Fizyka

Posted on

Cele nauczania

Do końca tej sekcji, będziesz w stanie:

  • Odnieść liniowy pęd fotonu do jego energii lub długości fali, i zastosować zachowanie pędu liniowego do prostych procesów obejmujących emisję, absorpcję lub odbicie fotonów.
  • Oblicz jakościowo wzrost długości fali fotonu, który jest obserwowany, i wyjaśnij znaczenie długości fali Comptona.

Measuring Photon Momentum

Kwant promieniowania EM, który nazywamy fotonem, ma właściwości analogiczne do właściwości cząstek, które możemy zobaczyć, takich jak ziarna piasku. Foton oddziałuje jako jednostka w zderzeniach lub gdy jest pochłaniany, a nie jako rozległa fala. Masywne kwanty, takie jak elektrony, również zachowują się jak makroskopowe cząstki – czego oczekujemy, ponieważ są one najmniejszymi jednostkami materii. Cząstki przenoszą zarówno pęd, jak i energię. Pomimo tego, że fotony nie mają masy, od dawna istnieją dowody na to, że promieniowanie EM przenosi pęd. (Maxwell i inni, którzy badali fale EM przewidywali, że będą one przenosić pęd). Obecnie jest to dobrze udokumentowany fakt, że fotony posiadają pęd. W rzeczywistości, pęd fotonu jest sugerowany przez efekt fotoelektryczny, w którym fotony wybijają elektrony z substancji. Rysunek 1 pokazuje makroskopowe dowody na istnienie pędu fotonu.

Rysunek 1. Ogon komety Hale-Bopp wskazuje na oddalenie od Słońca, dowód na to, że światło ma pęd. Pył wylatujący z ciała komety tworzy ten ogon. Cząstki pyłu są odpychane od Słońca przez odbijające się od nich światło. Niebieski ogon zjonizowanego gazu jest również wytwarzany przez fotony oddziałujące z atomami w materiale komety. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Rysunek 1 przedstawia kometę z dwoma widocznymi ogonami. To, czego większość ludzi nie wie o ogonach komet, to fakt, że zawsze są one skierowane w stronę Słońca, a nie ciągną się za kometą (jak ogon owcy Bo Peep’a). Ogony komet składają się z gazów i pyłu odparowanych z ciała komety oraz zjonizowanego gazu. Cząsteczki pyłu odbijają się od Słońca, gdy rozpraszają się od nich fotony. Widocznie fotony niosą pęd w kierunku ich ruchu (od Słońca) i część tego pędu jest przekazywana cząsteczkom pyłu w zderzeniach. Atomy i cząsteczki gazu w niebieskim ogonie są najbardziej dotknięte przez inne cząstki promieniowania, takie jak protony i elektrony emanujące ze Słońca, a nie przez pęd fotonów.

Making Connections: Conservation of Momentum

Nie tylko pęd jest zachowany we wszystkich dziedzinach fizyki, ale wszystkie rodzaje cząstek mają pęd. Spodziewamy się, że cząstki o masie będą miały pęd, ale teraz widzimy, że cząstki bezmasowe, w tym fotony, również mają pęd.

Rysunek 2. Efekt Comptona to nazwa nadana zjawisku rozpraszania fotonu przez elektron. Energia i pęd są zachowywane, co powoduje zmniejszenie obu tych wartości dla rozproszonego fotonu. Badając ten efekt, Compton zweryfikował, że fotony mają pęd.

Moment jest zachowany w mechanice kwantowej tak samo jak w fizyce względnej i klasycznej. Niektóre z najwcześniejszych bezpośrednich eksperymentalnych dowodów na to pochodzą z rozpraszania fotonów promieniowania rentgenowskiego przez elektrony w substancjach, nazwanego rozpraszaniem Comptona od nazwiska amerykańskiego fizyka Arthura H. Comptona (1892-1962). Około 1923 roku Compton zaobserwował, że promienie rentgenowskie rozpraszane z materiałów mają zmniejszoną energię i poprawnie przeanalizował to jako spowodowane rozpraszaniem fotonów przez elektrony. Zjawisko to można potraktować jako zderzenie dwóch cząstek – fotonu i elektronu znajdujących się w spoczynku w materiale. Energia i pęd są zachowane w zderzeniu. (Patrz rysunek 2) Za odkrycie tego rozpraszania, zwanego obecnie efektem Comptona, otrzymał w 1929 r. Nagrodę Nobla, ponieważ pomógł udowodnić, że pęd fotonu jest dany wzorem p=frac{h}{lambda}, gdzie h jest stałą Plancka, a λ długością fali fotonu. (Zauważ, że relatywistyczny pęd dany jako p = γmu jest ważny tylko dla cząstek mających masę.)

