Przekroje walcoweEdit
Przekrój walcowy to przecięcie powierzchni walca z płaszczyzną. Są one w ogólności łukami i są szczególnymi rodzajami przekrojów płaskich. Przekrój walcowy przez płaszczyznę, która zawiera dwa elementy walca, jest równoległobokiem. Taki przekrój walcowy walca prostego jest prostokątem.
Przekrój walcowy, w którym płaszczyzna przecinająca przecina i jest prostopadła do wszystkich elementów walca, nazywamy przekrojem prostym. Jeżeli przekrój prosty walca jest okręgiem, to walec jest walcem kołowym. W bardziej ogólnym ujęciu, jeżeli prawy przekrój walca jest przekrojem stożkowym (parabolą, elipsą, hiperbolą) to mówi się, że bryła walca jest odpowiednio paraboliczna, eliptyczna i hiperboliczna.
W przypadku walca prostego kołowego istnieje kilka sposobów, w jaki płaszczyzny mogą stykać się z walcem. Po pierwsze, płaszczyzny, które przecinają podstawę w co najwyżej jednym punkcie. Płaszczyzna jest styczna do walca, jeżeli styka się z nim w jednym elemencie. Odpowiednimi odcinkami są okręgi, a wszystkie inne płaszczyzny przecinają powierzchnię walca w elipsie. Jeżeli płaszczyzna przecina podstawę walca w dokładnie dwóch punktach to odcinek prostej łączący te punkty jest częścią przekroju walcowego. Jeżeli taka płaszczyzna zawiera dwa elementy, to jej odcinkiem walcowym jest prostokąt, w przeciwnym razie boki odcinka walcowego są częściami elipsy. Wreszcie, jeżeli płaszczyzna zawiera więcej niż dwa punkty podstawy, to zawiera całą podstawę, a odcinek walcowy jest okręgiem.
W przypadku walca prostego kołowego o przekroju walcowym będącym elipsą, mimośród e przekroju walcowego i oś półmajora a przekroju walcowego zależą od promienia walca r i kąta α między płaszczyzną sieczną a osią walca, w następujący sposób:
e = cos α , {displaystyle e={cos alfa ,}
a = r sin α . {displaystyle a={frac {r}{sin ≥alfa}}}.}
VolumeEdit
Jeśli podstawa walca kołowego ma promień r, a walec ma wysokość h, to jego objętość jest dana wzorem
V = πr2h.
Ten wzór obowiązuje niezależnie od tego, czy walec jest walcem prostym czy nie.
Ten wzór można wyznaczyć korzystając z zasady Cavalieriego.
W bardziej ogólnym ujęciu, według tej samej zasady, objętość dowolnego cylindra jest iloczynem pola powierzchni podstawy i wysokości. Na przykład, walec eliptyczny o podstawie mającej oś półmagnetyczną a, oś półminoryczną b i wysokość h ma objętość V = Ah, gdzie A jest polem elipsy podstawy (= πab). Ten wynik dla walców eliptycznych prawych można również otrzymać przez całkowanie, gdzie za oś walca przyjmuje się dodatnią oś x, a A(x) = A pole każdego przekroju eliptycznego, zatem:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {{displaystyle V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h} abdx= abdx= abdx= abdx= abh.}
Używając współrzędnych cylindrycznych, objętość prostego walca kołowego można obliczyć przez całkowanie po
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {displaystyle =int _{0}^{h}int _{0}^{2}pi }int _{0}^{r}s, 𢋕 d dx=pi abh.}
= π r 2 h . {{displaystyle} = π r^{r}s,r^{2} h .
Pole powierzchniEdit
Mając promień r i wysokość (wysokość) h, pole powierzchni prostego walca kołowego, zorientowanego tak, że jego oś jest pionowa, składa się z trzech części:
- powierzchnia górnej podstawy: πr2
- powierzchnia dolnej podstawy: πr2
- powierzchnia boku: 2πrh
Powierzchnia górnej i dolnej podstawy jest taka sama i nazywamy ją powierzchnią podstawy, B. Pole powierzchni boku nazywamy polem powierzchni bocznej, L.
Cylinder otwarty nie zawiera ani elementów górnych, ani dolnych, a więc ma pole powierzchni (pole powierzchni bocznej)
L = 2πrh.
Na pole powierzchni walca pełnego prawego kołowego składa się suma wszystkich trzech elementów: górnego, dolnego i bocznego. Jego pole powierzchni wynosi więc,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
gdzie d = 2r jest średnicą okrągłego wierzchołka lub dna.
Dla danej objętości prawy walec kołowy o najmniejszej powierzchni ma h = 2r. Równoważnie, dla danego pola powierzchni, okrągły walec o największej objętości ma h = 2r, to znaczy, że walec mieści się w sześcianie o długości boku = wysokość (= średnica koła podstawowego).
Powierzchnia boczna, L, okrągłego walca, który nie musi być walcem prostym, jest bardziej ogólnie dana przez:
L = e × p,
gdzie e jest długością elementu, a p jest obwodem prawej części walca. Daje to poprzedni wzór na pole powierzchni bocznej, gdy walec jest walcem prostokątnym.
Walec drążony prawostronnie kołowy (powłoka walcowa)Edycja
Walec drążony prawostronnie kołowy (lub powłoka walcowa) to trójwymiarowy obszar ograniczony dwoma walcami prawostronnie kołowymi mającymi tę samą oś i dwie równoległe pierścieniowe podstawy prostopadłe do wspólnej osi walców, jak na rysunku.
Niech wysokość będzie równa h, promień wewnętrzny r, a promień zewnętrzny R. Objętość jest dana wzorem
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {{displaystyle V= (R^{2}-r^{2})h=2 ∗ lewa({frac {R+r}{2}}prawa)h(R-r).}
.
Tak więc objętość powłoki cylindrycznej jest równa 2π(promień średni)(wysokość)(grubość).
Powierzchnia, z uwzględnieniem góry i dołu, jest dana przez
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {A=2 π (R+r)h+2 π (R^{2}-r^{2}).}
.
Powłoki walcowe są wykorzystywane w powszechnej technice całkowania do znajdowania objętości brył obrotowych.
On the Sphere and CylinderEdit
W traktacie o tej nazwie, napisanym ok. 225 r. p.n.e., Archimedes uzyskał wynik, z którego był najbardziej dumny, a mianowicie uzyskał wzory na objętość i pole powierzchni kuli, wykorzystując związek między kulą a jej obwodem w postaci prawego walca kołowego o tej samej wysokości i średnicy. Kula ma objętość równą dwóm trzecim objętości cylindra, a pole powierzchni równe dwóm trzecim powierzchni cylindra (łącznie z podstawami). Ponieważ wartości dla walca były już znane, po raz pierwszy otrzymał odpowiednie wartości dla kuli. Objętość kuli o promieniu r wynosi 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Pole powierzchni tej kuli wynosi 4πr2 = 2/3 (6πr2). Wyrzeźbiona kula i walec zostały umieszczone na grobowcu Archimedesa na jego życzenie.