Meridiana

Le meridiane più comunemente osservate sono quelle in cui lo stile dell’ombra è fisso in posizione e allineato con l’asse di rotazione della Terra, essendo orientato con il vero Nord e Sud, e facendo un angolo con l’orizzontale uguale alla latitudine geografica. Questo asse è allineato con i poli celesti, che è strettamente, ma non perfettamente, allineato con la stella polare Polaris. Per esempio, l’asse celeste punta verticalmente al vero polo nord, dove punta orizzontalmente all’equatore. A Jaipur, sede della più grande meridiana del mondo, gli gnomoni sono sollevati 26°55″ sopra l’orizzontale, riflettendo la latitudine locale.

In qualsiasi giorno, il Sole sembra ruotare uniformemente intorno a questo asse, a circa 15° all’ora, facendo un giro completo (360°) in 24 ore. Uno gnomone lineare allineato con questo asse proietterà un foglio d’ombra (un semipiano) che, cadendo di fronte al Sole, ruota anch’esso intorno all’asse celeste a 15° all’ora. L’ombra si vede cadendo su una superficie ricevente che di solito è piatta, ma che può essere sferica, cilindrica, conica o di altre forme. Se l’ombra cade su una superficie simmetrica rispetto all’asse celeste (come in una sfera armillare, o un quadrante equatoriale), la superficie-ombra si muove anch’essa in modo uniforme; le linee orarie sulla meridiana sono equidistanti. Tuttavia, se la superficie ricevente non è simmetrica (come nella maggior parte degli orologi solari orizzontali), l’ombra di superficie generalmente si muove in modo non uniforme e le linee orarie non sono equidistanti; un’eccezione è il quadrante di Lambert descritto sotto.

Alcuni tipi di orologi solari sono progettati con uno gnomone fisso che non è allineato con i poli celesti come un obelisco verticale. Tali meridiane sono trattate di seguito nella sezione, “Meridiane basate su Nodus”.

Segnalazione empirica delle linee orarieModifica

Le formule mostrate nei paragrafi seguenti permettono di calcolare le posizioni delle linee orarie per vari tipi di meridiane. In alcuni casi, i calcoli sono semplici, in altri sono estremamente complicati. Esiste un metodo alternativo e semplice per trovare le posizioni delle linee orarie che può essere usato per molti tipi di meridiane e che risparmia molto lavoro nei casi in cui i calcoli sono complessi. Si tratta di un procedimento empirico in cui la posizione dell’ombra dello gnomone di una meridiana reale viene segnata a intervalli di un’ora. L’equazione del tempo deve essere presa in considerazione per garantire che le posizioni delle linee orarie siano indipendenti dal periodo dell’anno in cui vengono segnate. Un modo semplice per farlo è quello di impostare un orologio in modo che mostri “l’ora della meridiana” che è l’ora standard, più l’equazione del tempo del giorno in questione. Le linee orarie sulla meridiana sono segnate per mostrare le posizioni dell’ombra dello stile quando questo orologio mostra numeri interi di ore, e sono etichettate con questi numeri di ore. Per esempio, quando l’orologio segna le 5:00, l’ombra dello stile è segnata ed etichettata “5” (o “V” in numeri romani). Se le linee delle ore non sono tutte segnate in un solo giorno, l’orologio deve essere regolato ogni giorno o due per tenere conto della variazione dell’equazione del tempo.

Meridiane equatorialiModifica

La caratteristica distintiva del quadrante equatoriale (chiamato anche quadrante equinoziale) è la superficie planare che riceve l’ombra, che è esattamente perpendicolare allo stile dello gnomone. Questo piano è detto equatoriale, perché è parallelo all’equatore della Terra e della sfera celeste. Se lo gnomone è fisso e allineato con l’asse di rotazione della Terra, la rotazione apparente del sole intorno alla Terra proietta un foglio d’ombra uniformemente rotante dallo gnomone; questo produce una linea d’ombra uniformemente rotante sul piano equatoriale. Poiché il sole ruota di 360° in 24 ore, le linee orarie su un quadrante equatoriale sono tutte distanziate di 15° (360/24).

