円柱断面編集
円柱断面
円柱断面は、円と平面との交点のことです。 一般に曲線であり、平面断面の特殊なタイプである。 円柱の2つの要素を含む平面による円柱断面は平行四辺形となる。 このような直円筒の円筒断面は長方形である。
交差する平面が円筒のすべての要素と交差して垂直である円筒断面を直角断面という。 円柱の直角断面が円である場合、その円柱は円柱である。 より一般的には、円柱の直角断面が円錐断面（放物線、楕円、双曲線）であれば、その立体円柱はそれぞれ放物線、楕円、双曲線であるという。
直円筒では、平面が円柱に出会う方法がいくつかある。 まず、最大1点で底面と交差する平面。 平面が1つの要素で円柱に接する場合、 円柱に接することになる。 右の部分は円であり、それ以外の平面は楕円で円筒面に交差する。 平面が円柱の底面とちょうど2点で交差する場合、これらの点を結ぶ線分は円柱断面の一部となる。 このような平面が2つの要素を含む場合、円筒形断面は長方形となり、そうでない場合、円筒形断面の辺は楕円の一部となる。 最後に、平面が底面の2点以上を含む場合、それは底面全体を含み、円筒形断面は円となる。
直円筒で円筒部が楕円の場合、円筒部の偏心量eと円筒部の半長軸aは、円筒の半径rと秒平面と円筒軸との角度αに依存して、次のようになる：
e = cos α , {\displaystyle e=cos \lpha ,}
a = r sin α . {displaystyle a={prac {r}{pathysin \alpha }}.}.
VolumeEdit
円柱の底面の半径がr、高さがhであれば、その体積は
V = πr2h で与えられます。
この式は円柱が直円柱であろうとなかろうと成り立つ。
この式はカバリエリの原理を用いることで成立することがある。
基部楕円を半軸a、bとし、高さhの中実楕円柱
より一般的には、同じ原理で、どんな円柱の体積も底面積と高さの積とする。 例えば、半長軸a、半短軸b、高さhの底面を持つ楕円柱は体積V=Ah、Aは底面楕円の面積(= πab)である。 この直円筒の結果は、円筒の軸を正のx軸とし、各楕円断面の面積をA(x)=Aとして、積分で求めることもできる。
V = ∫0 h A ( x ) d x = ∫0 h π a b d x = π a b ∫0 h d x = π a b h . {V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}pi abdx=pi abint _{0}^{h}dx=pi abh.} .
円柱座標を用いると。 直円柱の体積は、以下の積分によって計算できる。
= π r 2 h . {displaystyle =pi \,r^{2}},h.} .
Surface areaEdit
半径r、高度（高さ）hの直円筒の表面積は、その軸を垂直にして、3部分から構成されている。
- 上底の面積： πr2
- 下底の面積： πr2
- 側面の面積： 2πrh
上底と下底は同じで、底面積Bと呼ばれる。 側面の面積を側面面積Lといいます。
開放円柱は上下の要素も含まないので、表面積（側面面積）
L = 2πrhとなります。
直円筒の表面積は、上面、底面、側面の3つの要素の合計で構成されます。 したがって、その表面積は、
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(h + r),
ここでd = 2rは円形の上または下の直径。
与えられた体積に対して、最も表面積の小さな右円柱はh = 2rである。
円柱の横方向の面積Lは、直円柱である必要はないが、より一般的には次のように与えられる:
L = e × p,
ここでeは要素の長さ、pは円柱の右側部分の外周である。 これは円筒が直円筒の場合、横方向の面積を表す先ほどの式になる。
中空円筒
右円中空円筒（円筒殻）編集
右円中空円筒（または円筒殻）とは図のように同じ軸を持つ二つの右円筒と円筒の共通軸に対して垂直な二つの平行環状の底面で囲まれた三次元領域である。
高さをh、内半径をr、外半径をRとすると、体積は
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) で表されます。 {V=π (R^{2}-r^{2})h=2π \left({hrac {R+r}{2}}right)h(R-r).} .
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したがって、円筒形の殻の体積は2π(平均半径)(高度)(厚さ)に等しい。
上下を含めた表面積は A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) で与えられます。 {A=2π (R+r)h+2π (R^{2}-r^{2}).} となります。
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Cylindrical shell is used in a common integration technique for finding volume of solids of revolution.
On the Sphere and CylinderEdit
アルキメデスは、前225年頃に書かれたこの名前の論文で、彼が最も得意とした成果、すなわち球とその外接する同じ高さと直径の直円柱との関係を利用して球の体積と表面積の公式を求めた。 球体は、外接円柱の3分の2の体積、円柱の3分の2の表面積（底面を含む）である。 円柱の値は既に知られていたので、彼は初めて球の対応する値を求めた。 半径rの球の体積は、4/3πr3 = 2/3 (2πr3)である。 この球体の表面積は、4πr2 = 2/3 (6πr2)である。 アルキメデスの墓には、彼の希望で球体と円柱の彫刻が置かれている
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