Nel mio precedente post su un Saturno galleggiante, ho accennato al fatto che potrei scrivere sui metodi che possiamo usare per trovare la densità di Saturno. Oh, e ancora una volta, la densità di Saturno è più bassa della densità dell’acqua sulla Terra – ma non galleggerebbe.
Solo come promemoria, definiamo la densità come:
Questo significa che abbiamo davvero bisogno di determinare due cose. Primo, abbiamo bisogno della massa di Saturno. Secondo, abbiamo bisogno del volume. Possiamo ottenere il volume se conosciamo il raggio di Saturno.
Volume
Tecnicamente, Saturno non è perfettamente sferico. La distanza dal centro all’equatore è maggiore della distanza dal centro al polo. Questo perché Saturno gira e non è un oggetto rigido. Pensa alla pasta della pizza che gira – la stessa cosa, solo che si tratta di Saturno. Si può effettivamente misurare sia il raggio polare che quello equatoriale usando la stessa idea – ma farò solo finta che Saturno sia una sfera.
Se è una sfera, allora il volume sarebbe:
Ma come si ottiene il raggio (o diametro). Il primo passo è guardare la dimensione angolare. Se si conosce la dimensione angolare di un oggetto e la distanza da quell’oggetto, si può trovare la dimensione. Ecco un’immagine che ho usato diverse volte che mostra questa relazione.
Quindi, se l’oggetto è abbastanza lontano o abbastanza piccolo allora l’altezza (o lunghezza) sarà approssimativamente la lunghezza dell’arco di un cerchio con un raggio uguale alla distanza. La dimensione dell’oggetto sarà semplicemente la dimensione angolare moltiplicata per la distanza dell’oggetto.
Ma come si fa a misurare la dimensione angolare? Beh, se avete una foto avete bisogno di conoscere il campo visivo angolare della vostra fotocamera – l’ho fatto sperimentalmente con un iPhone. Nei giorni precedenti alle fotocamere, si poteva semplicemente usare un telescopio. Non è troppo difficile misurare la dimensione angolare con una lente. Hai solo bisogno di determinare il campo visivo angolare per l’obiettivo e poi mettere alcuni segni su di esso in modo da poter stimare la frazione del campo per la dimensione angolare dell’oggetto.
Questo è fantastico, ma dipende da qualcosa di piuttosto importante. Quanto è lontano Saturno? È qui che entra in gioco Johannes Kepler. Usando i dati disponibili, Keplero ha elaborato tre modelli per il moto degli oggetti nel sistema solare.
- Il percorso di un oggetto nel sistema solare è un’ellisse con il Sole come punto focale.
- Quando un oggetto si avvicina al Sole, va più veloce. Keplero andò anche oltre e disse che per un dato intervallo di tempo, l’oggetto spazzerebbe la stessa area indipendentemente dal punto della sua orbita.
- Il periodo orbitale è legato alla distanza orbitale (semi-asse maggiore). Infatti, il quadrato del periodo è proporzionale (ma non uguale) al cubo del semiasse maggiore.
Le leggi di Keplero del moto planetario non sono nuova fisica. Se volete, potreste ottenere lo stesso insieme di leggi usando il principio della quantità di moto e la forza gravitazionale che è proporzionale a uno sulla distanza al quadrato. Tuttavia, le leggi funzionano ed è l’ultima legge che è utile qui. Se conosco il periodo orbitale di Saturno e della Terra, allora posso scrivere:
La T è il simbolo fisico comune per il periodo e le unità di tempo non hanno molta importanza. La costante di proporzionalità, k, si annulla quando divido un’equazione per l’altra. Alla fine, ho un’espressione per il semiasse maggiore di Saturno. Se Saturno fosse in un’orbita circolare, questo sarebbe il raggio e la distanza dal Sole. Ma in realtà non ho la distanza dalla Terra a Saturno. Posso ottenere la distanza da Saturno in termini di distanza dal Sole alla Terra. Per semplificare le cose, chiamiamo questa distanza Terra-Sole 1 Unità Astronomica (AU). Questo è fantastico e tutto, ma se uso quell’unità (AU) per le dimensioni di Saturno, otterrei la densità in alcune strane unità – kg/AU3. Per confrontare la densità di Saturno con quella dell’acqua, abbiamo bisogno della distanza in qualcosa di utile – come metri o forse metri.