H E = 15 ∘ × t (ore) . {H_{E}=15^{circola t t (ore).

L’uniformità della loro spaziatura rende questo tipo di meridiana facile da costruire. Se il materiale della piastra del quadrante è opaco, entrambi i lati del quadrante equatoriale devono essere segnati, poiché l’ombra sarà proiettata dal basso in inverno e dall’alto in estate. Con piastre traslucide (ad esempio il vetro) gli angoli delle ore devono essere segnati solo sul lato rivolto al sole, anche se la numerazione delle ore (se utilizzata) deve essere fatta su entrambi i lati del quadrante, a causa del diverso schema delle ore sul lato rivolto al sole e su quello rivolto all’indietro.

Un altro grande vantaggio di questo quadrante è che l’equazione del tempo (EoT) e le correzioni dell’ora legale (DST) possono essere fatte semplicemente ruotando la piastra del quadrante dell’angolo appropriato ogni giorno. Questo perché gli angoli delle ore sono equamente distanziati intorno al quadrante. Per questo motivo, un quadrante equatoriale è spesso una scelta utile quando il quadrante è per la visualizzazione pubblica ed è auspicabile che mostri l’ora locale vera con una precisione ragionevole. La correzione EoT è fatta attraverso la relazione

Correzione ∘ = EoT (minuti) + 60 × Δ DST (ore) 4 . {La correzione ∘ = EoT (minuti) + 60 × ΔDelta ∘ DST (ore) 4 .

In prossimità degli equinozi in primavera e in autunno, il sole si muove su un cerchio che è quasi lo stesso del piano equatoriale; quindi, nessuna ombra chiara è prodotta sul quadrante equatoriale in quei periodi dell’anno, uno svantaggio del design.

Un nodo è talvolta aggiunto agli orologi solari equatoriali, che permette alla meridiana di dire il tempo dell’anno. In qualsiasi giorno, l’ombra del nodo si muove su un cerchio sul piano equatoriale, e il raggio del cerchio misura la declinazione del sole. Le estremità della barra dello gnomone possono essere usate come nodo, o qualche caratteristica lungo la sua lunghezza. Una variante antica della meridiana equatoriale ha solo un nodo (senza stile) e le linee circolari concentriche delle ore sono disposte in modo da assomigliare a una ragnatela.

Meridiane orizzontaliModifica

Nella meridiana orizzontale (chiamata anche meridiana da giardino), il piano che riceve l’ombra è allineato orizzontalmente, piuttosto che essere perpendicolare allo stile come nel quadrante equatoriale. Quindi, la linea d’ombra non ruota uniformemente sulla faccia del quadrante; piuttosto, le linee delle ore sono distanziate secondo la regola.

tan H H = sin L tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{H}=sin L\tan(15^{circa t)}

o in altri termini:

H H = tan – 1 {displaystyle \H_{H}=sin L\tan ^{-1}}

dove L è la latitudine geografica della meridiana (e l’angolo che lo gnomone fa con la piastra del quadrante), H H {displaystyle H_{H}} è l’angolo tra una data linea oraria e la linea oraria di mezzogiorno (che punta sempre verso il Nord vero) sul piano, e t è il numero di ore prima o dopo mezzogiorno. Per esempio, l’angolo H H {displaystyle H_{H}} della linea oraria delle 3 del pomeriggio sarebbe uguale all’arctangente di sin L, poiché tan 45° = 1. Quando L è uguale a 90° (al Polo Nord), la meridiana orizzontale diventa una meridiana equatoriale; lo stile punta dritto verso l’alto (verticalmente), e il piano orizzontale è allineato con il piano equatoriale; la formula della linea delle ore diventa H H {displaystyle H_{H}} = 15° × t, come per un quadrante equatoriale. Una meridiana orizzontale all’equatore terrestre, dove L è uguale a 0°, richiederebbe uno stile orizzontale (sollevato) e sarebbe un esempio di meridiana polare (vedi sotto).

