In mijn vorige bericht over een zwevende Saturnus liet ik doorschemeren dat ik kon schrijven over de methoden die we kunnen gebruiken om de dichtheid van Saturnus te vinden. Oh, en nogmaals, de dichtheid van Saturnus is lager dan de dichtheid van water op aarde – maar het zou niet drijven.
Ter herinnering, we definiëren dichtheid als:
Dit betekent dat we eigenlijk twee dingen moeten bepalen. Ten eerste hebben we de massa van Saturnus nodig. Ten tweede hebben we het volume nodig. Het volume kunnen we bepalen als we de straal van Saturnus weten.
Volume
Technisch gezien is Saturnus niet perfect bolvormig. De afstand van het middelpunt tot de evenaar is groter dan de afstand van het middelpunt tot de pool. Dat komt omdat Saturnus ronddraait en geen star object is. Denk aan ronddraaiend pizzadeeg – hetzelfde, alleen is het Saturnus. Je kunt eigenlijk zowel de polaire als de equatoriale straal meten aan de hand van hetzelfde idee – maar ik ga gewoon doen alsof Saturnus een bol is.
Als het een bol is, dan zou het volume zijn:
Maar hoe kom je aan de straal (of diameter). De eerste stap is te kijken naar de hoekgrootte. Als je de hoekgrootte van een voorwerp kent en de afstand tot dat voorwerp, kun je de grootte vinden. Hier is een plaatje dat ik verschillende keren heb gebruikt en dat dit verband laat zien.
Dus, als het voorwerp ver genoeg weg is of klein genoeg dan zal de hoogte (of lengte) ongeveer de booglengte zijn van een cirkel met een straal die gelijk is aan de afstand. De grootte van het object is dan gewoon de hoekgrootte vermenigvuldigd met de afstand tot het object.
Maar hoe meet je eigenlijk de hoekgrootte? Welnu, als je een foto hebt, moet je het beeldveld van je camera kennen – ik heb dit proefondervindelijk gedaan met een iPhone. In dagen voor camera’s kon je gewoon een telescoop gebruiken. Het is niet zo moeilijk om de hoekvergroting met een lens te meten. Je hoeft alleen maar het beeldveld van de lens te bepalen en daar wat markeringen op te zetten zodat je de fractie van het veld kunt schatten voor de hoekgrootte van het object.
Dit is geweldig, maar het hangt af van iets dat nogal belangrijk is. Hoe ver weg staat Saturnus? Dit is waar Johannes Kepler in het verhaal komt. Aan de hand van de beschikbare gegevens kwam Kepler met drie modellen voor de beweging van objecten in het zonnestelsel.
- Het pad van een object in het zonnestelsel is een ellips met de zon in het brandpunt.
- Als een object dichter bij de zon komt, gaat het sneller. Kepler ging nog verder en zei dat voor een gegeven tijdsinterval het hemellichaam hetzelfde gebied zou uitvegen, ongeacht waar het zich in zijn baan bevond.
- De omlooptijd is gerelateerd aan de omloopafstand (halve lange as). In feite is het kwadraat van de periode evenredig met (maar niet gelijk aan) de kubus van de halve lange as.
De Wetten van Kepler over de beweging van planeten zijn geen nieuwe natuurkunde. Als u wilt, zou u dezelfde wetten kunnen krijgen met behulp van het momentumprincipe en de gravitatiekracht die evenredig is met één over de afstand in het kwadraat. Maar de wetten werken en het is de laatste wet die hier nuttig is. Als ik de omlooptijd van Saturnus en de Aarde weet, dan kan ik schrijven:
De T is het gebruikelijke natuurkundige symbool voor de periode en de tijdseenheden doen er niet echt toe. De evenredigheidsconstante, k, valt weg als ik de ene vergelijking deel door de andere. Uiteindelijk heb ik een uitdrukking voor de halve hoofdas van Saturnus. Als Saturnus in een cirkelbaan zou zijn, dan zou dit de straal en de afstand tot de zon zijn. Maar ik heb niet echt de afstand van de aarde tot Saturnus. Ik kan de afstand tot Saturnus berekenen aan de hand van de afstand van de zon tot de aarde. Om het wat makkelijker te maken, noemen we deze afstand Aarde-Zon 1 Astronomische Eenheid (AU). Dat is mooi en aardig, maar als ik die eenheid (AE) gebruik voor de grootte van Saturnus, dan zou ik de dichtheid in een of andere vreemde eenheid krijgen – kg/AU3. Om de dichtheid van Saturnus met water te kunnen vergelijken, hebben we de afstand in iets bruikbaars nodig – zoals meters of misschien meters.
