Fisica

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Obiettivi di apprendimento

Alla fine di questa sezione, sarete in grado di:

  • Relare il momento lineare di un fotone alla sua energia o lunghezza d’onda, e applicare la conservazione del momento lineare a semplici processi che coinvolgono l’emissione, l’assorbimento o la riflessione di fotoni.
  • Rendere conto qualitativamente dell’aumento della lunghezza d’onda dei fotoni che si osserva, e spiegare il significato della lunghezza d’onda Compton.

Misurare il momento dei fotoni

Il quantum della radiazione EM che chiamiamo fotone ha proprietà simili a quelle delle particelle che possiamo vedere, come i granelli di sabbia. Un fotone interagisce come un’unità nelle collisioni o quando viene assorbito, piuttosto che come un’onda estesa. Anche i quanti massicci, come gli elettroni, si comportano come particelle macroscopiche – qualcosa che ci aspettiamo, perché sono le più piccole unità della materia. Le particelle trasportano la quantità di moto così come l’energia. Nonostante i fotoni non abbiano massa, c’è stata a lungo la prova che la radiazione EM trasporta quantità di moto. (Maxwell e altri che hanno studiato le onde EM hanno previsto che esse avrebbero portato quantità di moto). Ora è un fatto ben stabilito che i fotoni hanno una quantità di moto. Infatti, la quantità di moto dei fotoni è suggerita dall’effetto fotoelettrico, dove i fotoni fanno uscire gli elettroni da una sostanza. La figura 1 mostra l’evidenza macroscopica della quantità di moto dei fotoni.

Figura 1. Le code della cometa Hale-Bopp puntano lontano dal Sole, prova che la luce ha una quantità di moto. La polvere che emana dal corpo della cometa forma questa coda. Le particelle di polvere sono spinte lontano dal Sole dalla luce che si riflette su di esse. La coda blu di gas ionizzato è prodotta anche dai fotoni che interagiscono con gli atomi nel materiale della cometa. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

La figura 1 mostra una cometa con due code prominenti. Quello che la maggior parte delle persone non sa delle code è che esse puntano sempre lontano dal Sole piuttosto che trascinarsi dietro la cometa (come la coda della pecora di Bo Peep). Le code delle comete sono composte da gas e polveri evaporate dal corpo della cometa e da gas ionizzato. Le particelle di polvere si allontanano dal Sole quando i fotoni si disperdono da esse. Evidentemente, i fotoni trasportano la quantità di moto nella direzione del loro movimento (lontano dal Sole), e parte di questa quantità di moto viene trasferita alle particelle di polvere nelle collisioni. Gli atomi e le molecole di gas nella coda blu sono più influenzati da altre particelle di radiazione, come i protoni e gli elettroni emanati dal Sole, piuttosto che dalla quantità di moto dei fotoni.

Fare connessioni: Conservazione della quantità di moto

Non solo la quantità di moto si conserva in tutti gli ambiti della fisica, ma tutti i tipi di particelle risultano avere quantità di moto. Ci aspettiamo che le particelle con massa abbiano quantità di moto, ma ora vediamo che anche le particelle senza massa, inclusi i fotoni, hanno quantità di moto.

Figura 2. L’effetto Compton è il nome dato allo scattering di un fotone da parte di un elettrone. L’energia e la quantità di moto si conservano, risultando in una riduzione di entrambe per il fotone disperso. Studiando questo effetto, Compton verificò che i fotoni hanno quantità di moto.

La quantità di moto si conserva nella meccanica quantistica proprio come nella relatività e nella fisica classica. Alcune delle prime prove sperimentali dirette di questo sono venute dallo scattering di fotoni a raggi X da parte di elettroni in sostanze, chiamato scattering Compton dal nome del fisico americano Arthur H. Compton (1892-1962). Intorno al 1923, Compton osservò che i raggi X sparsi dai materiali avevano un’energia diminuita e analizzò correttamente ciò come dovuto allo scattering di fotoni dagli elettroni. Questo fenomeno potrebbe essere gestito come una collisione tra due particelle – un fotone e un elettrone a riposo nel materiale. L’energia e la quantità di moto si conservano nella collisione. (Vedi Figura 2) Ha vinto un premio Nobel nel 1929 per la scoperta di questo scattering, ora chiamato effetto Compton, perché ha contribuito a dimostrare che la quantità di moto del fotone è data da p=frac{h}{lambda}, dove h è la costante di Planck e λ è la lunghezza d’onda del fotone. (Si noti che la quantità di moto relativistica data come p = γmu è valida solo per le particelle che hanno massa.)

