Zonnewijzer

De zonnewijzers die het meest worden waargenomen zijn die waarbij de stijl die de schaduw werpt een vaste plaats heeft en is gericht op de rotatieas van de aarde, georiënteerd op het ware noorden en zuiden, en een hoek maakt met de horizontaal die gelijk is aan de geografische breedtegraad. Deze as is uitgelijnd met de hemelpolen, die nauw, maar niet perfect, is uitgelijnd met de poolster Polaris. Ter illustratie: de hemelas wijst verticaal op de ware noordpool, waar hij horizontaal op de evenaar wijst. In Jaipur, waar de grootste zonnewijzer ter wereld staat, staan de gnomons 26°55″ boven horizontaal, wat de plaatselijke breedtegraad weergeeft.

Op een willekeurige dag lijkt de zon gelijkmatig om deze as te draaien, met ongeveer 15° per uur, zodat in 24 uur een volledig rondje (360°) wordt afgelegd. Een lineaire gnomon die op deze as staat, werpt een schaduw (een half vlak) dat, als het tegenover de zon valt, eveneens om de hemelas draait met 15° per uur. De schaduw wordt waargenomen door op een ontvangend oppervlak te vallen dat gewoonlijk vlak is, maar dat bolvormig, cilindrisch, kegelvormig of van een andere vorm kan zijn. Als de schaduw valt op een oppervlak dat symmetrisch is om de hemelas (zoals bij een armillosfeer of een equatoriale zonnewijzer) dan beweegt de schaduw van het oppervlak ook gelijkmatig; de uurlijnen op de zonnewijzer liggen dan op gelijke afstand van elkaar. Als het ontvangende oppervlak echter niet symmetrisch is (zoals in de meeste horizontale zonnewijzers) dan beweegt de oppervlakteschaduw in het algemeen niet gelijkmatig en zijn de uurlijnen niet gelijkmatig verdeeld; een uitzondering is de Lambert zonnewijzer die hieronder wordt beschreven.

Enkele types zonnewijzers zijn ontworpen met een vaste gnomon die niet is uitgelijnd met de hemelpolen zoals een verticale obelisk. Dergelijke zonnewijzers worden hieronder behandeld in de sectie, “Zonnewijzers op basis van nodus”.

Empirische uurlijn markeringEdit

Met de formules in de paragrafen hieronder kan voor verschillende typen zonnewijzers de positie van de uurlijnen worden berekend. In sommige gevallen zijn de berekeningen eenvoudig, in andere gevallen zijn ze zeer ingewikkeld. Er is een alternatieve, eenvoudige methode om de uurlijnen te vinden die voor veel zonnewijzertypes kan worden gebruikt en die veel werk bespaart in gevallen waar de berekeningen ingewikkeld zijn. Dit is een empirische procedure waarbij de positie van de schaduw van de gnomon van een echte zonnewijzer met tussenpozen van een uur wordt afgetekend. Er moet rekening worden gehouden met de tijdsvereffening om ervoor te zorgen dat de posities van de uurlijnen onafhankelijk zijn van de tijd van het jaar waarin ze worden gemarkeerd. Een eenvoudige manier om dit te doen is een klok of horloge zo in te stellen dat het “zonnewijzertijd” aangeeft, wat de standaardtijd is, plus de tijdsvereffening van de dag in kwestie. De uurlijnen op de zonnewijzer zijn gemarkeerd om de posities van de schaduw van de stijl aan te geven wanneer deze klok hele getallen van uren aangeeft, en zijn met deze getallen van uren gelabeld. Als de klok bijvoorbeeld 5:00 uur aanwijst, is de schaduw van de poolstijl gemarkeerd en voorzien van het opschrift “5” (of “V” in Romeinse cijfers). Als de uurlijnen niet allemaal op één dag worden aangegeven, moet de klok om de dag of om de twee dagen worden bijgesteld om rekening te houden met de variatie van de tijdsvereffening.

