以前、土星が浮いているという記事を書いたときに、土星の密度を求める方法について書けることをほのめかしました。
念のためですが、私たちは密度を次のように定義しています：
つまり、本当に2つのことを決める必要があるのです。 まず、土星の質量が必要です。 第二に、体積が必要である。 土星の半径がわかれば体積がわかる。
体積
厳密には、土星は完全な球形ではない。 中心から赤道までの距離は、中心から極までの距離より大きい。 これは土星が回転していて、硬い物体ではないからです。 ピザの生地が回転しているのと同じことです。 しかし、ここでは土星を球体と仮定します。
もし球体なら、体積は
でも半径（直径）はどうしたらいいのでしょうか。 まず、角の大きさを調べます。 物体の角度の大きさとその物体までの距離が分かれば、大きさが分かります。 この関係を表す絵が、これまで何度か登場しています。
ですから、対象が十分に遠いか小さいと、高さ（または長さ）は、距離と同じ半径の円の弧長にほぼ等しくなります。 物体の大きさは、角度の大きさに物体の距離を掛けたものになります。
しかし、角度の大きさはどうやって測るのでしょうか。 写真であれば、カメラの画角を知る必要がありますが、私はこれをiPhoneで実験してみました。 カメラがない時代には、望遠鏡を使えばよかったのです。 レンズで角度の大きさを測るのは、それほど難しいことではありません。 レンズの視野角を決定し、そこにいくつかの印をつけるだけで、天体の角度サイズに対する視野の割合を推定できます。
これは素晴らしいことですが、かなり重要なことによります。 土星はどのくらい遠くにあるのか？ ここでヨハネス・ケプラーの登場となる。
- 太陽系内の天体の軌道は、太陽を焦点とする楕円である。
- 太陽に近づくと、天体はより速く進む。 ケプラーはさらに進んで、ある時間間隔では、天体が軌道上のどこにいても、同じ面積を掃き出すと言いました。 実際、周期の2乗は半長径の3乗に比例する（等しくはない）
ケプラーの惑星運動の法則は新しい物理学ではないんだよ。 なんなら、運動量原理と距離の2乗で1に比例する重力を使っても同じ法則が得られる。 しかし、この法則は有効であり、ここで役に立つのは最後の法則である。 土星と地球の公転周期がわかれば、次のように書けます。
Tは周期を表す共通の物理記号で、時間単位はあまり重要ではありません。 比例定数kは一方の式を他方の式で割ると打ち消される。 結局、土星の半長軸の式ができました。 もし、土星が円軌道を描いていたら、これが半径と太陽までの距離となる。 しかし、実は地球から土星までの距離がわからない。 土星までの距離は、太陽から地球までの距離で求めることができるんだ。 わかりやすくするために、この地球と太陽の距離を1天文単位（AU）と呼んでいるんだ。 それはいいのですが、その単位（AU）を土星の大きさに使うと、密度がkg/AU3という変な単位になってしまうのです。 土星の密度を水と比較するためには、メートルとか、あるいはメーターとか、何か便利な単位での距離が必要です。
1AUの値をメーターで求めるにはどうしたらよいでしょうか。 いくつかの方法があります。 この距離を求める方法の1つは、ギリシャ式です。 そう、紀元前500年頃、ギリシャの天文学者がこれを行ったのです。
- 地球のさまざまな場所にある影を使って、地球の半径を求める。
- 月が地球の周りを円を描くように動いていると仮定する。 計算された位置（地球の中心を基準に）と実際の位置（地表から測ったもの）の差を求め、月の距離（と大きさ）を求める。
- 月の位相が4分の1のときの太陽と月の間の角度を測定する。 これは直角三角形になります。 地球から月までの距離がすでに分かっているので、月の距離（と大きさ）を得ることができます。
これらの測定の詳細を示す古い投稿を紹介します。 おそらく、この方法の問題点はすでにお分かりかと思います。 もし地球の大きさについて測定値がずれているなら、他のすべてがずれていることになります。 ギリシャ人の太陽までの距離の決定は、あまり正確ではありませんでした。
地球と太陽の距離を求めるよりよい方法は、金星の通過を利用することです。 この間、金星は地球と太陽の間を通過します。 地球上のさまざまな場所で開始時刻と終了時刻を測定すれば、地球-太陽間距離の値を得ることができます。
以上のような土星までの距離の求め方は、理論的には自分でもできることなので気に入っています。 もちろん、もっと良い（正確な）方法もありますが、ポイントは土星までの距離を実際に求めることができ、それによって大きさを知ることができるということです。 半径がわかれば、体積もわかります。
質量
ケプラーの法則だけでは、質量は求められないんです。 いや、もっと基礎的な物理を使う必要がある。 要するに、土星の月の一つを見れば、土星の質量がわかるのである。 衛星の軌道距離と軌道周期が分かれば、質量を求めることができる。 これは、上で体積を求めたのとは違うことに注意しよう。 この場合、土星が太陽の周りを回るときの公転周期を使って、距離を求めた。 ここでは、距離と月の周期の両方が必要です。
それでは、基本的な物理学から始めましょう。 以下は土星最大の月、タイタンが公転するときの図です。
重力は土星とタイタンの質量と、両者の距離の両方に依存しています。 大きさは次のように書ける：
ここでGはまさに万有引力定数である。 この重力が運動量を変化させるというのが運動量原理である。 この力は運動量(p)に対して垂直なので、この力は運動量の方向を変えるだけで、大きさは変わりません。 運動量の原理は、タイタンが公転するときの重力と角速度で書けることがわかりました。
少し省略しましたが、要は土星の質量と公転の大きさと公転速度に関係性があるのですね。 角速度の代わりに周期を入れれば（周期＝2π/ω）、土星の質量が解けます。
あとは3つだけです。 G、軌道の大きさ、そしてタイタンの軌道の周期です。 周期はとても簡単です。 望遠鏡でしばらく観測して、タイタンが土星を一周するまでの日数(約16日)を数えればいいのです。 軌道の大きさもそれほど難しくはない。
重力定数は、キャベンディッシュの実験で求めることができる。 基本的には、回転する棒の上のいくつかの小さな質量が、より大きな静止した質量に引き寄せられる。 棒のねじれを見れば、重力がわかるので、G.
となります。 質量と体積が決まれば、密度が計算できます。 ほら、簡単でしょう
。