Possiamo vedere che la quantità di moto dei fotoni è piccola, poiché p=frac{h}{lambda}\ e h è molto piccola. È per questa ragione che ordinariamente non osserviamo la quantità di moto dei fotoni. I nostri specchi non si ritraggono quando la luce riflette da essi (eccetto forse nei cartoni animati). Compton vide gli effetti della quantità di moto dei fotoni perché stava osservando i raggi X, che hanno una piccola lunghezza d’onda e una quantità di moto relativamente grande, interagendo con la più leggera delle particelle, l’elettrone.

Esempio 1. Momento dell’elettrone e del fotone a confronto

  1. Calcolare il momento di un fotone visibile che ha una lunghezza d’onda di 500 nm.
  2. Trovare la velocità di un elettrone che ha lo stesso momento.
  3. Qual è l’energia dell’elettrone, e come si confronta con l’energia del fotone?

Strategia

Trovare la quantità di moto del fotone è una semplice applicazione della sua definizione: p=frac{h}{lambda}\. Se troviamo che la quantità di moto del fotone è piccola, allora possiamo assumere che un elettrone con la stessa quantità di moto sia non relativistico, rendendo facile trovare la sua velocità e la sua energia cinetica dalle formule classiche.

Soluzione per la Parte 1

La quantità di moto del fotone è data dall’equazione: p=frac{h}{{lambda}}.

Inserendo la data lunghezza d’onda del fotone si ottiene

displaystyle{p}=frac 6.63 volte10^{-34}text{ J }cdot{ s}}{500 volte10^{-9}text{ m}}=1.33\times10^{-27}{ kg}{ kg}{ m/s}

Soluzione per la Parte 2

Siccome questa quantità di moto è effettivamente piccola, useremo l’espressione classica p = mv per trovare la velocità di un elettrone con questa quantità di moto. Risolvendo per v e usando il valore noto per la massa di un elettrone si ottiene

displaystyle{v}=frac{p}{m}=frac{1.33 volte10^{-27}{ kg}{cdot{ m/s}}{9.11 volte10^{-31}}{ kg}}=1460{ m/s}{ circa1460{ m/s}

Soluzione della Parte 3

L’elettrone ha energia cinetica, che è classicamente data da \text{KE}_e=frac{1}{2}mv^2\.

Quindi, \testo{KE}_e=frac{1}{2} a sinistra (9,11 volte10^{-3}{ kg} a destra) a sinistra (1455 m/s} a destra)^2=9.64 volte10^{-25{text{ J}.

Convertendo questo in eV moltiplicando per \frac{1{ eV}}{1.602{10^{-19}{ J}}} si ottiene KEe = 6.02 × 10-6 eV.

L’energia del fotone E è

E=frac{hc}{lambda}=frac{1240{ eV}{cdot{ nm}}{500{ nm}}=2.48{ eV},

che è circa cinque ordini di grandezza più grande.

Discussione

Il momento dei fotoni è davvero piccolo. Anche se ne abbiamo un numero enorme, la quantità di moto totale che portano è piccola. Un elettrone con la stessa quantità di moto ha una velocità di 1460 m/s, che è chiaramente non relativistica. Una particella più massiccia con la stessa quantità di moto avrebbe una velocità ancora minore. Questo è confermato dal fatto che ci vuole molta meno energia per dare a un elettrone la stessa quantità di moto di un fotone. Ma su scala quantistica, specialmente per i fotoni ad alta energia che interagiscono con piccole masse, la quantità di moto dei fotoni è significativa. Anche su larga scala, la quantità di moto dei fotoni può avere un effetto se ce ne sono abbastanza e se non c’è nulla che impedisca il lento rinculo della materia. Le code delle comete sono un esempio, ma ci sono anche proposte per costruire vele spaziali che usano enormi specchi a bassa massa (fatti di Mylar alluminato) per riflettere la luce del sole. Nel vuoto dello spazio, gli specchi si riavvolgerebbero gradualmente e potrebbero effettivamente portare veicoli spaziali da un posto all’altro del sistema solare. (Vedi Figura 3.)

