Nie możemy po prostu użyć praw Keplera, aby znaleźć masę. Nie, musimy użyć trochę bardziej fundamentalnej fizyki. W skrócie, możemy znaleźć masę Saturna patrząc na jeden z księżyców Saturna. Jeśli znamy odległość orbitalną i okres orbitalny jednego z księżyców, możemy znaleźć jego masę. Zauważ, że jest to coś innego niż to, co zrobiliśmy powyżej, aby znaleźć objętość. W tamtym przypadku, aby znaleźć odległość, użyliśmy okresu orbitalnego Saturna, który poruszał się wokół Słońca. Tutaj potrzebujemy zarówno odległości, jak i okresu księżyca.
Zacznijmy od kilku podstaw fizyki. Oto diagram największego księżyca Saturna, Tytana, podczas jego orbity.
Siła grawitacji zależy zarówno od masy Saturna i Tytana, jak i od odległości między nimi. Jej wielkość można zapisać jako:
Gdzie G jest uniwersalną stałą grawitacyjną. Zasada zachowania pędu mówi, że ta siła grawitacyjna zmienia pęd. Ponieważ siła ta jest prostopadła do pędu (p), to siła ta zmienia tylko kierunek pędu, a nie jego wielkość. Okazuje się, że mogę zapisać zasadę zachowania pędu w kategoriach siły grawitacyjnej i prędkości kątowej Tytana podczas jego orbity.
Wiem, że pominąłem niektóre kroki, ale chodzi o to, że istnieje związek między masą Saturna, wielkością orbity i prędkością orbitalną. Jeśli wstawię okres zamiast prędkości kątowej (okres = 2π/ω), mogę rozwiązać dla masy Saturna.
Teraz potrzebujesz tylko trzech rzeczy: G, rozmiar orbity, i okres orbity dla Tytana. Okres jest dość łatwy. Wystarczy obserwować planetę przez teleskop przez jakiś czas i liczyć dni do momentu, gdy Tytan wykona pełną podróż wokół Saturna (około 16 dni). Rozmiar orbity również nie jest zbyt trudny do uzyskania. Zasadniczo robisz to samo, co w przypadku rozmiaru Saturna – użyj odległości i rozmiaru kątowego.
Stałą grawitacyjną można znaleźć za pomocą eksperymentu Cavendisha. Zasadniczo, niektóre małe masy na obracającym się pręcie są przyciągane do większych mas stacjonarnych. Patrząc na skręt pręta można wyznaczyć siłę grawitacji, a więc G.
I to wszystko. Kiedy masz już masę i objętość, możesz obliczyć gęstość. Widzisz, to jest proste.