Cilindrische doorsnedenEdit
Een cilindrische doorsnede is de doorsnijding van het oppervlak van een cilinder met een vlak. Het zijn in het algemeen krommen en het zijn speciale soorten vlakke doorsneden. De cilindrische doorsnede door een vlak dat twee elementen van een cilinder bevat, is een parallellogram. Zo’n cilindrische doorsnede van een rechte cilinder is een rechthoek.
Een cilindrische doorsnede waarbij het snijvlak alle elementen van de cilinder snijdt en er loodrecht op staat, heet een rechte doorsnede. Als een rechtergedeelte van een cilinder een cirkel is, dan is de cilinder een cirkelcilinder. Meer algemeen geldt dat indien een rechtergedeelte van een cilinder een kegelsnede is (parabool, ellips, hyperbool), de massieve cilinder respectievelijk parabolisch, elliptisch en hyperbolisch is.
Voor een rechte cirkelcilinder zijn er verschillende manieren waarop vlakken een cilinder kunnen snijden. Ten eerste, vlakken die een basis in ten hoogste één punt snijden. Een vlak is raaklijnig aan de cilinder als het de cilinder in één element snijdt. De rechte doorsneden zijn cirkels en alle andere vlakken snijden het cilindrisch oppervlak in een ellips. Indien een vlak een cilinderbasis in precies twee punten snijdt, maakt het lijnstuk dat deze punten verbindt deel uit van de cilindrische doorsnede. Indien een dergelijk vlak twee elementen bevat, heeft het een rechthoek als cilindrische doorsnede, anders zijn de zijden van de cilindrische doorsnede gedeelten van een ellips. Ten slotte, indien een vlak meer dan twee punten van een basis bevat, bevat het de gehele basis en is de cilindrische doorsnede een cirkel.
In het geval van een rechte cirkelcilinder met een cilindrische doorsnede die een ellips is, hangen de excentriciteit e van de cilindrische doorsnede en de halve lange as a van de cilindrische doorsnede af van de straal van de cilinder r en de hoek α tussen het secansvlak en de cilinderas, en wel op de volgende wijze:
e = cos α , {displaystyle e==cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}
VolumeEdit
Als het grondvlak van een cirkelcilinder een straal r heeft en de cilinder heeft hoogte h, dan is het volume gegeven door
V = πr2h.
Deze formule geldt ongeacht of de cilinder een rechte cilinder is of niet.
Deze formule kan worden vastgesteld met behulp van het principe van Cavalieri.
In meer algemene zin is volgens hetzelfde principe het volume van een willekeurige cilinder het product van de oppervlakte van een basis en de hoogte. Zo heeft een ellipsvormige cilinder met een basis met halve lange as a, halve korte as b en hoogte h een volume V = Ah, waarbij A de oppervlakte is van de basis-ellips (= πab). Dit resultaat voor recht elliptische cilinders kan ook verkregen worden door integratie, waarbij de as van de cilinder als de positieve x-as wordt genomen en A(x) = A de oppervlakte van elke elliptische doorsnede, dus:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {Displaystyle V={0}^{h}A(x)dx={0}^{h} abdx={0}^{h}dx={0}^{h}dx={0}^{h} abh.}
Met behulp van cilindrische coördinaten, kan het volume van een rechte cirkelvormige cilinder worden berekend door integratie over
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d z {\displaystyle = {int _{0}^{h}^{2}^pi }
= π r 2 h . {Displaystyle = π r 2 h .
OppervlakteEdit
Met straal r en hoogte (h) bestaat de oppervlakte van een rechte cirkelcilinder, die zo is georiënteerd dat zijn as verticaal is, uit drie delen:
- de oppervlakte van het bovenste grondvlak: πr2
- de oppervlakte van het onderste grondvlak: πr2
- de oppervlakte van de zijde: 2πrh
De oppervlakte van het bovenste en onderste grondvlak is gelijk, en wordt de basisoppervlakte, B genoemd. De oppervlakte van de zijkant noemt men de laterale oppervlakte, L.
Een open cilinder bevat noch boven- noch onderelementen, en heeft dus oppervlakte (laterale oppervlakte)
L = 2πrh.
De oppervlakte van de massieve rechter cirkelcilinder bestaat uit de som van de drie componenten: boven-, onder- en zijkant. De oppervlakte is dus,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
waarbij d = 2r de diameter van de cirkelvormige boven- of onderkant is.
Voor een gegeven volume heeft de rechter cirkelcilinder met de kleinste oppervlakte h = 2r. Evenzo heeft bij een gegeven oppervlakte de rechter cirkelcilinder met het grootste volume h = 2r, dat wil zeggen dat de cilinder precies in een kubus past met zijde lengte = hoogte ( = diameter basiscirkel).
De laterale oppervlakte, L, van een cirkelcilinder, die geen rechte cilinder behoeft te zijn, wordt meer in het algemeen gegeven door:
L = e × p,
waarbij e de lengte van een element is en p de omtrek van een rechte doorsnede van de cilinder. Hieruit volgt de vorige formule voor de laterale oppervlakte wanneer de cilinder een rechthoekige cirkelcilinder is.
Rechtscirkelvormige holle cilinder (cilindrische schaal)bewerken
Een rechtscirkelvormige holle cilinder (of cilindrische schaal) is een driedimensionaal gebied begrensd door twee rechtscirkelvormige cilinders met dezelfde as en twee parallelle ringvormige bases loodrecht op de gemeenschappelijke as van de cilinders, zoals in het diagram.
Laat de hoogte h zijn, de inwendige straal r, en de uitwendige straal R. Het volume wordt gegeven door
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=(R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}right)h(R-r).}
.
Het volume van een cilindrische schaal is dus gelijk aan 2π(gemiddelde straal)(hoogte)(dikte).
De oppervlakte, inclusief de boven- en onderkant, wordt gegeven door
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {Displaystyle A=2 π (R+r)h+2 π (R^{2}-r^{2}).}
.
Cilindrische schalen worden gebruikt in een veelgebruikte integratietechniek voor het vinden van volumes van vaste lichamen met omwentelingen.
Over de bol en de cilinderEdit
In het traktaat met deze naam, geschreven ca. 225 v. Chr., behaalde Archimedes het resultaat waarop hij het meest trots was, namelijk het verkrijgen van de formules voor het volume en de oppervlakte van een bol door gebruik te maken van de relatie tussen een bol en zijn omgeschreven rechthoekige cilinder van dezelfde hoogte en diameter. De bol heeft een volume dat tweederde is van dat van de omgeschreven cilinder en een oppervlakte dat tweederde is van dat van de cilinder (inclusief de grondvlakken). Aangezien de waarden voor de cilinder reeds bekend waren, berekende hij voor het eerst de overeenkomstige waarden voor de bol. Het volume van een bol met straal r is 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). De oppervlakte van deze bol is 4πr2 = 2/3 (6πr2). Op het graf van Archimedes werden op zijn verzoek een gebeeldhouwde bol en cilinder geplaatst.