I principali vantaggi della meridiana orizzontale sono che è facile da leggere, e la luce del sole illumina la faccia per tutto l’anno. Tutte le linee orarie si intersecano nel punto in cui lo stile dello gnomone attraversa il piano orizzontale. Poiché lo stile è allineato con l’asse di rotazione della Terra, lo stile punta il vero Nord e il suo angolo con l’orizzontale è uguale alla latitudine geografica L della meridiana. Una meridiana progettata per una latitudine può essere regolata per l’uso ad un’altra latitudine inclinando la sua base verso l’alto o verso il basso di un angolo pari alla differenza di latitudine. Per esempio, una meridiana progettata per una latitudine di 40° può essere usata a una latitudine di 45°, se il piano della meridiana è inclinato verso l’alto di 5°, allineando così lo stile con l’asse di rotazione della Terra.

Molti orologi solari ornamentali sono progettati per essere usati a 45 gradi nord. Alcune meridiane da giardino prodotte in serie non riescono a calcolare correttamente le linee orarie e quindi non possono mai essere corrette. Un fuso orario standard locale è nominalmente largo 15 gradi, ma può essere modificato per seguire i confini geografici o politici. Una meridiana può essere ruotata intorno al suo stile (che deve rimanere puntato al polo celeste) per adattarsi al fuso orario locale. Nella maggior parte dei casi, è sufficiente una rotazione nell’intervallo di 7,5 gradi a est e 23 gradi a ovest. Questo introdurrà un errore nelle meridiane che non hanno angoli orari uguali. Per correggere l’ora legale, una faccia ha bisogno di due serie di numeri o di una tabella di correzione. Uno standard informale è quello di avere i numeri in colori caldi per l’estate, e in colori freddi per l’inverno. Poiché gli angoli delle ore non sono uniformemente distanziati, l’equazione delle correzioni dell’ora non può essere fatta ruotando la piastra del quadrante intorno all’asse dello gnomone. Questi tipi di quadranti di solito hanno una tabulazione di correzione dell’equazione del tempo incisa sui loro piedistalli o nelle vicinanze. I quadranti orizzontali sono comunemente visti nei giardini, nei cimiteri e nelle aree pubbliche.

Meridiane verticaliModifica

Nel comune quadrante verticale, il piano che riceve l’ombra è allineato verticalmente; come al solito, lo stile dello gnomone è allineato all’asse di rotazione della Terra. Come nel quadrante orizzontale, la linea d’ombra non si muove uniformemente sulla faccia; la meridiana non è equiangolare. Se la faccia del quadrante verticale punta direttamente verso sud, l’angolo delle linee orarie è invece descritto dalla formula

tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{V}= cos L tan(15^{circa t)}

dove L è la latitudine geografica della meridiana, H V {displaystyle H_{V} è l’angolo tra una data linea oraria e la linea oraria di mezzogiorno (che punta sempre verso nord) sul piano, e t è il numero di ore prima o dopo mezzogiorno. Per esempio, l’angolo H V {displaystyle H_{V}} della linea oraria delle 3 del pomeriggio sarebbe uguale all’arctangente di cos L, poiché tan 45° = 1. L’ombra si muove in senso antiorario su un quadrante verticale rivolto a sud, mentre scorre in senso orario sui quadranti orizzontali ed equatoriali rivolti a nord.