Equatoriale zonnewijzersEdit

Het onderscheidende kenmerk van de equatoriale wijzerplaat (ook wel equinoctiale wijzerplaat genoemd) is het vlak dat de schaduw opvangt en dat precies loodrecht staat op de stijl van de gnomon. Dit vlak wordt equatoriaal genoemd, omdat het evenwijdig is aan de evenaar van de aarde en van de hemelbol. Als de gnomon gefixeerd is en op één lijn staat met de draaias van de aarde, werpt de schijnbare draaiing van de zon om de aarde een gelijkmatig roterende schaduwlijn van de gnomon; dit levert een gelijkmatig roterende schaduwlijn op het equatoriale vlak op. Omdat de zon in 24 uur 360° draait, liggen de uurlijnen op een equatoriale zonnewijzer allemaal 15° uit elkaar (360/24).

H E = 15 ∘ × t (uren) . {Displaystyle H_{E}=15^{(uren)}.}

De gelijkmatigheid van hun spatiëring maakt dit type zonnewijzer gemakkelijk te construeren. Als het materiaal van de zonnewijzerplaat ondoorzichtig is moeten beide kanten van de equatoriale zonnewijzer worden afgetekend omdat de schaduw in de winter van onderen komt en in de zomer van boven. Bij doorschijnende zonnewijzers (b.v. glas) moeten de uurhoeken alleen op de naar de zon gerichte zijde worden aangebracht, hoewel de uurcijfers (indien gebruikt) aan beide zijden van de zonnewijzer moeten worden aangebracht, omdat de uurlijnen aan de naar de zon gerichte zijde en aan de naar de zon gerichte zijde verschillend zijn.

Een ander groot voordeel van deze zonnewijzer is dat correcties voor tijdvereffening (EoT) en zomertijd (DST) kunnen worden uitgevoerd door eenvoudig de zonnewijzerplaat elke dag in de juiste hoek te draaien. Dit komt omdat de uurhoeken gelijk verdeeld zijn over de zonnewijzer. Om deze reden is een equatoriale zonnewijzer vaak een nuttige keuze wanneer de zonnewijzer bedoeld is om in het openbaar te worden vertoond en het wenselijk is dat deze met redelijke nauwkeurigheid de ware plaatselijke tijd aangeeft. De EoT correctie wordt gemaakt via de relatie

Correctie ∘ = EoT (minuten) + 60 × Δ DST (uren) 4 . {\displaystyle {\text{Correctie}}^{\circ }={\frac {{text{EoT (minuten)}}+60 maal \Delta {\text{DST (uren)}}{4}}.}

Bij de equinoxen in de lente en de herfst beweegt de zon op een cirkel die bijna gelijk is aan het equatoriale vlak; daardoor ontstaat er in die tijd van het jaar geen duidelijke schaduw op de equatoriale zonnewijzer, een nadeel van het ontwerp.

Bij equatoriale zonnewijzers wordt soms een nodus toegevoegd, waardoor de zonnewijzer de tijd van het jaar kan aangeven. Op een gegeven dag beweegt de schaduw van de nodus over een cirkel op het equatoriale vlak en de straal van de cirkel meet de declinatie van de zon. De uiteinden van de balk van de gnomon kunnen worden gebruikt als de nodus, of een kenmerk in de lengte ervan. Een oude variant van de equatoriale zonnewijzer heeft alleen een nodus (geen stijl) en de concentrische cirkelvormige uurlijnen zijn zo gerangschikt dat ze op een spinnenweb lijken.