Come si trova il valore di 1 AU in metri? Ci sono diversi modi. Un modo per trovare questa distanza è quello greco. Sì, gli astronomi greci lo hanno fatto intorno al 500 a.C. Ecco una breve versione di come lo facevano:
- Utilizza le ombre in diversi punti della Terra per determinare il raggio della Terra.
- Assumi che la luna si muova in un cerchio intorno alla Terra. Determinare la differenza tra la posizione calcolata (basata sul centro della Terra) e la posizione reale (misurata dalla superficie) per determinare la distanza (e le dimensioni) della luna.
- Misurare l’angolo tra il Sole e la luna quando la fase della luna è un quarto. Questo forma un triangolo rettangolo. Con la distanza dalla Terra alla luna già nota, potete ottenere la distanza (e la dimensione) della luna.
Qui c’è un vecchio post che mostra più dettagli in queste misure. Forse potete già vedere il problema con questo metodo. Se le vostre misure sono sbagliate per le dimensioni della Terra, allora tutto il resto è sbagliato. La determinazione greca della distanza dal Sole non era molto accurata.
Un modo migliore per ottenere la distanza Terra-Sole è usare un transito di Venere. Durante questo evento, Venere passa tra la Terra e il Sole. Se si misura l’ora di inizio e di fine da diverse posizioni sulla Terra, è possibile ottenere un valore per la distanza Terra-Sole. Ecco un esempio con dati moderni.
Mi piacciono i modi di cui sopra per trovare la distanza da Saturno perché teoricamente, si potrebbe fare da soli. Naturalmente ci sono modi ancora migliori (più accurati) per trovare questo, ma il punto è che si potrebbe effettivamente trovare la distanza da Saturno e quindi la dimensione. Con il raggio, si potrebbe trovare il volume.
Massa
Non possiamo semplicemente usare le leggi di Keplero per trovare la massa. No, dobbiamo usare un po’ di fisica più fondamentale. In breve, possiamo trovare la massa di Saturno guardando una delle lune di Saturno. Se conosciamo la distanza orbitale e il periodo orbitale di una delle lune, possiamo trovare la massa. Notate che questo è diverso da quello che abbiamo fatto sopra per trovare il volume. In quel caso, abbiamo usato il periodo orbitale di Saturno mentre si muoveva intorno al Sole per trovare la distanza. Qui abbiamo bisogno sia della distanza che del periodo della luna.
Iniziamo con un po’ di fisica di base. Ecco un diagramma della più grande luna di Saturno, Titano, mentre orbita.
La forza gravitazionale dipende sia dalla massa di Saturno e Titano che dalla distanza tra loro. La grandezza può essere scritta come:
Dove G è solo la costante gravitazionale universale. Il principio di quantità di moto dice che questa forza gravitazionale cambia la quantità di moto. Poiché questa forza è perpendicolare alla quantità di moto (p), allora la forza cambia solo la direzione della quantità di moto e non la grandezza. Si scopre che posso scrivere il principio di quantità di moto in termini di forza gravitazionale e velocità angolare di Titano mentre orbita.
So che ho saltato alcuni passaggi ma il punto è che c’è una relazione tra la massa di Saturno, la dimensione orbitale e la velocità orbitale. Se metto il periodo invece della velocità angolare (periodo = 2π/ω) posso risolvere per la massa di Saturno.
Ora servono solo tre cose: G, la dimensione dell’orbita e il periodo dell’orbita di Titano. Il periodo è abbastanza facile. Basta osservare il pianeta con un telescopio per un po’ di tempo e contare i giorni fino a quando Titano fa un viaggio completo intorno al pianeta Saturno (circa 16 giorni). Anche la dimensione orbitale non è troppo difficile da ottenere. Essenzialmente si fa la stessa cosa per questo come per la dimensione di Saturno – usare la distanza e la dimensione angolare.
La costante gravitazionale può essere trovata con l’esperimento Cavendish. Fondamentalmente, alcune piccole masse su un’asta rotante sono attratte da masse stazionarie più grandi. Osservando la torsione dell’asta si può determinare la forza gravitazionale e quindi G.
E questo è quanto. Una volta che hai la massa e il volume, puoi calcolare la densità. Vedi, è semplice.