I quadranti con le facce perpendicolari al suolo e che sono rivolti direttamente a sud, nord, est o ovest sono chiamati quadranti verticali diretti. È opinione diffusa, e dichiarata in pubblicazioni rispettabili, che un quadrante verticale non può ricevere più di dodici ore di luce solare al giorno, non importa quante ore di luce ci siano. Tuttavia, c’è un’eccezione. Le meridiane verticali ai tropici che sono rivolte verso il polo più vicino (per esempio, verso nord nella zona tra l’Equatore e il Tropico del Cancro) possono effettivamente ricevere la luce del sole per più di 12 ore dall’alba al tramonto per un breve periodo intorno al periodo del solstizio d’estate. Per esempio, alla latitudine di 20 gradi nord, il 21 giugno, il sole splende su una parete verticale rivolta a nord per 13 ore e 21 minuti. Le meridiane verticali che non sono rivolte direttamente a sud (nell’emisfero nord) possono ricevere molto meno di dodici ore di luce solare al giorno, a seconda della direzione in cui sono rivolte e del periodo dell’anno. Per esempio, un quadrante verticale rivolto a est può leggere l’ora solo nelle ore del mattino; nel pomeriggio, il sole non brilla sulla sua faccia. I quadranti verticali rivolti a est o a ovest sono quadranti polari, che saranno descritti più avanti. I quadranti verticali rivolti a nord sono poco comuni, perché indicano l’ora solo durante la primavera e l’estate, e non mostrano le ore di mezzogiorno, tranne che alle latitudini tropicali (e anche lì, solo verso la mezza estate). Per i quadranti verticali non diretti – quelli che si affacciano in direzioni non cardinali – la matematica della disposizione dello stile e delle linee orarie diventa più complicata; può essere più facile segnare le linee orarie con l’osservazione, ma il posizionamento dello stile, almeno, deve essere calcolato prima; tali quadranti sono detti in declino.

I quadranti verticali sono comunemente montati sulle pareti di edifici, come municipi, cupole e torri di chiese, dove sono facili da vedere da lontano. In alcuni casi, i quadranti verticali sono posti su tutti e quattro i lati di una torre rettangolare, fornendo l’ora per tutto il giorno. Il quadrante può essere dipinto sul muro, o mostrato in pietra intarsiata; lo gnomone è spesso una singola barra di metallo, o un tripode di barre di metallo per la rigidità. Se il muro dell’edificio è rivolto verso il sud, ma non verso il sud, lo gnomone non si troverà lungo la linea del mezzogiorno, e le linee delle ore devono essere corrette. Poiché lo stile dello gnomone deve essere parallelo all’asse terrestre, esso “punta” sempre il vero Nord e il suo angolo con l’orizzontale sarà uguale alla latitudine geografica della meridiana; su un quadrante diretto a Sud, il suo angolo con la faccia verticale del quadrante sarà uguale alla colatitudine, o 90° meno la latitudine.

Quadranti polariModifica

Nei quadranti polari, il piano di ricezione dell’ombra è allineato parallelamente allo stile gnomonico. Come per lo gnomone, le linee orarie sono tutte allineate con l’asse di rotazione della Terra. Quando i raggi del Sole sono quasi paralleli al piano, l’ombra si sposta molto velocemente e le linee delle ore sono molto distanziate. I quadranti rivolti direttamente a est e a ovest sono esempi di un quadrante polare. Tuttavia, la faccia di un quadrante polare non deve necessariamente essere verticale, ma solo parallela allo gnomone. Così, un piano inclinato all’angolo di latitudine (rispetto all’orizzontale) sotto lo gnomone similmente inclinato sarà un quadrante polare. La distanza perpendicolare X delle linee orarie nel piano è descritta dalla formula

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle X=H\tan(15^{\circa t)}

dove H è l’altezza dello stile sopra il piano, e t è il tempo (in ore) prima o dopo l’ora centrale per il quadrante polare. L’ora centrale è l’ora in cui l’ombra dello stile cade direttamente sul piano; per un quadrante rivolto a est, l’ora centrale sarà le 6 del mattino, per un quadrante rivolto a ovest sarà le 18, e per il quadrante inclinato descritto sopra sarà mezzogiorno. Quando t si avvicina a ±6 ore di distanza dall’ora centrale, la distanza X diverge a +∞; questo si verifica quando i raggi del Sole diventano paralleli al piano.

