Show Mobile Notice Pokaż wszystkie notatki Ukryj wszystkie notatki
Sekcja 7-7 : Rodzaje nieskończoności
Większość studentów spotkała się z nieskończonością w pewnym momencie przed zajęciami z rachunku. Jednakże, kiedy mieli z nią do czynienia, był to tylko symbol używany do reprezentowania naprawdę, naprawdę dużej liczby dodatniej lub naprawdę, naprawdę dużej liczby ujemnej i to był zakres tego. Kiedy już dostaną się na zajęcia z rachunku, studenci są proszeni o zrobienie podstawowej algebry z nieskończonością i tu pojawiają się kłopoty. Nieskończoność nie jest liczbą i w większości przypadków nie zachowuje się jak liczba. Jednak pomimo tego będziemy myśleć o nieskończoności w tym rozdziale jako o naprawdę, naprawdę, naprawdę dużej liczbie, która jest tak duża, że nie ma innej liczby większej od niej. Nie jest to oczywiście poprawne, ale może pomóc w dyskusji w tej sekcji. Zauważ również, że wszystko, co będziemy omawiać w tej sekcji odnosi się tylko do liczb rzeczywistych. Jeśli przejdziesz do liczb zespolonych na przykład rzeczy mogą i zmieniają.
Więc, zacznijmy myśleć o dodawanie z nieskończoności. Kiedy dodajesz dwie niezerowe liczby, otrzymujesz nową liczbę. Na przykład (4 + 7 = 11). W nieskończoności to nie jest prawda. Podobnie, możesz dodać liczbę ujemną (np. a < 0) do naprawdę, naprawdę dużej liczby dodatniej i pozostanie naprawdę, naprawdę duża i dodatnia. Tak więc, dodawanie obejmujące nieskończoność może być traktowane w intuicyjny sposób, jeśli jesteś ostrożny. Zauważ również, że NIE może być ujemną nieskończonością. Jeśli jest, istnieją pewne poważne problemy, z którymi musimy się uporać, jak zobaczymy za chwilę.
Odejmowanie z ujemną nieskończonością może być również traktowane w sposób intuicyjny w większości przypadków, jak również. Naprawdę, naprawdę duża liczba ujemna minus jakakolwiek liczba dodatnia, niezależnie od jej wielkości, jest nadal naprawdę, naprawdę dużą liczbą ujemną. Odejmując liczbę ujemną (tj. < 0) od naprawdę, naprawdę dużej liczby ujemnej, nadal będzie naprawdę, naprawdę dużą liczbą ujemną. Naprawdę, naprawdę duża liczba (dodatnia, lub ujemna) razy dowolna liczba, niezależnie od wielkości, jest nadal naprawdę, naprawdę duża liczba będziemy musieli tylko uważać ze znakami. W przypadku mnożenia mamy
To, co wiesz o iloczynach liczb dodatnich i ujemnych jest nadal prawdziwe tutaj.
Niektóre formy podziału mogą być traktowane intuicyjnie, jak również. Naprawdę, naprawdę duża liczba podzielona przez liczbę, która nie jest zbyt duża jest nadal naprawdę, naprawdę dużą liczbą.
Dzielenie liczby przez nieskończoność jest nieco intuicyjne, ale jest kilka subtelności, które musisz być świadomy. Kiedy mówimy o dzieleniu przez nieskończoność, to tak naprawdę mówimy o ograniczającym procesie, w którym mianownik zmierza do nieskończoności. Tak więc, liczba, która nie jest zbyt duża podzielona przez coraz większą liczbę, jest coraz mniejszą liczbą. Innymi słowy, w granicy mamy,
Tak więc, mamy do czynienia z prawie każdą podstawową operacją algebraiczną z udziałem nieskończoności. Istnieją dwa przypadki, z którymi jeszcze nie mieliśmy do czynienia. Są to
Problem z tymi dwoma przypadkami jest taki, że intuicja nie bardzo tu pomaga. Naprawdę, naprawdę duża liczba minus naprawdę, naprawdę duża liczba może być czymkolwiek (np. Podobnie, naprawdę, naprawdę duża liczba podzielona przez naprawdę, naprawdę dużą liczbę może być również czymkolwiek (\( \infty \) – to zależy od kwestii znaku, 0, lub niezerową stałą).
To, co musimy zapamiętać tutaj jest to, że są naprawdę, naprawdę duże liczby i wtedy są naprawdę, naprawdę, naprawdę duże liczby. Innymi słowy, niektóre nieskończoności są większe niż inne nieskończoności. Z dodawaniem, mnożeniem i pierwszymi zestawami podziału, które pracowaliśmy, nie było to problemem. Ogólny rozmiar nieskończoności po prostu nie wpływa na odpowiedź w tych przypadkach. Jednakże, z odejmowania i dzielenia przypadków wymienionych powyżej, to ma znaczenie, jak zobaczymy.
Jest jeden sposób, aby myśleć o tej idei, że niektóre nieskończoności są większe niż inne. Jest to dość suchy i techniczny sposób myślenia o tym, a twoje problemy z rachunkiem prawdopodobnie nigdy nie będą używać tych rzeczy, ale jest to miły sposób patrzenia na to. Proszę również zauważyć, że nie próbuję dać dokładnego dowodu czegokolwiek tutaj. Próbuję tylko dać ci trochę wglądu w problemy z nieskończonością i jak niektóre nieskończoności mogą być uważane za większe niż inne. O wiele lepszą (i zdecydowanie bardziej precyzyjną) dyskusję można znaleźć w:
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Zacznijmy od tego, ile jest liczb całkowitych. Oczywiście, mam nadzieję, że jest ich nieskończenie wiele, ale spróbujmy lepiej uchwycić „rozmiar” tej nieskończoności. Wybierz dwie dowolne liczby całkowite zupełnie losowo. Zacznij od mniejszej z nich i wymień, w porządku rosnącym, wszystkie liczby całkowite, które po niej następują. W końcu dojdziemy do większej z tych dwóch liczb całkowitych, które wybrałeś.
