Podstawową konstrukcją w tym rozdziale jest iloczyn punktowy, który mierzy kąty między wektorami i oblicza długość wektora.
Definicja
Iloczyn kropkowy dwóch wektorów x,y w Rn wynosi
Myśląc o x,y jako wektorach kolumnowych, jest to to samo co xTy.
Na przykład,
Zauważ, że iloczyn punktowy dwóch wektorów jest skalarem.
Możesz wykonywać działania arytmetyczne z iloczynami kropkowymi w większości tak jak zwykle, tak długo jak pamiętasz, że możesz tylko połączyć kropką dwa wektory i że wynik jest skalarem.
Właściwości iloczynu kropkowego
Pozwól x,y,z być wektorami w Rn i niech c będzie skalarem.
- Komutatywność: x-y=y-x.
- Rozdzielność z dodawaniem: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Dystrybutywność z mnożeniem skalarnym: (cx)-y=c(x-y).
Iloczyn punktowy wektora z samym sobą jest ważnym przypadkiem szczególnym:
Dlatego dla dowolnego wektora x mamy:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Prowadzi to do dobrej definicji długości.
Fakt
Długość wektora x w Rn jest liczbą
Łatwo sprawdzić dlaczego jest to prawdziwe dla wektorów w R2, przez twierdzenie pitagorejskie.
Dla wektorów w R3 można sprawdzić, że AxA rzeczywiście jest długością x, choć teraz wymaga to dwóch zastosowań twierdzenia pitagorejskiego.
Zauważ, że długość wektora jest długością strzałki; jeśli myślimy w kategoriach punktów, to długość jest jego odległością od początku.
Fakt
Jeśli x jest wektorem, a c jest skalarem, to AcxA=|c|-AxA.
To mówi, że skalowanie wektora przez c skaluje jego długość przez |c|. Na przykład,
Teraz, gdy mamy już dobre pojęcie długości, możemy zdefiniować odległość między punktami w Rn. Przypomnijmy, że różnica między dwoma punktami x,y jest naturalnie wektorem, czyli wektorem y-x skierowanym od x do y.
Definicja
Dystans między dwoma punktami x,y w Rn jest długością wektora od x do y:
Wektory o długości 1 są bardzo częste w zastosowaniach, więc nadajemy im nazwę.
Definicja
Wektor jednostkowy to wektor x o długości AxA=Bx-x=1.
Standardowe wektory współrzędnych e1,e2,e3,…. są wektorami jednostkowymi:
Dla dowolnego niezerowego wektora x istnieje unikalny wektor jednostkowy skierowany w tym samym kierunku. Otrzymuje się go dzieląc przez długość x.
Fakt
Niech x będzie niezerowym wektorem w Rn. Wektorem jednostkowym w kierunku x jest wektor x/AxA.
Jest to w istocie wektor jednostkowy (zauważmy, że AxA jest liczbą dodatnią, więc CC1/AxACC=1/AxA):
.