Quadranti verticali declinantiModifica

Un quadrante in declino è qualsiasi quadrante non orizzontale, planare, che non è rivolto in una direzione cardinale, come (vero) Nord, Sud, Est o Ovest. Come al solito, lo stile dello gnomone è allineato con l’asse di rotazione della Terra, ma le linee delle ore non sono simmetriche intorno alla linea delle ore di mezzogiorno. Per un quadrante verticale, l’angolo H VD {displaystyle H_{\text{VD}} tra la linea del mezzogiorno e un’altra linea delle ore è dato dalla formula seguente. Si noti che H VD {displaystyle H_{\text{VD}}} è definito positivo in senso orario rispetto all’angolo orario verticale superiore; e che la sua conversione nell’ora solare equivalente richiede un’attenta considerazione del quadrante della meridiana a cui appartiene.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {displaystyle \tan H_{\text{VD}}={frac {\cos L}{cos D\cot(15^{\circ}times t)-s_{o}sin L\sin D}}} tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{\testo{V}}=cos L\tano(15^{circa t)}

Quando una meridiana non è allineata con una direzione cardinale, il sottostilo del suo gnomone non è allineato con la linea delle ore di mezzogiorno. L’angolo B {displaystyle B} tra il sottostilo e la linea del mezzogiorno è dato dalla formula

tan B = sin D cot L {displaystyle \tan B=sin D\cot L}

L’altezza dello gnomone, cioè l’angolo che lo stile fa con la piastra, G {displaystyle G} è data da :

sin G = cos D cos L {displaystyle \sin G=\cos D\cos L}

Quadranti reclinatiModifica

Le meridiane sopra descritte hanno gnomoni che sono allineati con l’asse di rotazione della Terra e gettano la loro ombra su un piano. Se il piano non è né verticale né orizzontale né equatoriale, si dice che la meridiana è reclinata o inclinata. Una tale meridiana potrebbe essere situata su un tetto esposto a sud, per esempio. Le linee orarie di una tale meridiana possono essere calcolate correggendo leggermente la formula orizzontale di cui sopra

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{RV}=\cos(L+R)\tan(15^{circ} t)}

dove R {displaystyle R} è l’angolo di inclinazione desiderato rispetto alla verticale locale, L è la latitudine geografica della meridiana, H R V {displaystyle H_{RV} è l’angolo tra una data linea oraria e la linea oraria di mezzogiorno (che punta sempre verso nord) sul piano, e t è il numero di ore prima o dopo mezzogiorno. Per esempio, l’angolo H R V {displaystyle H_{RV}} della linea oraria delle 3 del pomeriggio sarebbe uguale all’arctangente di cos(L + R), poiché tan 45° = 1. Quando R è uguale a 0° (in altre parole, un quadrante verticale rivolto a sud), otteniamo la formula del quadrante verticale di cui sopra.

Alcuni autori usano una nomenclatura più specifica per descrivere l’orientamento del piano che riceve l’ombra. Se la faccia del piano punta in basso verso il suolo, si dice che è proclinante o inclinato, mentre un quadrante si dice reclinato quando la faccia del quadrante punta lontano dal suolo. Molti autori si riferiscono spesso anche alle meridiane reclinate, proclinate e inclinate in generale come meridiane inclinate. In questi testi, poiché I = 90° + R, la formula dell’angolo orario sarà spesso scritta come :

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {displaystyle \tan H_{RV}=sin(L + I)\tan(15^{\circ }times t)}

L’angolo tra lo stile gnomone e la piastra del quadrante, B, in questo tipo di meridiana è :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {displaystyle B=90^{{circ}-(L + R)}

Oppure :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {displaystyle B=180^{{\circ}-(L + I)}

Quadranti declinanti-reclinanti/ Quadranti declinanti-inclinantiModifica

Alcuni orologi solari sono sia declinanti che reclinanti, nel senso che il loro piano che riceve l’ombra non è orientato con una direzione cardinale (come il vero Nord o il vero Sud) e non è né orizzontale né verticale né equatoriale. Per esempio, una tale meridiana potrebbe trovarsi su un tetto non orientato in una direzione cardinale.