Horizontale zonnewijzersEdit

In de horizontale zonnewijzer (ook wel tuinzonnewijzer genoemd) is het vlak dat de schaduw ontvangt horizontaal gericht en staat het niet loodrecht op de stijl zoals bij de equatoriale zonnewijzer. De schaduwlijn draait dus niet gelijkmatig over het zonnewijzervlak, maar de uurlijnen zijn volgens de regel uit elkaar geplaatst.

tan H H = sin L tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{H}= sin L tan(15^{circ } maal t)}

Of in andere termen:

H H = tan – 1 {Displaystyle \ H_{H}==tan ^{-1}}

Waarbij L de geografische breedtegraad van de zonnewijzer is (en de hoek die de gnomon maakt met de zonnewijzerplaat), H H {\displaystyle H_{H}} de hoek tussen een gegeven uurlijn en de middaguurlijn (die altijd naar het ware noorden wijst) op het vlak, en t het aantal uren voor of na de middag is. Bijvoorbeeld, de hoek H {Displaystyle H_{H}} van de uurlijn om 3 uur ’s middags zou gelijk zijn aan de arctangens van sin L, want tan 45° = 1. Als L gelijk is aan 90° (op de noordpool) wordt de horizontale zonnewijzer een equatoriale zonnewijzer; de stijl wijst recht omhoog (verticaal) en het horizontale vlak ligt in lijn met het equatoriale vlak; de formule voor de uurlijn wordt dan H H {{H}} = 15° × t, zoals voor een equatoriale zonnewijzer. Een horizontale zonnewijzer op de evenaar van de aarde, waar L gelijk is aan 0°, zou een (verhoogde) horizontale stijl nodig hebben en zou een voorbeeld van een polaire zonnewijzer zijn (zie verder).

De belangrijkste voordelen van de horizontale zonnewijzer zijn dat hij gemakkelijk af te lezen is en dat het zonlicht het hele jaar door op het vlak schijnt. Alle uurlijnen kruisen elkaar op het punt waar de stijl van de gnomon het horizontale vlak kruist. Omdat de stijl is gericht op de draaias van de aarde wijst de stijl naar het noorden en de hoek met de horizontaal is gelijk aan de geografische breedtegraad L. Een zonnewijzer die voor een bepaalde breedtegraad is ontworpen kan voor gebruik op een andere breedtegraad worden aangepast door het voetstuk naar boven of naar beneden te kantelen over een hoek gelijk aan het verschil in breedtegraad. Bijvoorbeeld, een zonnewijzer die ontworpen is voor een breedtegraad van 40° kan gebruikt worden op een breedtegraad van 45°, als het zonnewijzervlak 5° naar boven gekanteld wordt, zodat de stijl in lijn komt met de draaias van de aarde.

Vele sierzonnewijzers zijn ontworpen om gebruikt te worden op 45° noorderbreedte. Sommige in massa geproduceerde tuinzonnewijzers kunnen de uurlijnen niet correct berekenen en kunnen dus nooit worden gecorrigeerd. Een plaatselijke standaard tijdzone is nominaal 15 graden breed maar kan worden aangepast om geografische of politieke grenzen te volgen. Een zonnewijzer kan rond zijn stijl (die naar de hemelpool gericht moet blijven) worden gedraaid om zich aan de plaatselijke tijdzone aan te passen. In de meeste gevallen is een draaiing in het bereik van 7,5 graden oost tot 23 graden west voldoende. Dit zal een fout veroorzaken in zonnewijzers die geen gelijke uurhoeken hebben. Om voor de zomertijd te corrigeren heeft een zonnewijzer twee sets cijfers of een correctietabel nodig. Een informele standaard is om de cijfers in warme kleuren voor de zomer te zetten en in koele kleuren voor de winter. Omdat de uurhoeken niet gelijkmatig verdeeld zijn, kan de tijdsvereffening niet worden gecorrigeerd door de zonnewijzerplaat om de gnomonas te draaien. Deze types zonnewijzers hebben gewoonlijk een tabel met tijdvereffeningscorrecties gegraveerd op hun voetstuk of in de nabijheid ervan. Horizontale zonnewijzers worden vaak gezien in tuinen, op kerkhoven en in openbare ruimten.

