Physics

Posted on

Learning Objectives

Aan het eind van dit deel, zul je in staat zijn:

  • Het lineaire momentum van een foton te relateren aan zijn energie of golflengte, en het behoud van het lineaire momentum toe te passen op eenvoudige processen waarbij fotonen worden uitgezonden, geabsorbeerd of gereflecteerd.
  • Reken kwalitatief de toename van de golflengte van fotonen die wordt waargenomen, en verklaar de betekenis van de Compton-golflengte.

Meten van het fotonmoment

Het kwantum van EM-straling dat we een foton noemen heeft eigenschappen analoog aan die van deeltjes die we kunnen zien, zoals zandkorrels. Een foton interageert als een eenheid in botsingen of wanneer het geabsorbeerd wordt, eerder dan als een uitgebreide golf. Massieve kwanta’s, zoals elektronen, gedragen zich ook als macroscopische deeltjes – iets wat we verwachten, omdat zij de kleinste eenheden van materie zijn. Deeltjes dragen zowel momentum als energie. Hoewel fotonen geen massa hebben, is er al lang bewijs dat EM-straling momentum draagt. (Maxwell en anderen die EM-golven bestudeerden, voorspelden dat zij impulsen zouden dragen). Het is nu een vaststaand feit dat fotonen een momentum hebben. Het momentum van fotonen wordt in feite gesuggereerd door het foto-elektrisch effect, waarbij fotonen elektronen uit een stof stoten. Figuur 1 toont macroscopisch bewijs van fotonenmomentum.

Figuur 1. De staarten van de Hale-Bopp komeet wijzen weg van de zon, een bewijs dat licht momentum heeft. Stof afkomstig van het lichaam van de komeet vormt deze staart. De stofdeeltjes worden van de zon weggeduwd door het licht dat van hen weerkaatst. De blauwe geïoniseerde gasstaart wordt ook geproduceerd door fotonen die een wisselwerking hebben met atomen in het materiaal van de komeet. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Figuur 1 toont een komeet met twee prominente staarten. Wat de meeste mensen niet weten over de staarten is dat ze altijd van de zon af wijzen in plaats van achter de komeet aan te lopen (zoals de staart van het schaap van Bo Peep). Komeetstaarten zijn samengesteld uit gassen en stof die verdampt zijn uit het lichaam van de komeet en geïoniseerd gas. De stofdeeltjes stoten weg van de zon wanneer fotonen van hen verstrooien. Het is duidelijk dat fotonen een impuls in de richting van hun beweging (weg van de zon) dragen, en een deel van deze impuls wordt bij botsingen op stofdeeltjes overgebracht. Gasatomen en moleculen in de blauwe staart worden het meest beïnvloed door andere stralingsdeeltjes, zoals protonen en elektronen die van de Zon afkomstig zijn, en niet zozeer door het momentum van fotonen.

Making Connections: Behoud van momentum

Niet alleen is momentum behouden in alle gebieden van de natuurkunde, maar alle soorten deeltjes blijken momentum te hebben. We verwachten dat deeltjes met massa momentum hebben, maar nu zien we dat massaloze deeltjes, waaronder fotonen, ook momentum hebben.

Figuur 2. Het Compton-effect is de naam die wordt gegeven aan de verstrooiing van een foton door een elektron. Energie en momentum worden behouden, wat resulteert in een vermindering van beide voor het verstrooide foton. Door dit effect te bestuderen, controleerde Compton dat fotonen momentum hebben.

Momentum wordt behouden in de kwantummechanica, net zoals het dat is in de relativiteit en de klassieke natuurkunde. Een van de vroegste directe experimentele bewijzen hiervoor kwam van de verstrooiing van röntgenfotonen door elektronen in stoffen, Comptonverstrooiing genoemd naar de Amerikaanse natuurkundige Arthur H. Compton (1892-1962). Rond 1923 nam Compton waar dat röntgenstralen die door materialen werden verstrooid een verminderde energie hadden en hij analyseerde dit correct als het gevolg van de verstrooiing van fotonen door elektronen. Dit verschijnsel kon worden behandeld als een botsing tussen twee deeltjes – een foton en een elektron in rust in het materiaal. Energie en momentum worden bij de botsing behouden. (Zie figuur 2) Hij won een Nobelprijs in 1929 voor de ontdekking van deze verstrooiing, die nu het Compton effect wordt genoemd, omdat hij mede heeft bewezen dat het momentum van het foton wordt gegeven door p=, waarbij h de constante van Planck is en λ de golflengte van het foton. (Merk op dat het relativistisch impulsmoment p = γmu alleen geldt voor deeltjes met massa.)