Le formule che descrivono la spaziatura delle linee delle ore su tali quadranti sono piuttosto più complicate di quelle per quadranti più semplici.

Ci sono vari approcci risolutivi, tra cui alcuni che usano i metodi delle matrici di rotazione, e alcuni che fanno un modello 3D del piano reclinato-declinato e del suo piano verticale declinato di controparte, estraendo le relazioni geometriche tra le componenti degli angoli delle ore su entrambi questi piani e poi riducendo l’algebra trigonometrica.

Un sistema di formule per gli orologi solari reclinati-declinati: (come dichiarato da Fennewick)

L’angolo H RD {displaystyle H_{\text{RD}} tra la linea oraria di mezzogiorno e un’altra linea oraria è dato dalla formula seguente. Si noti che H RD {displaystyle H_{{text{RD}} avanza in senso antiorario rispetto all’angolo dell’ora zero per quei quadranti che sono parzialmente rivolti a sud e in senso orario per quelli che sono rivolti a nord.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\cos R\cos L-\sin R\sin L\cos D-s_{o}sin R\sin D\cot(15^{circola t)}{cos D\cot(15^{circola t)-s_o}sin D\sin L}}}

all’interno degli intervalli dei parametri : D < D c {displaystyle D<D_{c}} e – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {displaystyle -90^{\circ }<R<(90^{\circ }-L)} .

tan H RD = sin I cos L + cos I sin L cos D + s o cos I sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {displaystyle \tan H_{{RD}}={frac {sin I\cos L+cos I\sin L\cos D+s_{o}cos I\sin D\cot(15^{circa t)}{cos D\cot(15^{circa t)-s_o}sin D\sin L}}

all’interno degli intervalli dei parametri : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} e 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {displaystyle 0^{\circ}<I<(180^{\circ}-L)} .

Qui L {displaystyle L} è la latitudine geografica della meridiana; s o {displaystyle s_{o}} è il numero intero dell’interruttore di orientamento; t è l’ora in ore prima o dopo mezzogiorno; e R {displaystyle R} e D {displaystyle D} sono gli angoli di reclinazione e declinazione, rispettivamente.Si noti che R {displaystyle R} è misurato con riferimento alla verticale. È positivo quando il quadrante si inclina indietro verso l’orizzonte dietro il quadrante e negativo quando il quadrante si inclina in avanti verso l’orizzonte dalla parte del Sole. L’angolo di declinazione D {displaystyle D} è definito come positivo quando si muove ad est del vero sud.I quadranti rivolti completamente o parzialmente a sud hanno s o {displaystyle s_{o}} = +1, mentre quelli parzialmente o completamente rivolti a nord hanno un valore s o {displaystyle s_{o}} di -1.Poiché l’espressione di cui sopra fornisce l’angolo orario come una funzione arctana, è necessario considerare a quale quadrante della meridiana appartiene ogni ora prima di assegnare l’angolo orario corretto.

A differenza della più semplice meridiana verticale declinante, questo tipo di quadrante non mostra sempre gli angoli orari sulla sua faccia lato sole per tutte le declinazioni tra est e ovest. Quando un quadrante dell’emisfero settentrionale parzialmente rivolto a sud si inclina all’indietro (cioè lontano dal Sole) rispetto alla verticale, lo gnomone diventerà complanare con la piastra del quadrante a declinazioni inferiori a est o ovest. In modo simile, i quadranti dell’emisfero settentrionale che sono parzialmente rivolti a nord e quelli dell’emisfero meridionale che sono rivolti a sud, e che si inclinano in avanti verso i loro gnomoni rivolti verso l’alto, avranno una simile restrizione sulla gamma di declinazione che è possibile per un dato valore di reclinazione.La declinazione critica D c {displaystyle D_{c}} è un vincolo geometrico che dipende dal valore della reclinazione del quadrante e dalla sua latitudine :

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {\displaystyle \cos D_{c}=\tan R\tan L=-\tan L\cot I}