Verticale zonnewijzersEdit

In de gewone verticale wijzerplaat is het schaduw-ontvangende vlak verticaal gericht; zoals gebruikelijk is de stijl van de gnomon uitgelijnd met de draaias van de aarde. Net als bij de horizontale zonnewijzer beweegt de schaduwlijn zich niet gelijkmatig over het vlak; de zonnewijzer is niet rechthoekig. Als het vlak van de verticale zonnewijzer recht naar het zuiden wijst wordt de hoek van de uurlijnen in plaats daarvan beschreven door de formule

tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{V}= cos L tan(15^{\circ } maal t)}

waarbij L de geografische breedtegraad van de zonnewijzer is, H V {{V}} de hoek tussen een gegeven uurlijn en de middaguurlijn (die altijd naar het noorden wijst) op het vlak, en t het aantal uren voor of na het middaguur. Bijvoorbeeld, de hoek H V {Displaystyle H_{V}} van de uurlijn om 3 uur ’s middags zou gelijk zijn aan de boogtangens van cos L, want tan 45° = 1. De schaduw beweegt tegen de wijzers van de klok in op een verticale zonnewijzer die naar het zuiden is gericht, terwijl hij met de wijzers van de klok mee beweegt op horizontale en equatoriale zonnewijzers die naar het noorden zijn gericht.

Wijzers met loodrecht op de grond staande wijzerplaten die recht naar het zuiden, noorden, oosten of westen zijn gericht, worden verticale directe wijzers genoemd. Algemeen wordt aangenomen, en in respectabele publicaties vermeld, dat een verticale zonnewijzer niet meer dan twaalf uren zonlicht per dag kan ontvangen, hoeveel uren daglicht er ook zijn. Er is echter een uitzondering. Verticale zonnewijzers in de tropen die naar de dichtstbijzijnde pool zijn gericht (b.v. naar het noorden in de zone tussen de evenaar en de kreeftskeerkring) kunnen gedurende een korte periode rond de zomerzonnewende wel degelijk meer dan 12 uur zonlicht ontvangen van zonsopgang tot zonsondergang. Bijvoorbeeld, op breedtegraad 20 graden noorderbreedte schijnt de zon op 21 juni 13 uur en 21 minuten op een verticale muur die naar het noorden is gericht. Verticale zonnewijzers die niet recht naar het zuiden gericht zijn (op het noordelijk halfrond) kunnen beduidend minder dan twaalf uur zonlicht per dag ontvangen, afhankelijk van de richting waarin ze wel gericht zijn en van de tijd van het jaar. Een verticale wijzerplaat die naar het oosten is gericht kan bijvoorbeeld alleen ’s morgens de tijd aangeven; ’s middags schijnt de zon niet op de wijzerplaat. Verticale wijzerplaten die naar het oosten of naar het westen wijzen zijn poolwijzers, die hieronder worden beschreven. Verticale wijzerplaten die naar het noorden zijn gericht zijn ongewoon, omdat zij alleen in de lente en de zomer de tijd aangeven en niet de middaguren, behalve op tropische breedten (en zelfs daar, alleen rond midzomer). Voor niet-directe verticale wijzerplaten – die in niet-kardinale richtingen wijzen – wordt de wiskunde van het rangschikken van de stijl en de uurlijnen ingewikkelder; het kan gemakkelijker zijn de uurlijnen door waarneming te markeren, maar de plaatsing van de stijl, tenminste, moet eerst worden berekend; dergelijke wijzerplaten worden deklinkende wijzerplaten genoemd.

Verticale zonnewijzers worden gewoonlijk aangebracht op de muren van gebouwen, zoals stadhuizen, koepels en kerktorens, waar ze van veraf gemakkelijk te zien zijn. In sommige gevallen worden verticale wijzerplaten aan alle vier zijden van een rechthoekige toren geplaatst, zodat de tijd de hele dag door kan worden afgelezen. De wijzerplaat kan op de muur geschilderd zijn, of in ingelegde steen zijn aangebracht; de gnomon is vaak een enkele metalen staaf, of een drievoet van metalen staven voor de stevigheid. Als de muur van het gebouw naar het zuiden is gericht, maar niet pal naar het zuiden, zal de gnomon niet op de middaglijn liggen, en moeten de uurlijnen worden gecorrigeerd. Omdat de stijl van de gnomon evenwijdig moet zijn met de aardas, “wijst” hij altijd naar het ware noorden en is zijn hoek met de horizontaal gelijk aan de geografische breedtegraad van de zonnewijzer; op een zonnewijzer die recht naar het zuiden is gericht, is zijn hoek met het verticale vlak van de zonnewijzer gelijk aan de colatitude, of 90° min de breedtegraad.