Widzimy, że pęd fotonu jest mały, ponieważ p=frac{h}{lambda}}, a h jest bardzo małe. Z tego powodu zwykle nie obserwujemy pędu fotonów. Nasze lustra nie odbijają się, gdy odbija się od nich światło (może z wyjątkiem kreskówek). Compton widział efekty działania pędu fotonu, ponieważ obserwował promienie X, które mają małą długość fali i stosunkowo duży pęd, oddziałujące z najlżejszą cząstką, elektronem.

Przykład 1. Electron and Photon Momentum Compared

  1. Oblicz pęd fotonu widzialnego, który ma długość fali 500 nm.
  2. Znajdź prędkość elektronu mającego ten sam pęd.
  3. Jaka jest energia elektronu i jak się ona ma do energii fotonu?

Strategia

Znalezienie pędu fotonu jest prostym zastosowaniem jego definicji: p=frac{h}{lambda}. Jeżeli stwierdzimy, że pęd fotonu jest mały, to możemy założyć, że elektron o takim samym pędzie będzie nierelatywistyczny, dzięki czemu łatwo znajdziemy jego prędkość i energię kinetyczną z klasycznych wzorów.

Rozwiązanie dla części 1

Pęd fotonu jest dany równaniem: p= p=frac{h}{lambda}.

Wpisując daną długość fali fotonu otrzymujemy

displaystyle{p}= p=frac{6.63times10^{-34}}text{ J}}{500}times10^{-9}text{ m}}=1.33 razy10^{-27} tekst{ kg} {m/s}

Rozwiązanie dla części 2

Ponieważ ten pęd jest rzeczywiście mały, użyjemy klasycznego wyrażenia p = mv aby znaleźć prędkość elektronu z tym pędem. Rozwiązanie dla v i użycie znanej wartości dla masy elektronu daje

displaystyle{v}= {1.33times10^{-27}} kg} m/s}}{9.11times10^{-31}}}}}=1460} m/s}}

Rozwiązanie dla części 3

Elektron posiada energię kinetyczną, która klasycznie dana jest przez \\\\\KE}_e= \frac{1}{2}mv^2\.

Tak więc, \tekst{KE}_e= \frac{1}{2}left(9.11\times10^{-3}\tekst{ kg}}prawa)^2=9.64 razy10^{-25} tekst{ J}}.

Przeliczając to na eV przez pomnożenie przez \frac{1}tekst{ eV}}{1,602}times10^{-19} tekst{ J}} daje KEe = 6,02 × 10-6 eV.48 eV}, co jest około pięć rzędów wielkości większe.

Dyskusja

Pęd fotonów jest rzeczywiście mały. Nawet jeśli mamy ich ogromną ilość, całkowity pęd, który przenoszą jest niewielki. Elektron z takim samym pędem ma prędkość 1460 m/s, co jest wyraźnie nierelatywistyczne. Masywniejsza cząstka o tym samym pędzie miałaby jeszcze mniejszą prędkość. Potwierdza to fakt, że potrzeba znacznie mniej energii, aby nadać elektronowi taki sam pęd jak fotonowi. Jednak w skali kwantowo-mechanicznej, zwłaszcza dla wysokoenergetycznych fotonów oddziałujących z małymi masami, pęd fotonu jest znaczący. Nawet w dużej skali, pęd fotonu może mieć wpływ, jeśli jest ich wystarczająco dużo i jeśli nie ma nic, co mogłoby zapobiec powolnemu odrzutowi materii. Ogony komet są jednym z przykładów, ale istnieją również propozycje budowy żagli kosmicznych, które używają ogromnych luster o niskiej masie (wykonanych z aluminizowanego Mylaru) do odbijania światła słonecznego. W próżni kosmicznej zwierciadła stopniowo odbijają promienie słoneczne i mogłyby faktycznie przenosić statki kosmiczne z miejsca na miejsce w Układzie Słonecznym. (Patrz rysunek 3.)