Hoe vind je de waarde van 1 AU in meters? Er zijn verschillende manieren. Eén manier om deze afstand te vinden is de Griekse manier. Ja, Griekse astronomen deden dit ergens rond 500 voor Christus. Hier is een korte versie van hoe zij het deden:
- Gebruik schaduwen op verschillende plaatsen op de Aarde om de straal van de Aarde te bepalen.
- Aanname dat de maan in een cirkel rond de Aarde beweegt. Bepaal het verschil tussen de berekende positie (gebaseerd op het middelpunt van de aarde) en de werkelijke positie (gemeten vanaf het oppervlak) om de afstand (en grootte) van de maan te bepalen.
- Bepaal de hoek tussen de zon en de maan wanneer de maanstand een kwart is. Dit maakt een rechthoekige driehoek. Als de afstand van de aarde tot de maan al bekend is, kun je de afstand (en grootte) van de maan bepalen.
Hier is een oudere post die meer details van deze metingen laat zien. Misschien zie je het probleem van deze methode al. Als je metingen niet kloppen voor de grootte van de Aarde, dan klopt al het andere niet. De Grieken bepaalden de afstand tot de Zon niet erg nauwkeurig.
Een betere manier om de afstand Aarde-Zon te bepalen is een Venusovergang. Tijdens deze gebeurtenis passeert Venus tussen de Aarde en de Zon. Als je de begin- en eindtijd meet vanaf verschillende plaatsen op aarde, kun je een waarde voor de afstand Aarde-Zon krijgen. Hier is een voorbeeld met moderne gegevens.
Ik vind de bovenstaande manieren om de afstand tot Saturnus te vinden leuk, omdat je het theoretisch zelf zou kunnen doen. Natuurlijk zijn er nog betere (nauwkeurigere) manieren om dit te vinden, maar het punt is dat je inderdaad de afstand tot Saturnus zou kunnen vinden en dus de grootte. Met de straal zou je het volume kunnen vinden.
Massa
We kunnen niet zomaar de Wetten van Kepler gebruiken om de massa te vinden. Nee, we moeten wat meer fundamentele natuurkunde gebruiken. Kort gezegd, we kunnen de massa van Saturnus vinden door naar een van de manen van Saturnus te kijken. Als we de baanafstand en de omlooptijd van een van de manen weten, kunnen we de massa vinden. Merk op dat dit anders is dan wat we hierboven deden om het volume te vinden. In dat geval gebruikten we de omlooptijd van Saturnus terwijl hij rond de zon draaide om de afstand te vinden. Hier hebben we zowel de afstand als de periode van de maan nodig.
Laten we beginnen met wat elementaire natuurkunde. Hier is een diagram van de grootste maan van Saturnus, Titan, zoals deze in een baan rond de zon draait.
De zwaartekracht hangt af van zowel de massa van Saturnus en Titan als van de afstand tussen beide. De grootte kan worden geschreven als:
Waarbij G gewoon de universele gravitatieconstante is. Het momentumprincipe zegt dat deze gravitatiekracht het momentum verandert. Aangezien deze kracht loodrecht op het momentum (p) staat, verandert de kracht alleen de richting van het momentum en niet de grootte. Het blijkt dat ik het impulsmomentprincipe kan schrijven in termen van de gravitatiekracht en de hoeksnelheid van Titan als deze ronddraait.
Ik weet dat ik wat stappen heb overgeslagen, maar het punt is dat er een verband is tussen de massa van Saturnus, de omloopsnelheid en de omloopsnelheid. Als ik de periode invoer in plaats van de hoeksnelheid (periode = 2π/ω) kan ik de massa van Saturnus bepalen.
Nu heb je nog maar drie dingen nodig: G, de grootte van de baan, en de periode van de baan voor Titan. De periode is vrij eenvoudig. Je hoeft de planeet alleen maar een tijdje door een telescoop te observeren en de dagen te tellen tot Titan een volledige reis rond de planeet Saturnus maakt (ongeveer 16 dagen). De omloopbaangrootte is ook niet al te moeilijk te achterhalen. In wezen doe je hiervoor hetzelfde als voor de grootte van Saturnus – gebruik de afstand en de hoekgrootte.
De gravitatieconstante kan worden gevonden met het Cavendish-experiment. Het komt erop neer dat kleine massa’s op een roterende staaf worden aangetrokken door grotere, stilstaande massa’s. Door te kijken naar de draaiing in de staaf kun je de gravitatiekracht bepalen en dus G.
En dat is het. Als je de massa en het volume hebt, kun je de dichtheid berekenen. Zie je wel, het is simpel.