W zależności od względnej wielkości tych dwóch liczb całkowitych wymienienie wszystkich liczb całkowitych pomiędzy nimi może zająć bardzo, bardzo dużo czasu i tak naprawdę nie ma sensu tego robić. Ale, można by to zrobić, gdybyśmy chcieli i to jest ważna część.
Ponieważ moglibyśmy wymienić wszystkie te liczby całkowite pomiędzy dwiema losowo wybranymi liczbami całkowitymi, mówimy, że liczby całkowite są policzalnie nieskończone. Ponownie, nie ma żadnego prawdziwego powodu, aby to zrobić, jest to po prostu coś, co można zrobić, jeśli zdecydujemy się to zrobić.
W ogólności, zbiór liczb nazywamy policzalnie nieskończonym, jeśli możemy znaleźć sposób, aby wymienić je wszystkie. W bardziej precyzyjnym matematycznym otoczeniu jest to zazwyczaj wykonywane za pomocą specjalnego rodzaju funkcji zwanej bijekcją, która kojarzy każdą liczbę w zestawie z dokładnie jedną z dodatnich liczb całkowitych. Aby zobaczyć trochę więcej szczegółów na ten temat zobacz pdf podany powyżej.
Można również pokazać, że zbiór wszystkich ułamków jest również przeliczalnie nieskończony, chociaż jest to trochę trudniejsze do pokazania i nie jest to celem tej dyskusji. Aby zobaczyć dowód na to, zobacz pdf podany powyżej. Ma on bardzo ładny dowód tego faktu.
Przeciwstawmy to sobie próbując dowiedzieć się ile jest liczb w przedziale \( \left(0,1\right) \). Przez liczby rozumiem wszystkie możliwe ułamki, które leżą między zerem a jedynką, jak również wszystkie możliwe ułamki dziesiętne (które nie są ułamkami), które leżą między zerem a jedynką. Poniższe jest podobne do dowodu podanego w pdf powyżej, ale było na tyle ładne i łatwe (mam nadzieję), że chciałem je tutaj zamieścić.
Na początek załóżmy, że wszystkie liczby w przedziale \( \left(0,1\right) \) są policzalnie nieskończone. Oznacza to, że powinien istnieć sposób na wypisanie ich wszystkich. Moglibyśmy mieć coś takiego jak poniżej,
\u0026apos; Teraz wybierz \u0026apos; \u0026apos; \u0026apos; \u0026apos; \u0026apos; i utwórz nową liczbę z tymi cyframi. Tak więc, dla naszego przykładu mielibyśmy liczbę
W tym nowym ułamku dziesiętnym zastąpić wszystkie 3 przez 1 i zastąpić każdą inną cyfrę przez 3. W przypadku naszego przykładu dałoby to nową liczbę
Zauważ, że ta liczba jest w przedziale \( \left(0,1\right) \), a także zauważ, że biorąc pod uwagę, jak wybieramy cyfry liczby, ta liczba nie będzie równa pierwszej liczbie na naszej liście, \({x_1}}), ponieważ pierwsza cyfra każdego z nich jest gwarantowana, aby nie być takie same. Podobnie, ta nowa liczba nie będzie taka sama jak druga na naszej liście, \({x_2}}, ponieważ druga cyfra każdego z nich jest gwarantowana, aby nie być takie same. Kontynuując w ten sposób, możemy zobaczyć, że ta nowa liczba, którą skonstruowaliśmy, \(\overline x \), jest gwarantowana, aby nie być na naszej liście. Jest to jednak sprzeczne z początkowym założeniem, że możemy wypisać wszystkie liczby z przedziału ∗ (lewa strona 0,1,1,0). Stąd, nie może być możliwe wypisanie wszystkich liczb w przedziale \( \left(0,1\right) \).
Zbiory liczb, takie jak wszystkie liczby w \( \left(0,1\right) \), których nie możemy zapisać w postaci listy nazywamy niepoliczalnie nieskończonymi.
Powód, dla którego warto przejść nad tym do porządku dziennego jest następujący. Nieskończoność, która jest niepoliczalnie nieskończona jest znacznie większa od nieskończoności, która jest tylko policzalnie nieskończona. Tak więc, jeśli weźmiemy różnicę dwóch nieskończoności mamy kilka możliwości.
Zauważ, że nie umieściliśmy różnicy dwóch nieskończoności tego samego typu. W zależności od kontekstu, nadal może istnieć pewna dwuznaczność co do odpowiedzi w tym przypadku, ale to zupełnie inny temat.
Możemy również zrobić coś podobnego dla ilorazów nieskończoności.
Ponownie, uniknęliśmy ilorazu dwóch nieskończoności tego samego typu, ponieważ, ponownie w zależności od kontekstu, nadal może istnieć dwuznaczność co do jego wartości.
Więc, to wszystko i mam nadzieję, że nauczyłeś się czegoś z tej dyskusji. Nieskończoność po prostu nie jest liczbą, a ponieważ istnieją różne rodzaje nieskończoności, generalnie nie zachowuje się jak liczba. Bądź ostrożny, gdy masz do czynienia z nieskończonością.