Figura 3. (a) Sono state proposte vele spaziali che usano la quantità di moto della luce solare che si riflette da gigantesche vele di bassa massa per spingere veicoli spaziali nel sistema solare. Un modello di prova russo di questo (il Cosmos 1) è stato lanciato nel 2005, ma non è arrivato in orbita a causa di un guasto al razzo. (b) Una versione statunitense di questo, denominata LightSail-1, è prevista per il lancio di prova nella prima parte di questo decennio. Avrà una vela di 40 m2. (credit: Kim Newton/NASA)

Momento fotonico relativistico

C’è una relazione tra il momento fotonico p e l’energia fotonica E che è coerente con la relazione data precedentemente per l’energia totale relativistica di una particella come E2 = (pc)2 + (mc)2. Sappiamo che m è zero per un fotone, ma p non lo è, così che E2 = (pc)2 + (mc)2 diventa E = pc, o p=frac{E}{c} (fotoni).

Per verificare la validità di questa relazione, si noti che E=frac{hc}{lambda} per un fotone. Sostituendo questo con p = p=frac{E}{c} si ottiene

displaystyle{p}==frac{frac{hc}{lambda}{c}=frac{h}{lambda},

come determinato sperimentalmente e discusso sopra. Così, p=E/c è equivalente al risultato di Compton p=h/λ. Per un’ulteriore verifica della relazione tra l’energia del fotone e la quantità di moto, vedi l’esempio 2.

Rivelatori di fotoni

Quasi tutti i sistemi di rivelazione di cui si è parlato finora – occhi, lastre fotografiche, tubi fotomoltiplicatori nei microscopi, e telecamere CCD – si basano su proprietà simili alle particelle dei fotoni che interagiscono con una zona sensibile. Si provoca un cambiamento e o il cambiamento è in cascata o zilioni di punti sono registrati per formare un’immagine che rileviamo. Questi rivelatori sono usati nei sistemi di imaging biomedico, e ci sono ricerche in corso per migliorare l’efficienza della ricezione dei fotoni, in particolare raffreddando i sistemi di rivelazione e riducendo gli effetti termici.

Esempio 2. Energia e quantità di moto dei fotoni

Si dimostri che p=frac{E}{c} per il fotone considerato nell’Esempio 1.

Strategia

Prendiamo l’energia E trovata nell’Esempio 1, la dividiamo per la velocità della luce, e vediamo se si ottiene la stessa quantità di moto di prima.

Soluzione

Posto che l’energia del fotone è 2,48 eV e convertendola in joule, otteniamo

p=\frac{E}{c}=frac{2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33 ^times10^{-27}{ kg }cdot{ m/s}

Discussione

Questo valore per la quantità di moto è lo stesso trovato prima (si noti che i valori non arrotondati sono usati in tutti i calcoli per evitare anche piccoli errori di arrotondamento), una verifica attesa della relazione p=frac{E}{c}. Questo significa anche che la relazione tra energia, quantità di moto e massa data da E2 = (pc)2 + (mc)2 si applica sia alla materia che ai fotoni. Ancora una volta, si noti che p non è zero, anche quando m lo è.

Suggerimento per la soluzione dei problemi

Nota che le forme delle costanti h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s e hc = 1240 eV ⋅ nm possono essere particolarmente utili per i problemi e gli esercizi di questa sezione.

Riassunto della sezione

  • I fotoni hanno quantità di moto, data da p=frac{h}{lambda}\ dove λ è la lunghezza d’onda del fotone.
  • L’energia e la quantità di moto del fotone sono legate da p=frac{E}{c}\ dove E=hf=frac{hc}{lambda}\ per un fotone.