Rysunek 3. (a) Zaproponowano żagle kosmiczne, które wykorzystują pęd światła słonecznego odbijającego się od gigantycznych żagli o niskiej masie do napędzania statków kosmicznych w Układzie Słonecznym. Rosyjski model testowy tego typu (Cosmos 1) został wystrzelony w 2005 roku, ale nie dotarł na orbitę z powodu awarii rakiety. (b) Amerykańska wersja tego rozwiązania, nazwana LightSail-1, ma zostać wystrzelona próbnie w pierwszej części obecnej dekady. Będzie ona miała żagiel o powierzchni 40m2. (credit: Kim Newton/NASA)

Relatywistyczny pęd fotonu

Istnieje związek pomiędzy pędem fotonu p i energią fotonu E, który jest zgodny z podanym wcześniej związkiem dla relatywistycznej energii całkowitej cząstki jako E2 = (pc)2 + (mc)2. Wiemy, że m jest równe zero dla fotonu, ale p nie, więc E2 = (pc)2 + (mc)2 staje się E = pc, lub p=frac{E}{c} (fotony).

Aby sprawdzić poprawność tej zależności, zauważ, że E=frac{hc}{lambda} dla fotonu. Podstawiając to do p=E}{c} otrzymujemy

p}=prac{hc}{lambda}}{c}=prac{hc}{lambda}},

jak ustalono doświadczalnie i omówiono powyżej. Zatem, p=E/c jest równoważne wynikowi Comptona p=h/λ. Dalszą weryfikację związku pomiędzy energią i pędem fotonu można znaleźć w Przykładzie 2.

Detektory fotonów

Prawie wszystkie systemy detekcji, o których mówiono do tej pory – oczy, płyty fotograficzne, lampy fotopowielaczowe w mikroskopach i kamery CCD – opierają się na podobnych do cząstek właściwościach fotonów oddziałujących z wrażliwym obszarem. Wywoływana jest zmiana i albo zmiana jest kaskadowana, albo miliony punktów są rejestrowane w celu utworzenia obrazu, który wykrywamy. Detektory te są wykorzystywane w biomedycznych systemach obrazowania, a obecnie prowadzone są badania nad poprawą wydajności otrzymywania fotonów, w szczególności poprzez chłodzenie systemów detekcji i redukcję efektów termicznych.

Przykład 2. Energia i pęd fotonu

Wykaż, że p=frac{E}{c} dla fotonu rozważanego w Przykładzie 1.

Strategia

Przyjmiemy energię E znalezioną w Przykładzie 1, podzielimy ją przez prędkość światła i zobaczymy, czy otrzymamy taki sam pęd jak poprzednio.

Rozwiązanie

Przy założeniu, że energia fotonu wynosi 2.48 eV i przeliczając to na dżule, otrzymujemy

p=}frac{E}{c}=pęd(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33times10^{-27}}text{ kg }}

Dyskusja

Ta wartość pędu jest taka sama jak znaleziona wcześniej (zauważ, że we wszystkich obliczeniach używane są wartości niezaokrąglone, aby uniknąć nawet niewielkich błędów zaokrąglenia), co jest oczekiwaną weryfikacją związku p=frac{E}{c}}. Oznacza to również, że związek pomiędzy energią, pędem i masą dany przez E2 = (pc)2 + (mc)2 dotyczy zarówno materii jak i fotonów. Po raz kolejny zauważ, że p nie jest równe zero, nawet gdy m jest.

Sugestia rozwiązania problemu

Zauważ, że formy stałych h = 4.14 × 10-15 eV ⋅ s i hc = 1240 eV ⋅ nm mogą być szczególnie przydatne w problemach i ćwiczeniach w tym rozdziale.

Podsumowanie sekcji

  • Photony mają pęd, dany przez p=frac{h}{lambda}, gdzie λ jest długością fali fotonu.
  • Energia i pęd fotonu są związane przez p=frac{E}{c}, gdzie E=hf=frac{hc}{lambda} dla fotonu.

