Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities
Sectie 7-7 : Soorten oneindigheid
De meeste leerlingen zijn wel eens met oneindigheid in aanraking gekomen voordat zij een cursus wiskunde volgden. Maar toen ze ermee te maken kregen, was het gewoon een symbool dat werd gebruikt om een heel, heel groot positief getal of een heel, heel groot negatief getal voor te stellen en daar bleef het bij. Eenmaal in de rekenles wordt de studenten gevraagd om basisalgebra te maken met oneindigheid en hier komen ze in de problemen. Oneindig is GEEN getal en gedraagt zich voor het grootste deel ook niet als een getal. Desondanks zullen we in dit hoofdstuk oneindig beschouwen als een heel, heel, heel groot getal dat zo groot is dat er geen ander getal is dat groter is dan het. Dit is natuurlijk niet juist, maar het kan helpen bij de discussie in dit hoofdstuk. Merk ook op dat alles wat we in dit deel zullen bespreken alleen geldt voor reële getallen. Als u bijvoorbeeld complexe getallen gaat gebruiken, kunnen en zullen de dingen veranderen.
Dus, laten we beginnen na te denken over optellen met oneindig. Als je twee niet-nul getallen optelt, krijg je een nieuw getal. Bijvoorbeeld, 4 + 7 = 11. Met oneindig is dit niet waar. Met oneindig heb je het volgende.
\2124>Met andere woorden, een heel, heel groot positief getal (\inftig \) plus elk positief getal, ongeacht de grootte, is nog steeds een heel, heel groot positief getal. Evenzo kun je een negatief getal (d.w.z. a < 0) optellen bij een heel, heel groot positief getal en toch heel, heel groot en positief blijven. Dus optellen bij oneindig kan op een intuïtieve manier als je maar voorzichtig bent. Merk ook op dat het getal NIET negatief oneindig mag zijn. Als dat wel het geval is, zijn er enkele ernstige problemen die we moeten oplossen, zoals we zo zullen zien.
Aftrekken met negatieve oneindigheid kan in de meeste gevallen ook op een intuïtieve manier gebeuren. Een heel, heel groot negatief getal min een positief getal, ongeacht de grootte, is nog steeds een heel, heel groot negatief getal. Een negatief getal (dus < 0) aftrekken van een heel, heel groot negatief getal is nog steeds een heel, heel groot negatief getal. Ook hier geldt dat a niet oneindig negatief mag zijn om mogelijk ernstige moeilijkheden te voorkomen.
Multiplicatie kan ook vrij intuïtief worden behandeld. Een echt, echt groot getal (positief, of negatief) maal een willekeurig getal, ongeacht de grootte, is nog steeds een echt, echt groot getal, we moeten alleen voorzichtig zijn met tekens. In het geval van vermenigvuldiging hebben we
Wat je weet over producten van positieve en negatieve getallen geldt hier nog steeds.
Sommige vormen van deling kunnen ook intuïtief worden afgehandeld. Een heel, heel groot getal gedeeld door een getal dat niet te groot is, is nog steeds een heel, heel groot getal.
Deling van een getal door oneindig is enigszins intuïtief, maar er zijn een paar subtiliteiten waar je je bewust van moet zijn. Als we het hebben over delen door oneindig, hebben we het eigenlijk over een beperkend proces waarbij de noemer naar oneindig gaat. Dus, een getal dat niet te groot is gedeeld door een steeds groter getal is een steeds kleiner getal. Met andere woorden, in de limiet hebben we
Zo hebben we bijna elke algebraïsche bewerking met oneindigheid behandeld. Er zijn twee gevallen die we nog niet behandeld hebben. Deze zijn
Het probleem met deze twee gevallen is dat intuïtie hier niet echt helpt. Een heel, heel groot getal min een heel, heel groot getal kan van alles zijn (een constante, of een getal met een heel groot getal). Op dezelfde manier kan een heel, heel groot getal gedeeld door een heel, heel groot getal ook van alles zijn (\pm \infty \) – dit hangt af van tekenkwesties, 0, of een niet-nul constante).
Wat we hier moeten onthouden is dat er echt, echt grote getallen zijn en dan zijn er echt, echt, echt grote getallen. Met andere woorden, sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden. Met optellen, vermenigvuldigen en de eerste reeksen van deling was dit geen probleem. De algemene grootte van de oneindigheid heeft in die gevallen geen invloed op het antwoord. Maar bij aftrekken en delen is het wel van belang, zoals we zullen zien.
Hier is een manier om het idee dat sommige oneindigheden groter zijn dan andere, te begrijpen. Dit is een tamelijk droge en technische manier om hierover na te denken, en je zult dit waarschijnlijk nooit in je rekenproblemen gebruiken, maar het is een aardige manier om hiernaar te kijken. Merk ook op dat ik hier niet probeer een precies bewijs van iets te geven. Ik probeer je alleen een beetje inzicht te geven in de problemen met oneindigheid en hoe sommige oneindigheden als groter kunnen worden beschouwd dan andere. Zie voor een veel betere (en beslist preciezere) bespreking,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Laten we beginnen met te kijken naar hoeveel gehele getallen er zijn. Het is duidelijk, hoop ik, dat het er oneindig veel zijn, maar laten we proberen een beter begrip te krijgen van de “grootte” van deze oneindigheid. Dus, kies twee willekeurige gehele getallen. Begin bij de kleinste van de twee en maak een lijst, in oplopende volgorde, van alle gehele getallen die daarna komen. Uiteindelijk komen we bij het grootste van de twee gehele getallen die u hebt gekozen.