We zien dat het fotonmoment klein is, want p=\frac{h}{\lambda}\ en h is heel klein. Daarom nemen we het foton momentum gewoonlijk niet waar. Onze spiegels kaatsen niet terug als er licht op weerkaatst wordt (behalve misschien in tekenfilms). Compton zag de effecten van fotonenmomentum omdat hij röntgenstralen, die een kleine golflengte en een relatief groot momentum hebben, zag interageren met het lichtste deeltje, het elektron.

Voorbeeld 1. Vergelijking van elektron- en fotonmoment

  1. Bereken het momentum van een zichtbaar foton met een golflengte van 500 nm.
  2. Bereken de snelheid van een elektron met hetzelfde momentum.
  3. Wat is de energie van het elektron, en hoe verhoudt die zich tot de energie van het foton?

Strategie

Het bepalen van het foton-momentum is een eenvoudige toepassing van de definitie ervan: p={{h}{\lambda}}. Als het momentum van het foton klein is, dan kunnen we aannemen dat een elektron met hetzelfde momentum niet-relativistisch zal zijn, zodat de snelheid en de kinetische energie van dat elektron eenvoudig uit de klassieke formules kunnen worden berekend.

Oplossing voor deel 1

Het momentum van het foton wordt gegeven door de vergelijking: p=\frac{h}{\lambda}\.

Invoeren van de gegeven golflengte van het foton levert

{p}={6,63 maal10^{-34} J}{ 500 maal10^{-9}{ m}}=1.33

Oplossing voor deel 2

Omdat dit momentum inderdaad klein is, gebruiken we de klassieke uitdrukking p = mv om de snelheid van een elektron met dit momentum te vinden. Oplossen voor v en gebruik maken van de bekende waarde voor de massa van een elektron geeft

v={p}{m}={1,33 maal10^{-27}{ kg}{9.11 Keer10^{-31} kg}=1460 m/s}

Oplossing voor deel 3

Het elektron heeft kinetische energie, die klassiek gegeven is door \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2.

Dus, \text{KE}_e={1}{2}(9,11 keer10^{-3}kg}(1455 m/s)(rechts)^2=9.64 maal10^{25}J}.

Vermenigvuldigd met 1 eV}1,602 maal10^{19}J} geeft KEe = 6,02 × 10-6 eV.

De fotonenergie E is

E=1240 eV}{ 500 nm}}=2.Dat is ongeveer vijf orden van grootte groter.

Discussie

Photon momentum is inderdaad klein. Zelfs als we er enorme aantallen van hebben, is het totale momentum dat ze dragen klein. Een elektron met hetzelfde impulsmoment heeft een snelheid van 1460 m/s, wat duidelijk niet-relativistisch is. Een massiever deeltje met hetzelfde impulsmoment zou een nog kleinere snelheid hebben. Dit wordt bevestigd door het feit dat er veel minder energie nodig is om een elektron hetzelfde momentum te geven als een foton. Maar op kwantum-mechanische schaal, vooral voor fotonen met hoge energie die in wisselwerking staan met kleine massa’s, is het foton-momentum significant. Zelfs op grote schaal kan het fotonmomentum een effect hebben als er genoeg fotonen zijn en als er niets is dat de langzame terugslag van materie verhindert. Komeetstaarten zijn één voorbeeld, maar er zijn ook voorstellen om ruimtezeilen te bouwen die gebruik maken van enorme spiegels met een lage massa (gemaakt van gealuminiseerd Mylar) om zonlicht te weerkaatsen. In het vacuüm van de ruimte zouden de spiegels geleidelijk terugspringen en ruimtevaartuigen daadwerkelijk van plaats naar plaats in het zonnestelsel kunnen brengen. (Zie figuur 3.)