polaire zonnewijzers

Bij polaire zonnewijzers is het schaduw-ontvangstvlak evenwijdig aan de gnomon-stijl gericht. De schaduw glijdt dus zijwaarts over het oppervlak en beweegt loodrecht op zichzelf als de zon om de stijl draait. Net als bij de gnomon zijn de uurlijnen allemaal uitgelijnd met de draaias van de aarde. Wanneer de zonnestralen bijna evenwijdig aan het vlak zijn, beweegt de schaduw zeer snel en staan de uurlijnen ver uit elkaar. De wijzerplaten die direct naar het oosten en naar het westen zijn gericht, zijn voorbeelden van een polaire wijzerplaat. Het vlak van een polaire zonnewijzer hoeft echter niet verticaal te zijn, het hoeft alleen evenwijdig te zijn met de gnomon. Een vlak onder de breedtegraad (ten opzichte van de horizontaal) met een even grote helling onder de gnomon zal dus een poolwijzerplaat zijn. De loodrechte afstand X van de uurlijnen in het vlak wordt beschreven door de formule

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {Displaystyle X=H\tan(15^{circ } × t)}

waarbij H de hoogte van de poolstijl boven het vlak is, en t de tijd (in uren) voor of na de centrumtijd voor de poolstijl. De centrumtijd is het tijdstip waarop de schaduw van de poolstijl rechtstreeks op het vlak valt; voor een wijzerplaat die naar het oosten is gericht is de centrumtijd 6 uur ’s morgens, voor een wijzerplaat die naar het westen is gericht is dit 6 uur ’s avonds, en voor de schuine wijzerplaat die hierboven is beschreven is dit het middaguur. Wanneer t ±6 uur van de centrumtijd verwijderd is, divergeert de afstand X naar +∞; dit gebeurt wanneer de zonnestralen evenwijdig worden aan het vlak.

Verticaal aflopende zonnewijzersEdit

Een afwijkende zonnewijzer is een niet-horizontale, vlakke zonnewijzer die niet in een kardinale richting is gericht, zoals het (ware) noorden, zuiden, oosten of westen. Zoals gebruikelijk is de stijl van de gnomon uitgelijnd met de rotatieas van de aarde, maar de uurlijnen zijn niet symmetrisch om de uurlijn van het middaguur. Voor een verticale zonnewijzer wordt de hoek H VD {{\displaystyle H_{text{VD}}} tussen de middaguurlijn en een andere uurlijn gegeven door de onderstaande formule. Merk op dat H VD {H_{\text{VD}} positief gedefinieerd is in wijzerzin t.o.v. de bovenste verticale uurhoek en dat de omrekening naar het equivalente zonne-uur zorgvuldig moet gebeuren in welk kwadrant van de zonnewijzer dat kwadrant thuishoort.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {\displaystyle \tan H_{text{VD}}={\frac {cos L}{cos D}cot(15^{\circ }]-times t)-s_{o}sin L}} tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {Displaystyle \tan H_{\text{V}}=cos L}cot(15^{\text{V}})- tan (15 ∘ × t)}

