De basisconstructie in deze paragraaf is het scalair product, dat hoeken tussen vectoren meet en de lengte van een vector berekent.
Definitie
Het scalair product van twee vectoren x,y in Rn is
Als we x,y als kolomvectoren beschouwen, is dit hetzelfde als xTy.
Voorbeeld,
Merk op dat het scalair product van twee vectoren een scalair is.
U kunt rekenen met dotproducten zoals u gewend bent, als u maar weet dat u alleen twee vectoren met elkaar kunt doteren, en dat het resultaat een scalair is.
Eigenschappen van het dotproduct
Zie x,y,z als vectoren in Rn en laat c een scalair zijn.
- Commutativiteit: x-y=y-x.
- Verdelbaarheid met optelling: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Verdelbaarheid met scalaire vermenigvuldiging: (cx)-y=c(x-y).
Het scalair product van een vector met zichzelf is een belangrijk speciaal geval:
Voor elke vector x geldt dus:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Dit leidt tot een goede definitie van lengte.
feit
De lengte van een vector x in Rn is het getal
Het is gemakkelijk in te zien waarom dit geldt voor vectoren in R2, door de stelling van Pythagoras.
Voor vectoren in R3 kan men nagaan dat AxA werkelijk de lengte van x is, al vereist dit nu twee toepassingen van de stelling van Pythagoras.
Merkt men op dat de lengte van een vector de lengte van de pijl is; denkt men in punten, dan is de lengte de afstand tot de oorsprong.
feit
Als x een vector is en c een scalair, dan is AcxA=|c|-AxA.
Dit zegt dat schalen van een vector met c de lengte schaalt met |c|. Bijvoorbeeld,
Nu we een goed begrip van lengte hebben, kunnen we de afstand tussen punten in Rn definiëren. Bedenk dat het verschil tussen twee punten x,y natuurlijk een vector is, namelijk de vector y-x die van x naar y wijst.
Definitie
De afstand tussen twee punten x,y in Rn is de lengte van de vector van x naar y:
Vectoren met lengte 1 komen in toepassingen heel vaak voor, dus geven we ze een naam.
Definitie
Een eenheidsvector is een vector x met lengte AxA=Bx-x=1.
De standaardcoördinatenvectoren e1,e2,e3,… zijn eenheidsvectoren:
Voor elke niet nul vector x is er een unieke eenheidsvector die in dezelfde richting wijst. Deze wordt verkregen door te delen door de lengte van x.
Feit
Laat x een niet-nulvector in Rn zijn. De eenheidsvector in de richting van x is de vector x/AxA.
Dit is in feite een eenheidsvector (waarbij opvalt dat AxA een positief getal is, dus CC1/AxACC=1/AxA):