Figuur 3. (a) Er zijn ruimtezeilen voorgesteld die gebruik maken van het momentum van zonlicht dat weerkaatst wordt door gigantische zeilen met een lage massa om ruimtevaartuigen door het zonnestelsel voort te stuwen. Een Russisch testmodel hiervan (de Cosmos 1) werd in 2005 gelanceerd, maar geraakte niet in een baan om de aarde door een raketstoring. (b) Een Amerikaanse versie hiervan, LightSail-1 genaamd, is gepland voor proeflanceringen in het eerste deel van dit decennium. Het zal een zeil van 40 m2 hebben. (credit: Kim Newton/NASA)

Relativistisch fotonmomentum

Er is een verband tussen fotonmomentum p en fotonenergie E dat consistent is met het verband dat eerder is gegeven voor de relativistische totale energie van een deeltje als E2 = (pc)2 + (mc)2. We weten dat m nul is voor een foton, maar p niet, zodat E2 = (pc)2 + (mc)2 wordt E = pc, of p=(fotonen).

Om de geldigheid van deze relatie te controleren, zien we dat E=(foton). Als we dit substitueren in p=\frac{E}{c}, krijgen we

p=\frac{hc}{\lambda}}{c}=\frac{h}{\lambda}},

zoals experimenteel bepaald en hierboven besproken. Derhalve is p=E/c gelijk aan Compton’s resultaat p=h/λ. Voor een verdere verificatie van de relatie tussen fotonenergie en -momentum, zie voorbeeld 2.

Fotondetectoren

Alle tot nu toe besproken detectiesystemen – ogen, fotografische platen, fotomultiplicatorbuizen in microscopen, en CCD camera’s – berusten op deeltjesachtige eigenschappen van fotonen die in wisselwerking staan met een gevoelig gebied. Er wordt een verandering veroorzaakt en ofwel wordt de verandering gecascadeerd ofwel worden ziljoenen punten geregistreerd om een beeld te vormen dat we waarnemen. Deze detectoren worden gebruikt in biomedische beeldvormingssystemen, en er wordt voortdurend onderzoek gedaan naar verbetering van de efficiëntie van de ontvangst van fotonen, met name door de detectiesystemen te koelen en de thermische effecten te verminderen.

Voorbeeld 2. Fotonenergie en -moment

Ontdek dat p=\frac{E}{c} voor het foton uit voorbeeld 1.

Strategie

We nemen de energie E uit voorbeeld 1, delen die door de lichtsnelheid, en kijken of we dan hetzelfde momentum krijgen als voorheen.

Oplossing

Gezien het feit dat de energie van het foton 2,48 eV is en dit omgerekend naar joule, krijgen we

p=\frac{E}{c}=

p=\frac{E}{c}48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.Deze waarde voor het impulsmoment is dezelfde als eerder gevonden (merk op dat in alle berekeningen onafgeronde waarden worden gebruikt om zelfs kleine afrondingsfouten te voorkomen), een verwachte bevestiging van de relatie p=E}{c}. Dit betekent ook dat de relatie tussen energie, momentum en massa gegeven door E2 = (pc)2 + (mc)2 van toepassing is op zowel materie als fotonen. Merk nogmaals op dat p niet nul is, zelfs als m dat wel is.

Suggestie voor het oplossen van problemen

Merk op dat de vormen van de constanten h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s en hc = 1240 eV ⋅ nm bijzonder nuttig kunnen zijn voor de Problemen en Oefeningen van dit hoofdstuk.

Samenvatting van het hoofdstuk

  • Fotonen hebben een impulsmoment, gegeven door p=\frac{h}{lambda}}, waarbij λ de golflengte van het foton is.
  • Fotonenergie en impulsmoment hangen samen door p=\frac{E}{c}}, waarbij E=hf=\frac{hc}{lambda}} voor een foton.

