このセクションの基本的な構成はドットプロダクトで、ベクトル間の角度を測り、ベクトルの長さを計算するものである。
定義
Rnにおける二つのベクトルx,yの内積は
x,y が列ベクトルと考えると xTy と同じであることがわかります。
例えば、
二つのベクトルの内積がスカラーであることに注意してください。
2つのベクトルは点でのみ結合でき、その結果はスカラーであることを覚えていれば、点積を使った算数はほとんど普通にできます。
ドットプロダクトの性質
Rnのベクトルをx,y,z、スカラーをcとすると、xとyの点積はスカラーです。
- 可換性：x-y=y-x。
- 加算による分配性。 (x+y)-z=x-z+y-z.
- スカラー倍算による分配性。 (cx)-y=c(x-y)です。
ベクトルとそれ自身の内積は重要な特殊ケースである：
したがって、任意のベクトルxについて、我々は以下のようになる。
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
これは長さの良い定義につながる。
Fact
Rnにおけるベクトルxの長さは数
なぜこれがR2におけるベクトルで正しいかはピタゴラスの定理で簡単にわかる。
R3上のベクトルについては、AxAが本当にxの長さであることを確認できますが、今度はピタゴラスの定理を2回適用しなければなりません。
ベクトルの長さは矢印の長さであり、点で考えるなら、長さは原点からの距離であることに注意。
Fact
x がベクトルで c がスカラーなら、AcxA=｜c｜-AxA。 例えば、
長さの良い概念ができたので、Rnの点間距離を定義することができます。 2点x,yの差は当然ベクトル、つまりxからyを指すベクトルy-xであることを思い出してください。
Definition
Rnの2点x,y間の距離はxからyへのベクトルの長さです：
長さ 1のベクトルもアプリケーションで非常によく見られるので名前を付けています。
定義
単位ベクトルとは、長さAxA=Bx-x=1のベクトルxです。
標準座標ベクトルe1，e2，e3，…は、以下の通りです。 は単位ベクトルである：
任意の非零ベクトル x に対して、同じ方向を指す一意の単位ベクトルが存在する。 それはxの長さで割ることによって得られる。
Fact
xをRnの非ゼロベクトルとする。 xの方向の単位ベクトルはベクトルx/AxAである。
これは実際には単位ベクトルである（AxAは正数であるのでCC1/AxACC=1/AxAであることに注意）:
。