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Section 7-7 : 無限の種類
ほとんどの学生は微積分の授業以前に、どこかの時点で無限に出くわしたことがあると思います。 しかし、無限大を扱ったときは、本当に大きな正の数、または本当に大きな負の数を表すために使われる記号にすぎず、その程度だったのです。 微積分の授業に入ると、無限大を使った基本的な代数学を学ぶことになりますが、ここで問題が発生します。 無限大は数ではありませんし，ほとんどの場合，数のようには振る舞いません． しかし、それにもかかわらず、このセクションでは、無限大を、これより大きい数が他にないほど大きい、本当に、本当に、本当に大きい数として考えることにします。 もちろん、これは正しいことではありませんが、このセクションでの議論に役立つかもしれません。 また、このセクションで説明することは、すべて実数にしか適用されないことにも注意してください。 例えば複素数に移ると、物事は変わります。
では、無限大の足し算について考え始めましょう。 0でない2つの数を足すと、新しい数が得られます。 例えば、”4＋7＝11 “のように。 無限大の場合はそうではありません。 つまり、すごく大きな正の数（♪♪♪）に、大きさに関係なくどんな正の数でも足すと、やっぱりすごく大きな正の数になってしまうのです。 同様に、本当に大きな正の数に負の数を加えても（つまり、 \(a < 0ờng) ）、本当に大きな正の数のままである。 つまり、無限大を含む足し算は、注意すれば直感的に扱えるのです。 注意すべきは、”負の無限大 “であってはならないことです。
負の無限大を含む引き算も、ほとんどの場合、直感的に扱うことができます。 本当に大きな負の数からどんな正の数を引いても、その大きさに関係なく、本当に大きな負の数であることに変わりはありません。 本当に大きな負数から負数を引いても（つまり、 \(a < 0ờng) ）、本当に大きな負数であることに変わりはない。 また、”negative infinity “になってはいけないので、”multiplication “も直感的に扱えます。 大きな数（正でも負でも）×どんな数でも、大きさに関係なく本当に大きな数であることに変わりはなく、符号に気をつければよいのです。 掛け算の場合は
\
正負の数の積について知っていることは、ここでもまだ真実です。 本当に大きな数を大きすぎない数で割っても、本当に大きな数です。
無限大による数の割り算は、ある程度直感的ですが、注意しなければならない微妙な点が2つあります。 無限大による除算について話すとき、私たちは実際には分母が無限大に向かっていく限界的なプロセスについて話しているのです。 つまり、あまり大きくない数をどんどん大きな数で割ると、どんどん小さな数になってしまうのです。 つまり、極限では、
\
となります。ここまでで、無限大を含む基本的な代数演算はほぼすべて扱いました。 しかし、まだ扱っていないケースが2つある。 この2つのケースの問題は、直感があまり役に立たないということです。 本当に大きな数から本当に大きな数を引いたものは、何でもありなのです（←←←定数、←←←）。 同様に、本当に大きな数を本当に大きな数で割ったものも、何でもありです（♪♪♪♪♪♪♪～これは符号問題、0、または0以外の定数に依存します）
ここで覚えておかなければならないことは、本当に大きな数があることと、本当に、本当に、本当に大きな数があることです。 言い換えれば、ある無限は他の無限より大きいということです。 足し算、掛け算、そして最初にやった割り算では、これは問題ではありませんでした。 無限大の大きさは、答えに影響を及ぼさないからです。 しかし、上記の引き算と割り算の場合は、これから見るように問題になります。
ここで、ある無限は他の無限より大きいという考え方の 1 つの方法を紹介します。 これはかなりドライでテクニカルな考え方で、微積分の問題でこのようなものを使うことはおそらくないでしょうが、これを見るのはいい方法です。 また、私はここで何かを正確に証明しようとしているわけではないことに注意してください。 私はただ、無限大の問題点と、ある無限大が他の無限大より大きいと考えられることについて、少し理解を深めようとしているのです。 より良い（そして間違いなくより正確な）議論については、
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
整数がいくつあるのか見ることから始めましょう。 明らかに、無限にあることを望みますが、この無限の「大きさ」をもっとよく把握してみましょう。 そこで、全く無作為に2つの整数を選んでください。 小さいほうから始めて、その後に来る整数をすべて大きい順に並べます。
2 つの整数の相対的な大きさによっては、その間のすべての整数をリストアップするのにとてもとても長い時間がかかるかもしれず、それをする目的はあまりないでしょう。 しかし、やろうと思えばできることであり、それが重要な点である。
ランダムに選んだ 2 つの整数の間にあるすべての整数をリストすることができるので、整数は可算的に無限であると言うのである。
一般に、数の集合は、それらをすべてリストアップする方法を見つけることができれば、可算的に無限と呼ばれます。 より正確な数学的設定では、これは一般に、集合の各数値を正の整数のうちのちょうど1つと関連付ける双射と呼ばれる特別な種類の関数で行われます。
また、すべての分数の集合も可算無限であることを示すことができますが、これは示すのが少し難しいので、この議論の目的ではありません。 この証明は上で紹介したpdfを参照してください。
これと対照的に、区間( \left(0,1right) \)にいくつの数字があるか考えてみよう。 ここでいう数とは、0と1の間にあるすべての分数と、0と1の間にあるすべての小数（分数でないもの）のことです。 以下は、上のpdfにある証明と似ていますが、十分に素晴らしく簡単だったので、ここに載せたいと思います。
はじめに、区間( \left(0,1ษright) \) にあるすべての数は可算無限であると仮定しましょう。 つまり、それらをすべてリストアップする方法があるはずです。 例えば、
\
Now, select the \(i\)th decimal out of \({x_i}}) as shown below
\
and form a new number with these digits.のようなものが考えられます。 つまり、この例では、
\
という数字になります。この新しい10進数では、3をすべて1に置き換え、それ以外の数字を3に置き換えます。 この場合、新しい数
\
が得られます。この数は区間( \left(0,1right) \)にあることと、数の桁をどう選ぶかで、この数はリストの最初の数、({x_1})と等しくないことが保証されていることに注意しましょう。 同様に、この新しい数はリストの2番目の数である \({x_2}} と同じ数にはならない。なぜなら、それぞれの2桁目が同じでないことが保証されているからである。 このようにすると、新しく作った数字である” \(x \) “は、リストに入っていないことが保証されていることがわかります。 しかし、これは最初に仮定した「区間⇄(0,1right)のすべての数をリストアップできる」ということと矛盾しています。 したがって、区間⇄( ⇄left(0,1right) )の中のすべての数をリストアップすることはできないはずです。
すべての数、例えば⇄( ⇄left(0,1right) )の数のようにリストに書き表せない数のセットを uncountably infinite と呼びます。
これを超える理由は、以下の通りです。 数え切れないほど無限である無限は、数え切れるほどしか無限でない無限よりかなり大きい。 そこで、2つの無限の差をとると、いくつかの可能性があります。
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同じ種類の2つの無限の差は置いていないことに注意してください。
また、同じ型の2つの無限大の商も、文脈によっては、その値についてまだ曖昧さが残るかもしれないので、避けました。 無限大は単に数ではなく、さまざまな種類の無限大があるため、一般に数のようには振る舞いません。 無限大を扱うときは注意してください。