Sezioni cilindricheModifica
Una sezione cilindrica è l’intersezione della superficie di un cilindro con un piano. Sono, in generale, curve e sono tipi speciali di sezioni piane. La sezione cilindrica di un piano che contiene due elementi di un cilindro è un parallelogramma. Una tale sezione cilindrica di un cilindro retto è un rettangolo.
Una sezione cilindrica in cui il piano di intersezione interseca ed è perpendicolare a tutti gli elementi del cilindro è detta sezione retta. Se una sezione retta di un cilindro è un cerchio, allora il cilindro è un cilindro circolare. Più in generale, se una sezione retta di un cilindro è una sezione conica (parabola, ellisse, iperbole) allora il cilindro solido si dice parabolico, ellittico e iperbolico, rispettivamente.
Per un cilindro circolare retto, ci sono diversi modi in cui i piani possono incontrare un cilindro. In primo luogo, i piani che intersecano una base al massimo in un punto. Un piano è tangente al cilindro se incontra il cilindro in un solo elemento. Le sezioni giuste sono cerchi e tutti gli altri piani intersecano la superficie cilindrica in un’ellisse. Se un piano interseca una base del cilindro esattamente in due punti, allora il segmento di linea che unisce questi punti fa parte della sezione cilindrica. Se tale piano contiene due elementi, ha come sezione cilindrica un rettangolo, altrimenti i lati della sezione cilindrica sono porzioni di un’ellisse. Infine, se un piano contiene più di due punti di una base, contiene l’intera base e la sezione cilindrica è un cerchio.
Nel caso di un cilindro circolare retto con una sezione cilindrica che è un’ellisse, l’eccentricità e della sezione cilindrica e il semiasse maggiore a della sezione cilindrica dipendono dal raggio del cilindro r e dall’angolo α tra il piano secante e l’asse del cilindro, nel modo seguente:
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={frac {r}{sin \alpha}.
VolumeEdit
Se la base di un cilindro circolare ha un raggio r e il cilindro ha altezza h, allora il suo volume è dato da
V = πr2h.
Questa formula vale sia che il cilindro sia un cilindro retto o meno.
Questa formula può essere stabilita usando il principio di Cavalieri.
In modo più generale, per lo stesso principio, il volume di qualsiasi cilindro è il prodotto dell’area di una base e l’altezza. Per esempio, un cilindro ellittico con una base avente semi-asse maggiore a, semi-asse minore b e altezza h ha un volume V = Ah, dove A è l’area dell’ellisse di base (= πab). Questo risultato per i cilindri ellittici retti può anche essere ottenuto per integrazione, dove l’asse del cilindro è preso come asse x positivo e A(x) = A l’area di ogni sezione ellittica, quindi:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {V=int _{0}^{h} A(x)dx=int _{0}^{h} abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Utilizzando le coordinate cilindriche, il volume di un cilindro circolare retto può essere calcolato integrando
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =int _{0}^{h}{int _{0}^{2\pi }int _{0}^{r}s\,\\s\,d\phi \z}
= π r 2 h . {\displaystyle = \pi \,r^{2}\,h.}
Area della superficieModifica
Avendo raggio r e altitudine (altezza) h, la superficie di un cilindro circolare destro, orientato in modo che il suo asse sia verticale, consiste di tre parti:
- l’area della base superiore: πr2
- l’area della base inferiore: πr2
- l’area del lato: 2πrh
L’area delle basi superiore e inferiore è la stessa, ed è chiamata area della base, B. L’area del lato è detta area laterale, L.
Un cilindro aperto non comprende né elementi superiori né inferiori, e quindi ha area superficiale (area laterale)
L = 2πrh.
La superficie del cilindro solido circolare destro è costituita dalla somma delle tre componenti: superiore, inferiore e laterale. La sua superficie è quindi,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
dove d = 2r è il diametro della parte superiore o inferiore circolare.
Per un dato volume, il cilindro circolare destro con la superficie più piccola ha h = 2r. Equivalentemente, per una data superficie, il cilindro circolare retto con il più grande volume ha h = 2r, cioè il cilindro entra comodamente in un cubo di lunghezza lato = altezza ( = diametro del cerchio di base).
L’area laterale, L, di un cilindro circolare, che non deve necessariamente essere un cilindro retto, è più generalmente data da:
L = e × p,
dove e è la lunghezza di un elemento e p è il perimetro di una sezione destra del cilindro. Questo produce la formula precedente per l’area laterale quando il cilindro è un cilindro circolare retto.
Cilindro cavo circolare destro (shell cilindrica)Edit
Un cilindro cavo circolare destro (o shell cilindrica) è una regione tridimensionale delimitata da due cilindri circolari retti aventi lo stesso asse e due basi anulari parallele perpendicolari all’asse comune dei cilindri, come nella figura.
Lasciamo che l’altezza sia h, il raggio interno r e il raggio esterno R. Il volume è dato da
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {V=\pie (R^{2}-r^{2})h=2\pi \sinistra({frac {R+r}{2}}destra)h(R-r).}
.
Quindi, il volume di una conchiglia cilindrica è uguale a 2π(raggio medio)(altezza)(spessore).
La superficie, compresa la parte superiore e inferiore, è data da
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
I gusci cilindrici sono usati in una comune tecnica di integrazione per trovare i volumi dei solidi di rivoluzione.
Sulla sfera e il cilindroModifica
Nel trattato con questo nome, scritto verso il 225 a.C., Archimede ottenne il risultato di cui andava più fiero, ovvero ottenere le formule per il volume e la superficie di una sfera sfruttando la relazione tra una sfera e il suo cilindro circolare circoscritto di uguale altezza e diametro. La sfera ha un volume pari a due terzi di quello del cilindro circoscritto e una superficie pari a due terzi di quella del cilindro (comprese le basi). Poiché i valori per il cilindro erano già noti, egli ottenne, per la prima volta, i valori corrispondenti per la sfera. Il volume di una sfera di raggio r è 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). La superficie di questa sfera è 4πr2 = 2/3 (6πr2). Una sfera e un cilindro scolpiti sono stati posti sulla tomba di Archimede su sua richiesta.