Als een zonnewijzer niet met een kardinale richting is uitgelijnd, is de substijl van zijn gnomon niet met de middaguurlijn uitgelijnd. De hoek B tussen de substijl en de middaguurlijn wordt gegeven door de formule

tan B = sin D cot L {Displaystyle \an B=sin Dcot L}

De hoogte van de gnomon, dat is de hoek die de stijl maakt met de plaat, G {Displaystyle G} wordt gegeven door :

sin G = cos D cos L {\sin G=cos D cos L}

Liggende zonnewijzersEdit

De hierboven beschreven zonnewijzers hebben gnomons die op de draaiingsas van de aarde zijn gericht en hun schaduw op een vlak werpen. Als dat vlak noch verticaal, noch horizontaal, noch equatoriaal is, is de zonnewijzer zogezegd liggend of hellend. Zo’n zonnewijzer kan zich bijvoorbeeld op een dak op het zuiden bevinden. De uurlijnen voor zo’n zonnewijzer kunnen worden berekend door de horizontale formule hierboven lichtjes te corrigeren

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=(L+R)\tan(15^{\times t)}

waarbij R {\displaystyle R} de gewenste hoek is ten opzichte van de plaatselijke verticaal, L de geografische breedtegraad van de zonnewijzer, H R V {\displaystyle H_{RV}} de hoek tussen een gegeven uurlijn en de middaguurlijn (die altijd naar het noorden wijst) op het vlak, en t het aantal uren voor of na het middaguur. Bijvoorbeeld, de hoek H R V {Displaystyle H_{RV}} van de uurlijn om 3 uur ’s middags zou gelijk zijn aan de arctangens van cos(L + R), omdat tan 45° = 1. Als R gelijk is aan 0° (met andere woorden, een naar het zuiden gerichte verticale zonnewijzer), dan krijgen we de bovenstaande formule voor de verticale zonnewijzer.

Sommige auteurs gebruiken een meer specifieke nomenclatuur om de oriëntatie van het schaduw-ontvangende vlak te beschrijven. Als het vlak van de zonnewijzer naar beneden wijst, zegt men dat het naar de grond is gericht, terwijl een zonnewijzer naar de grond is gericht als de wijzerplaat naar de grond is gericht. Veel auteurs spreken ook wel van hellende zonnewijzers in het algemeen en van proclinerende zonnewijzers in het algemeen. In het laatste geval is het ook gebruikelijk om de inclinatiehoek ten opzichte van het horizontale vlak aan de zonzijde van de zonnewijzer te meten.Omdat I = 90° + R wordt in dergelijke teksten de formule voor de uurhoek vaak geschreven als :

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {Displaystyle \tan H_{RV}=sin(L+I)\tan(15^{\circ } maal t)}

De hoek tussen de stijl van de gnomon en de zonnewijzerplaat, B, is bij dit type zonnewijzer :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {Displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}

Of :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {Displaystyle B=180^{\circ }-(L+I)}

Declining-reclining zonnewijzers/declining-inclining zonnewijzersEdit

Sommige zonnewijzers zijn zowel declining als declining, in die zin dat hun schaduw-ontvangstvlak niet georiënteerd is op een kardinale richting (zoals het ware noorden of het ware zuiden) en noch horizontaal, noch verticaal, noch equatoriaal is. Zo’n zonnewijzer kan zich bijvoorbeeld bevinden op een dak dat niet in een kardinale richting is georiënteerd.

De formules die de afstand tussen de uurlijnen op zulke zonnewijzers beschrijven zijn wat ingewikkelder dan die voor eenvoudiger zonnewijzers.

Er zijn verschillende oplossingsrichtingen, waaronder een aantal met behulp van de methoden van rotatiematrices, en een aantal die een 3D model maken van het liggend-liggend vlak en zijn verticaal dalend tegenvlak, waarbij de geometrische relaties tussen de uurhoekcomponenten op deze beide vlakken worden geëxtraheerd en vervolgens de goniometrische algebra wordt gereduceerd.