Conceptuele vragen

  1. Welke formule kan gebruikt worden voor het momentum van alle deeltjes, met of zonder massa?
  2. Is er een meetbaar verschil tussen het momentum van een foton en het momentum van materie?
  3. Waarom voelen we het impulsmoment van zonlicht niet als we op het strand liggen?

Opgaven & Oefeningen

  1. (a) Bereken het impulsmoment van een microgolffoton met een golflengte van 4,00 cm. (b) Bespreek waarom je verwacht dat het antwoord op (a) heel klein is.
  2. (a) Wat is het impulsmoment van een foton met een golflengte van 0,0100-nm dat details van een atoom zou kunnen waarnemen? (b) Wat is de energie ervan in MeV?
  3. (a) Wat is de golflengte van een foton dat een momentum heeft van 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Bereken de energie in eV.
  4. (a) Een γ-stralingsfoton heeft een impuls van 8,00 × 10-21 kg – m/s. Wat is de golflengte? (b) Bereken de energie ervan in MeV.
  5. (a) Bereken het impulsmoment van een foton met een golflengte van 2,50 μm. (b) Bereken de snelheid van een elektron met hetzelfde momentum. (c) Wat is de kinetische energie van het elektron, en hoe verhoudt die zich tot die van het foton?
  6. Herhaal de vorige opgave voor een foton met een golflengte van 10,0 nm.
  7. (a) Bereken de golflengte van een foton dat hetzelfde impulsmoment heeft als een proton dat met 1,00% van de lichtsnelheid beweegt. (b) Wat is de energie van het foton in MeV? (c) Wat is de kinetische energie van het proton in MeV?
  8. (a) Bereken het momentum van een röntgenfoton van 100 kV. (b) Bereken de equivalente snelheid van een neutron met hetzelfde momentum. (c) Wat is de kinetische energie van het neutron in keV?
  9. Neem de verhouding van relativistische rust-energie, E = γmc2, en relativistisch impulsmoment, p = γmu, en laat zien dat in de limiet dat de massa nul nadert, je \frac{E}{p}=c6503>
  10. Bedenk je eigen probleem. Beschouw een ruimtezeil zoals genoemd in voorbeeld 1. Construeer een probleem waarin je de lichtdruk op het zeil in N/m2 berekent die ontstaat door weerkaatsing van zonlicht. Bereken ook de kracht die geproduceerd zou kunnen worden en hoeveel effect dat zou hebben op een ruimteschip. Denk onder andere aan de intensiteit van het zonlicht, de gemiddelde golflengte ervan, het aantal fotonen per vierkante meter dat dit oplevert, de oppervlakte van het ruimtezeil, en de massa van het systeem dat versneld wordt.
  11. Onredelijke resultaten. Een auto voelt een kleine kracht als gevolg van het licht dat hij uitzendt uit zijn koplampen, gelijk aan het momentum van het licht gedeeld door de tijd waarin het wordt uitgezonden. (a) Bereken de kracht van elk van de koplampen, als zij een totale kracht van 2,00 × 10-2 N achterwaarts op de auto uitoefenen. (b) Wat is er onredelijk aan dit resultaat? (c) Welke aannames zijn onredelijk of inconsistent?

Glossary

fotonmomentum: de hoeveelheid momentum die een foton heeft, berekend door p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}

Compton effect: het verschijnsel waarbij röntgenstralen die door materialen worden verstrooid een verminderde energie hebben

Selected Solutions to Problems & Exercises

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) De golflengte van microgolffotonen is groot, zodat het momentum dat zij dragen zeer klein is.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; b) 291 m/s; c) elektron 3,86 × 10-26 J, foton 7,96 × 10-20 J, verhouding 2,06 × 106

7. a) 1,32 × 10-13 m; b) 9,39 MeV; c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 en P = γmu, dus

Als de massa van het deeltje nul nadert, zal zijn snelheid u c benaderen, zodat de verhouding tussen energie en momentum in deze limiet

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Koplampen zijn veel te fel; (c) Kracht is te groot.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.