Pytania pojęciowe

  1. Jakiego wzoru można użyć dla pędu wszystkich cząstek, z masą lub bez?
  2. Czy istnieje jakaś mierzalna różnica między pędem fotonu a pędem materii?
  3. Dlaczego nie czujemy pędu światła słonecznego, gdy jesteśmy na plaży?

Problemy &Ćwiczenia

  1. (a) Znajdź pęd fotonu mikrofalowego o długości fali 4,00 cm. (b) Przedyskutuj, dlaczego spodziewasz się, że odpowiedź na pytanie (a) będzie bardzo mała.
  2. (a) Jaki jest pęd fotonu o długości fali 0,0100-nm, który mógłby wykryć szczegóły atomu? (b) Jaka jest jego energia w MeV?
  3. (a) Jaka jest długość fali fotonu, który ma pęd 5.00 × 10-29 kg – m/s? (b) Znajdź jego energię w eV.
  4. (a) Foton promieniowania γ ma pęd 8.00 × 10-21 kg – m/s. Jaka jest długość jego fali? (b) Oblicz jego energię w MeV.
  5. (a) Oblicz pęd fotonu o długości fali 2,50 μm. (b) Znajdź prędkość elektronu o tym samym pędzie. (c) Jaka jest energia kinetyczna elektronu i jak się ona ma do energii fotonu?
  6. Powtórz poprzednie zadanie dla fotonu o długości fali 10.0-nm.
  7. (a) Oblicz długość fali fotonu, który ma taki sam pęd jak proton poruszający się z prędkością 1.00% prędkości światła. (b) Jaka jest energia tego fotonu w MeV? (c) Jaka jest energia kinetyczna protonu w MeV?
  8. (a) Znajdź pęd fotonu promieniowania rentgenowskiego o energii 100 keV. (b) Znajdź prędkość równoważną neutronu o tym samym pędzie. (c) Jaka jest energia kinetyczna neutronu w keV?
  9. Przyjmij stosunek relatywistycznej energii spoczynkowej, E = γmc2, do relatywistycznego pędu, p = γmu, i pokaż, że w granicy, w której masa zbliża się do zera, znajdziesz \frac{E}{p}=c\u.
  10. Skonstruuj własny problem. Rozważmy żagiel kosmiczny taki jak w przykładzie 1. Skonstruuj zadanie, w którym obliczysz nacisk światła na żagiel w N/m2 wywołany odbijaniem promieni słonecznych. Oblicz również siłę, jaka mogłaby powstać i jaki wpływ miałaby ona na statek kosmiczny. Wśród rzeczy, które należy wziąć pod uwagę są intensywność światła słonecznego, jego średnia długość fali, liczba fotonów na metr kwadratowy to implikuje, powierzchnia żagla kosmicznego i masa systemu przyspieszanego.
  11. Nieuzasadnione wyniki. Samochód odczuwa niewielką siłę spowodowaną światłem, które wysyła ze swoich reflektorów, równą pędowi światła podzielonemu przez czas, w którym jest ono emitowane. (a) Oblicz moc każdego z reflektorów, jeśli wywierają one na samochód łączną siłę 2,00 × 10-2 N do tyłu. (b) Co jest nieracjonalne w tym wyniku? (c) Które założenia są nieracjonalne lub niespójne?

Słowniczek

Pęd fotonu: ilość pędu, jaką posiada foton, obliczana według wzoru p= p=frac{h}{lambda }= p=frac{E}{c}}

EfektComptona: zjawisko polegające na tym, że promienie x rozproszone od materiałów mają zmniejszoną energię

Wybrane rozwiązania problemów &Ćwiczenia

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) Długość fali fotonów mikrofalowych jest duża, więc przenoszony przez nie pęd jest bardzo mały.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elektron 3,86 × 10-26 J, foton 7,96 × 10-20 J, stosunek 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 i P = γmu, więc

przykład>frac{E}{P}==frac{{gamma{mc}}^{2}}{gamma{mu}}==frac{c^2}{u}

Gdy masa cząstki zbliża się do zera, jej prędkość u zbliży się do c , więc stosunek energii do pędu w tym przypadku wynosi

co jest zgodne z równaniem dla energii fotonu.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Reflektory są zbyt jasne; (c) Siła jest zbyt duża.

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.