Domande concettuali

  1. Quale formula può essere usata per la quantità di moto di tutte le particelle, con o senza massa?
  2. C’è qualche differenza misurabile tra la quantità di moto di un fotone e quella della materia?
  3. Perché non sentiamo la quantità di moto della luce del sole quando siamo sulla spiaggia?

Problemi & Esercizi

  1. (a) Trova la quantità di moto di un fotone di 4,00 cm di lunghezza d’onda. (b) Discutete perché vi aspettate che la risposta a (a) sia molto piccola.
  2. (a) Qual è la quantità di moto di un fotone di lunghezza d’onda 0,0100-nm che potrebbe rilevare i dettagli di un atomo? (b) Qual è la sua energia in MeV?
  3. (a) Qual è la lunghezza d’onda di un fotone che ha un momento di 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Trova la sua energia in eV.
  4. (a) Un fotone di raggi γ ha un momento di 8,00 × 10-21 kg – m/s. Qual è la sua lunghezza d’onda? (b) Calcolare la sua energia in MeV.
  5. (a) Calcolare la quantità di moto di un fotone che ha una lunghezza d’onda di 2,50 μm. (b) Trova la velocità di un elettrone che ha la stessa quantità di moto. (c) Qual è l’energia cinetica dell’elettrone, e come si confronta con quella del fotone?
  6. Ripetere il problema precedente per un fotone di lunghezza d’onda di 10,0 μm.
  7. (a) Calcolare la lunghezza d’onda di un fotone che ha la stessa quantità di moto di un protone che si muove all’1,00% della velocità della luce. (b) Qual è l’energia del fotone in MeV? (c) Qual è l’energia cinetica del protone in MeV?
  8. (a) Trova la quantità di moto di un fotone a raggi X da 100 keV. (b) Trova la velocità equivalente di un neutrone con la stessa quantità di moto. (c) Qual è l’energia cinetica del neutrone in keV?
  9. Prendi il rapporto tra l’energia relativistica a riposo, E = γmc2, e la quantità di moto relativistica, p = γmu, e dimostra che nel limite in cui la massa si avvicina a zero, si trova \frac{E}{p}=c\\. Considerate una vela spaziale come quella menzionata nell’esempio 1. Costruisci un problema in cui calcoli la pressione della luce sulla vela in N/m2 prodotta dalla riflessione della luce solare. Calcola anche la forza che potrebbe essere prodotta e quanto effetto avrebbe su un veicolo spaziale. Tra le cose da considerare ci sono l’intensità della luce solare, la sua lunghezza d’onda media, il numero di fotoni per metro quadrato che questo implica, l’area della vela spaziale, e la massa del sistema che viene accelerato.
  10. Risultati irragionevoli. Un’automobile sente una piccola forza dovuta alla luce che emette dai suoi fari, pari alla quantità di moto della luce divisa per il tempo in cui viene emessa. (a) Calcolare la potenza di ogni faro, se essi esercitano una forza totale di 2,00 × 10-2 N all’indietro sull’auto. (b) Cosa c’è di irragionevole in questo risultato? (c) Quali ipotesi sono irragionevoli o incoerenti?

Glossario

Potere fotonico: la quantità di moto che ha un fotone, calcolata da p=frac{h}{lambda }=frac{E}{c}{9662>

Effetto Compton: il fenomeno per cui i raggi X sparsi dai materiali hanno un’energia diminuita

Soluzioni selezionate ai problemi & Esercizi

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) La lunghezza d’onda dei fotoni a microonde è grande, quindi la quantità di moto che portano è molto piccola.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elettrone 3,86 × 10-26 J, fotone 7,96 × 10-20 J, rapporto 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 e P = γmu, quindi

displaystyle\frac{E}{P}=frac{gamma{mc}^{2}}{gamma{mu}}=frac{c^2}{u}

Quando la massa della particella si avvicina a zero, la sua velocità u si avvicina a c , così che il rapporto tra energia e quantità di moto in questo limite è

displaystyle\lim_{m\0}{frac{E}{P}=frac{c}^{2}}{c}=c{9662>

che è coerente con l’equazione dell’energia dei fotoni.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) I fari sono troppo luminosi; (c) La forza è troppo grande.

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