Come per il quadrante verticale declinato, il substrato dello gnomone non è allineato con la linea delle ore di mezzogiorno. La formula generale per l’angolo B {displaystyle B} , tra il substilo e la linea del mezzogiorno è data da :

tan B = sin D sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\displaystyle \tan B={frac {sin D}{sin R\cos D+\cos R\tan L}}={frac {sin D}{\cos I\cos D-\sin I\tan L}}}

L’angolo G {displaystyle G} tra lo stile e la piastra è dato da :

sin G = cos L cos D cos R – sin L sin R = – cos L cos D sin I + sin L cos I {\displaystyle \sin G=\cos L\cos D\cos R-\sin L\sin R=-\cos L\cos D\sin I+sin L\cos I}

Nota che per G = 0 ∘ {displaystyle G=0^{\circ} cioè quando lo gnomone è complanare al quadrante, si ha :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {\displaystyle \cos D=\tan L\tan R=-\tan L\cot I}

cioè quando D = D c {displaystyle D=D_{c}}

Metodo empiricoModifica

A causa della complessità dei calcoli di cui sopra, usarli per lo scopo pratico di progettare un quadrante di questo tipo è difficile e soggetto a errori. È stato suggerito che è meglio localizzare le linee delle ore empiricamente, segnando le posizioni dell’ombra di uno stile su una vera meridiana a intervalli orari come mostrato da un orologio e aggiungendo/deducendo l’equazione del tempo di quel giorno. Vedi Marcatura empirica delle linee orarie, sopra.

Meridiane sfericheModifica

La superficie che riceve l’ombra non deve essere necessariamente un piano, ma può avere qualsiasi forma, a condizione che il costruttore della meridiana sia disposto a segnare le linee orarie. Se lo stile è allineato con l’asse di rotazione della Terra, una forma sferica è conveniente poiché le linee orarie sono equidistanti, come lo sono sul quadrante equatoriale di cui sopra; la meridiana è equiangolare. Questo è il principio alla base della sfera armillare e della meridiana ad arco equatoriale. Tuttavia, alcune meridiane equiangolari – come il quadrante di Lambert descritto più avanti – sono basate su altri principi.

Nella meridiana ad arco equatoriale, lo gnomone è una barra, una fessura o un filo teso parallelo all’asse celeste. La faccia è un semicerchio, corrispondente all’equatore della sfera, con segni sulla superficie interna. Questo modello, costruito per un paio di metri di larghezza in acciaio invar resistente alla temperatura, era usato per mantenere i treni in orario in Francia prima della prima guerra mondiale.

Tra le meridiane più precise mai realizzate ci sono due archi equatoriali costruiti in marmo trovati nello Yantra mandir. Questa collezione di meridiane e altri strumenti astronomici fu costruita dal Maharaja Jai Singh II nella sua allora nuova capitale di Jaipur, in India, tra il 1727 e il 1733. L’arco equatoriale più grande è chiamato Samrat Yantra (Lo strumento supremo); in piedi a 27 metri, la sua ombra si muove visibilmente a 1 mm al secondo, o all’incirca la larghezza di una mano (6 cm) ogni minuto.

Meridiane cilindriche, coniche e altre non pianeModifica

Altre superfici non piane possono essere utilizzate per ricevere l’ombra dello gnomone.

Come elegante alternativa, lo stile (che potrebbe essere creato da un foro o una fessura nella circonferenza) può essere situato sulla circonferenza di un cilindro o di una sfera, piuttosto che sul suo asse centrale di simmetria.

In tal caso, le linee orarie sono di nuovo equamente distanziate, ma al doppio dell’angolo usuale, a causa del teorema dell’angolo inscritto geometrico. Questa è la base di alcune meridiane moderne, ma era usata anche nei tempi antichi;

In un’altra variazione del cilindrico allineato all’asse polare, un quadrante cilindrico potrebbe essere reso come una superficie elicoidale simile a un nastro, con uno gnomone sottile situato o lungo il suo centro o alla sua periferia.