Eén systeem van formules voor liggende zonnewijzers: (zoals gesteld door Fennewick)

De hoek H RD {Displaystyle H_{\text{RD}}} tussen de middaguurlijn en een andere uurlijn wordt gegeven door de formule hieronder. Merk op dat H RD {\an H_{\an H_{RD}}} tegen de wijzers van de klok in verschuift ten opzichte van de nul uurhoek voor zonnewijzers die gedeeltelijk naar het zuiden zijn gericht en met de wijzers van de klok mee voor zonnewijzers die naar het noorden zijn gericht.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\cos R\cos L-\sinus rsinus l-s_{o}sinus rsinus dcot(15{o}sinus t)}{sinus dcot(15{o}sinus dsinus l)-s_{o}sinus d}}

binnen de parameterbereiken : D < D c {{displaystyle D<D_{c}} en – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {{displaystyle -90^{\circ }<R<(90^{\circ }-L)} .

tan H RD = sin I cos L + cos I sin L cos D + s o cos I sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {Displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {{sin I}cos L+cos I}sin L+s_{o}}sin D+s_{o}s_{o}sin D\sin L}}

binnen de parameterbereiken : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} en 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {\displaystyle 0^{\circ }<I<(180^{\circ }-L)} .

Hierbij is L {{\displaystyle L}} de geografische breedtegraad van de zonnewijzer; s o {\displaystyle s_{o}} is het gehele getal van de oriëntatieschakelaar; t is de tijd in uren voor of na het middaguur; en R {\displaystyle R}} en D {\displaystyle D}} zijn respectievelijk de inclinatie- en declinatiehoeken.Merk op dat R {\displaystyle R} wordt gemeten ten opzichte van de verticaal. Hij is positief als de zonnewijzer achterover leunt naar de horizon achter de zonnewijzer en negatief als de zonnewijzer voorover leunt naar de horizon aan de kant van de zon. Declinatiehoek D {Displaystyle D} is positief als de zonnewijzer ten oosten van het ware zuiden staat. Wijzerplaten die geheel of gedeeltelijk naar het zuiden zijn gericht hebben s o {Displaystyle s_{o}} = +1, terwijl wijzerplaten die geheel of gedeeltelijk naar het noorden zijn gericht een s o {Displaystyle s_{o}} waarde van -1 hebben.Omdat de bovenstaande uitdrukking de uurhoek als een arctan functie weergeeft moet goed worden overwogen tot welk kwadrant van de zonnewijzer elk uur behoort voordat de juiste uurhoek wordt toegekend.

In tegenstelling tot de eenvoudigere verticaal dalende zonnewijzer toont dit type zonnewijzer niet altijd uurhoeken op het zonnewijzervlak voor alle declinaties tussen oost en west. Wanneer een zonnewijzer van het noordelijk halfrond die gedeeltelijk naar het zuiden is gericht achterover helt (dus van de zon af) ten opzichte van de verticaal, zal de gnomon co-planair worden met de zonnewijzerplaat bij declinaties minder dan pal oost of pal west. Hetzelfde geldt voor zonnewijzers op het zuidelijk halfrond die gedeeltelijk naar het noorden gericht zijn. Als deze zonnewijzers naar voren hellen zou het declinatiebereik groter zijn dan het rechte oosten en het rechte westen. Op een vergelijkbare manier zullen zonnewijzers op het noordelijk halfrond die gedeeltelijk naar het noorden hellen en zonnewijzers op het zuidelijk halfrond die naar voren hellen naar hun naar boven gerichte gnomon een vergelijkbare beperking hebben op het declinatiebereik dat mogelijk is voor een gegeven declinatiewaarde.De kritische declinatie D c {Displaystyle D_{c}} is een geometrische beperking die afhangt van de waarde van de inclinatie en de breedtegraad van de zonnewijzer :

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {Displaystyle \cos D_{c}== R\tan L=-\tan L\cot I}

Zoals bij de verticale declinatiewijzer is de substijl van de gnomon niet uitgelijnd met de uurlijn van de middag. De algemene formule voor de hoek B tussen de substijl en de middellijn wordt gegeven door :

tan B = sin D sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\displaystyle \tan B={\frac {\sin D}{\sin R\cos D+\sin R\tan L}}={\frac {\sin D}{\cos I\cos D-\sin I\tan L}}}