Afhankelijk van de relatieve grootte van de twee gehele getallen kan het heel, heel lang duren om alle gehele getallen daartussen op te sommen en het heeft niet echt een doel om dat te doen. Maar het zou kunnen als we het wilden en dat is het belangrijkste.
Omdat we al deze gehele getallen tussen twee willekeurig gekozen gehele getallen zouden kunnen opnoemen, zeggen we dat de gehele getallen telbaar oneindig zijn. Nogmaals, er is geen echte reden om dit daadwerkelijk te doen, het is gewoon iets dat gedaan kan worden als we daarvoor zouden kiezen.
In het algemeen wordt een verzameling getallen telbaar oneindig genoemd als we een manier kunnen vinden om ze allemaal op te sommen. In een preciezere wiskundige setting wordt dit meestal gedaan met een speciaal soort functie, een bijectie genaamd, die elk getal in de verzameling associeert met precies één van de positieve gehele getallen. Voor meer details zie de pdf hierboven.
Er kan ook worden aangetoond dat de verzameling van alle breuken ook telbaar oneindig is, hoewel dit iets moeilijker is om aan te tonen en niet echt het doel is van deze discussie. Om een bewijs hiervan te zien, zie de pdf hierboven. Daar staat een heel mooi bewijs van dit feit in.
Laten we hier eens een contrast van maken door te proberen uit te vinden hoeveel getallen er in het interval links(0,1rechts) liggen. Met getallen bedoel ik alle mogelijke breuken die tussen nul en één liggen en alle mogelijke decimalen (die geen breuken zijn) die tussen nul en één liggen. Het volgende bewijs lijkt op het bewijs in de pdf hierboven, maar het was leuk en gemakkelijk genoeg (hoop ik) om het hier op te nemen.
Laten we om te beginnen aannemen dat alle getallen in het interval \( \links(0,1)\rechts) \) telbaar oneindig zijn. Dit betekent dat er een manier moet zijn om ze allemaal op te sommen. We zouden iets als het volgende kunnen hebben,
\
Kies nu de i-de decimaal uit \({x_i}\) zoals hieronder getoond
\
en vorm een nieuw getal met deze cijfers. In ons voorbeeld zouden we dus het getal
In deze nieuwe decimaal alle 3’en vervangen door een 1 en alle andere cijfers door een 3. In het geval van ons voorbeeld zou dit het nieuwe getal
\
Merk op dat dit getal in het interval \(0,1rechts) \) ligt en merk ook op dat gezien de manier waarop we de cijfers van het getal kiezen, dit getal niet gelijk zal zijn aan het eerste getal in onze lijst, \({x_1}}, omdat het eerste cijfer van elk getal gegarandeerd niet hetzelfde is. Evenzo zal dit nieuwe getal niet gelijk zijn aan het tweede getal in onze lijst, {x_2}, omdat het tweede cijfer van elk getal gegarandeerd niet gelijk is. Als we zo doorgaan zien we dat dit nieuwe getal dat we hebben geconstrueerd, x, gegarandeerd niet in onze lijst staat. Maar dit is in tegenspraak met de aanvankelijke aanname dat we alle getallen in het interval links(0,1) rechts(0) kunnen opnoemen. Het moet dus niet mogelijk zijn om alle getallen in het interval links(0,1rechts) op te sommen.
Geheelheden van getallen, zoals alle getallen in links(0,1rechts) die we niet in een lijst kunnen opschrijven, noemen we ontelbaar oneindig.
De reden om dit te herhalen is de volgende. Een oneindigheid die niet telbaar oneindig is, is aanzienlijk groter dan een oneindigheid die alleen telbaar oneindig is. Dus, als we het verschil van twee oneindigheden nemen, hebben we een paar mogelijkheden.
Merk op dat we niet het verschil van twee oneindigheden van hetzelfde type hebben neergezet. Afhankelijk van de context kan er nog steeds onduidelijkheid bestaan over wat het antwoord in dit geval zou zijn, maar dat is een heel ander onderwerp.
We zouden ook iets dergelijks kunnen doen voor quotiënten van oneindigheden.
Ook hier hebben we een quotiënt van twee oneindigheden van hetzelfde type vermeden omdat er, opnieuw afhankelijk van de context, nog steeds onduidelijkheid zou kunnen bestaan over de waarde ervan.
Zo, dat was het en hopelijk hebt u iets geleerd van deze discussie. Oneindigheid is gewoon geen getal en omdat er verschillende soorten oneindigheid zijn gedraagt het zich over het algemeen niet zoals een getal doet. Wees voorzichtig wanneer je met oneindigheid omgaat.