De hoek G tussen de stijl en de plaat wordt gegeven door :

sin G = cos L cos D cos R – sin L sin R = – cos L cos D sin I + sin L cos I {\displaystyle \sin G=\cos L\cos D\cos R-\sin L\sin R=-\cos L\cos D\sin I+\sin L\cos I}}

Merk op dat voor G = 0 ∘ {\displaystyle G=0^{\circ }} , d.w.z. wanneer de gnomon coplanair is met de schaalplaat, hebben we :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {{\displaystyle \cos D=tan L\tan R=-\tan L\cot I}

d.w.z. wanneer D = D c {D_{c}} de kritische declinatiewaarde.

Empirische methodeEdit

Vanwege de complexiteit van de bovenstaande berekeningen is het gebruik ervan voor het praktische doel van het ontwerpen van een zonnewijzer van dit type moeilijk en foutgevoelig. Er is gesuggereerd dat het beter is om de uurlijnen empirisch te bepalen, door de posities van de schaduw van een stijl op een echte zonnewijzer te markeren met intervallen van een uur, zoals aangegeven door een klok, en de tijdvereffening van die dag erbij op te tellen en af te trekken. Zie Empirische uurlijnmarkering, hierboven.

Sferische zonnewijzersEdit

Het oppervlak dat de schaduw ontvangt hoeft geen vlak te zijn maar kan elke vorm hebben mits de maker van de zonnewijzer bereid is de uurlijnen te markeren. Als de stijl is gericht op de draaias van de aarde is een bolvorm handig omdat de uurlijnen dan op gelijke afstand van elkaar liggen, zoals op de equatoriale zonnewijzer hierboven; de zonnewijzer is dan equiangular. Dit is het principe achter de armillosfeer en de equatoriale boogzonnewijzer. Sommige equiangular zonnewijzers, zoals de hieronder beschreven Lambert zonnewijzer, zijn echter op andere principes gebaseerd.

In de equatoriale boogzonnewijzer is de gnomon een staaf, een gleuf of een gespannen draad evenwijdig aan de hemelas. Het vlak is een halve cirkel, die overeenkomt met de evenaar van de bol, met markeringen op het binnenoppervlak. Dit patroon, een paar meter breed opgebouwd uit temperatuursonafhankelijk staal invar, werd gebruikt om de treinen in Frankrijk voor de Eerste Wereldoorlog op tijd te laten rijden.

Tot de meest nauwkeurige zonnewijzers die ooit zijn gemaakt behoren twee equatoriale bogen van marmer die in Yantra mandir zijn gevonden. Deze verzameling zonnewijzers en andere astronomische instrumenten werd gebouwd door Maharaja Jai Singh II in zijn toen nieuwe hoofdstad Jaipur, India tussen 1727 en 1733. De grootste equatoriale boog wordt de Samrat Yantra (het opperste instrument) genoemd; op 27 meter hoogte beweegt zijn schaduw zichtbaar met 1 mm per seconde, of ongeveer een handbreedte (6 cm) per minuut.

Cilindrische, conische en andere niet-vlakke zonnewijzersEdit

Overige niet-vlakke oppervlakken kunnen worden gebruikt om de schaduw van de gnomon op te vangen.

Als elegant alternatief kan de stijl (die zou kunnen worden gecreëerd door een gat of spleet in de omtrek) worden geplaatst op de omtrek van een cilinder of bol, in plaats van op de centrale symmetrieas ervan.

In dat geval zijn de uurlijnen weer op gelijke afstand van elkaar, maar onder tweemaal de gebruikelijke hoek, als gevolg van de geometrische ingeschreven hoek stelling. Dit is de basis van sommige moderne zonnewijzers, maar het werd ook in de oudheid gebruikt;

In een andere variatie van de poolas-gerichte cilindrische, kan een cilindrische zonnewijzer worden weergegeven als een spiraalvormig lintvormig oppervlak, met een dunne gnomon langs het centrum of aan de periferie.